2023年四川省泸州市泸县重点中学高考数学适应性试卷（文科）

这是一份2023年四川省泸州市泸县重点中学高考数学适应性试卷（文科），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省泸州市泸县重点中学高考数学适应性试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设集合，，则(    )A.  B.
C.  D. 2.  在复平面内，复数对应的点的坐标为，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  设，，，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  若，则“”是“”的(    )A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.  国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要小时．(    )
A.  B.  C.  D. 6.  设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知圆：，直线：，则圆上到直线的距离为的点的个数为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足其中为的前项和，则(    )A.  B.  C.  D. 9.  若函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则(    )A.  B.  C.  D. 10.  设函数，则(    )A. 是偶函数，在上单调递减 B. 是奇函数，在上单调递增
C. 是偶函数，在上单调递增 D. 是奇函数，在上单调递增11.  抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知双曲线：的右焦点为，以双曲线的实轴为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，若，则双曲线的渐近线方程为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  设变量，满足约束条件，则的最小值为______．14.  已知数据，，，的方差为，数据，，，的方差为，则______．15.  若，则的值为______ ．16.  已知点为抛物线的焦点，经过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，点，线段的垂直平分线与轴相交于点则的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的取值范围．18.  本小题分
为调查某地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积单位：公顷和这种野生动物的数量，据分析野生动物的数量与植物覆盖面积线性相关并计算得，，，．
Ⅰ求该地区植物覆盖面积和野生动物数量的回归直线方程；
Ⅱ根据上述方程，预计该地区一块植物覆盖面积为公顷的地块中这种野生动物的数量．
参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．19.  本小题分
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．

Ⅰ求证：，，，四点共面；
Ⅱ若，，，求三棱锥的体积．20.  本小题分
椭圆的左、右焦点分别为，，直线过和椭圆交于，两点，当直线轴时，．
求椭圆的方程；
若，且，设线段的中点为，求线段的长度的取值范围．21.  本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若，是否存在整数使对任意成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．22.  本小题分
如图，在极坐标系中，，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线：由，，构成．
Ⅰ写出曲线的极坐标方程，并求曲线与直线所围成图形的面积；
Ⅱ若点在曲线上，且，求点的极坐标．
23.  本小题分
已知．
Ⅰ若，解不等式；
Ⅱ若时，恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：；
．
故选：．
可解出集合，然后进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，指数函数的单调性，增函数的定义，以及交集的运算．
 2.【答案】 【解析】解：复数对应的点的坐标为，
则，
 故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，．
．
则．
故选：．
，，可得大小关系．
本题考查了指数函数与对数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：当时，，则，即充分性成立，
若，得，得，
即或，得或，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义，结合函数表达式进行计算即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．
 5.【答案】 【解析】解：由题意可得，可得，
设，
可得，解得．
因此，污染物消除至最初的还需要小时．
故选：．
先通过“前小时消除了的污染物”求出，再令可求出，进而得到答案．
本题考查函数在生活中的实际应用，考查了数学建模和数学运算的核心素养，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和由递推公式求数列的和，属于中档题．
先由题设，然后求得与，然后再由题设数列是公差为的等差数列，进而求得，最后求出满足题意的即可．【解答】解：，，成等差数列，
，
由可得：，
，，
又，
由可得：，
数列是公差为的等差数列，
，，，
，
，
当时，，
的最大值为．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：圆：，
其圆心坐标，半径，
由点到直线的距离公式得圆心到直线：的距离，
圆上到直线距离等于的点的个数为，
故选：．
先求出圆心到直线：的距离的值，再将与半径对比，从而得出结论．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由题意函数是定义在上的奇函数，，
，
故函数是周期函数，且周期．
对于数列：
当时，，解得；
当时，，
，
两式相减，可得，
，
两边同时减，可得：
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
，
，，
，，
．
故选：．
利用函数是奇函数结合已知条件推出得出是周期函数；对于数列，根据数列的通项公式与是前项和的关系推出数列是一个等比数列．根据数列的通项公式可得数列的通项公式，从而得到，的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果．
本题主要考查函数周期性的判断方法及应用，奇函数的性质，数列的通项公式与数列和的关系的应用能力，等比数列的判断及性质应用，本题属综合性较强的中档题．
 9.【答案】 【解析】解：函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，
作出函数的大致图象，
不妨取如图的相邻三个最值点．
设其中两个最大值点为，，最小值点为．
根据正弦函数图象的对称性，易知为等腰直角三角形，且斜边上的高，
所以斜边，则周期．
由，可得，
．
故选：．
作出函数的大致图象，结合图象求出为等腰直角三角形，即可求解结论．
本小题主要考查正弦函数的图象及其性质等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识；考查化归与转化、数形结合等思想方法，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
由已知先检验与的关系，然后结合复合函数单调性即可判断．【解答】解：因为，，
所以，
所以为奇函数，排除；
当时，，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
当时，，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，故D错误．
故选B．  11.【答案】 【解析】解：由题意可知点的纵坐标为，
将代入，得，则，
由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点，
所以直线的斜率．
故选：．
求出点的坐标，根据抛物线的光学性质可得直线经过焦点，即可求出斜率．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：双曲线：的右焦点为，则的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，解得
在圆上，
可得：，可得，可得，
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：．
求出双曲线的渐近线方程，求出的坐标，利用圆的方程，转化求解渐近线方程．
本题考查双曲线与圆的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
 13.【答案】 【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最小值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 14.【答案】 【解析】解：设数据，，，的均值为，则，，，的均值为，
故且，故，
故答案为：．
利用公式可得两类方差之间的关系．
本题考查了方差公式的应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
把已知等式左边中的角 变为  ，利用诱导公式 化简，求出 的值，然后把所求式子中的角 变为 ，利用诱导公式化简后，将 的值代入即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，
由题意可得直线的方程为：，设，，
直线与抛物线的方程联立，整理可得：，则，，
所以弦的中点，
所以弦的中垂线的方程为：，令，可得，即，
所以，
所以，
故答案为：．
由抛物线的方程可得焦点的坐标，再由题意可得直线的方程，与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦的中点坐标，再求弦的中垂线的方程，令，求出的横坐标，进而求出的值，再求出的值．
本题考查抛物线的性质及线段中垂线的求法，属于中档题．
 17.【答案】本题满分为 分
解：锐角中，，
，
由正弦定理得，
，
又，
，
又，
分
由正弦定理，
则有，，分
则，分
由，，
可得：，，分
可得：，
可得：分 【解析】根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得的值，从而求得的值；
由正弦定理可得，，利用三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求的取值范围．
本题主要考查了正弦定理与三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 18.【答案】解：Ⅰ，，
，
．
回归直线方程为：；
Ⅱ由Ⅰ知，，
当时，．
即预计这种野生动物的数量为． 【解析】Ⅰ由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
Ⅱ在Ⅰ中求得的线性回归方程中，取求得值即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 19.【答案】解：Ⅰ证明：连接，在上取一点，使，连接，
且，
四边形是平行四边形，
且，
又且，
且，
四边形是平行四边形，
，又且
四边形是平行四边形，
，
，
即，，，四点共面；

Ⅱ，
，，，，
，
点到面的距离，
． 【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了三棱锥体积计算问题，属于中档题．
Ⅰ先证明，再根据两平行线确定一个平面，证明四点共面；
Ⅱ根据条件，用等体积法计算三棱锥的体积即可．
 20.【答案】解：由题意可得，，则，又，
所以，即，解得或舍，
则，
故椭圆的标准方程为；
当直线的斜率为时，，则，不满足，不符合题意；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，设，，
联立方程组，可得，
则，
所以中边上的中线长为：




，
令，则，
所以，
由，可得，则，
所以，
因为，则，
则，所以，
所以，
所以线段的长度的取值范围是． 【解析】根据题意，建立关于，，的方程组，求解，，的值，即可得到椭圆的标准方程；
验证斜率为时不符合题意，当斜率不为时，设直线的方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用向量之间的关系进行化简，结合以及的取值范围，求解即可得到答案．
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用、平面向量与圆锥曲线的综合应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究．
 21.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
令，
解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
函数在处取得极大值，不存在极小值；
若，
假设存在整数使对任意成立，
即对任意成立，
所以对任意成立，
不妨设，
此时对任意成立，
所以，
当时，对任意成立，
所以在区间上单调递增，
又，
所以不满足题设；
当时，，
令，
解得或，
因为，
所以不满足条件，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递减，
又，，
则所求整数的最小值为． 【解析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可得极值；
假设存在整数使对任意成立，将问题转化成对任意成立，构造函数，对和这两种情况进行分情况讨论，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值以及不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和分类讨论．
 22.【答案】解：在极坐标系中，，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，
曲线的极坐标方程为．
所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，
所以面积为：．
设曲线上一点，
由题设若，由，
得，；
若或，由，
得，或；
若，由，
得，；
点的极坐标为：． 【解析】直接利用转换关系，在直角坐标和极坐标之间进行转换，进一步求出所围成的图形的面积；
利用极径的应用求出点的极坐标．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 23.【答案】解：Ⅰ化为，
当时，，
当时，，，
综上可得，解集为；
Ⅱ由题意得：恒成立，
恒成立，
上式化为恒成立，
即
由于，，
令，则，
上式化为：，
在上为减函数，，
同理在上为增函数，，
，
所以实数的取值范围是 【解析】Ⅰ代入，化简原式，分类讨论的取值范围，去除绝对值，进行求解；
Ⅱ由分蓠常数，利用基本不等式及函数单调性进行求解．
本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．