2023年四川省泸州市泸县重点中学高考数学适应性试卷（理科）-普通用卷

2023年四川省泸州市泸县重点中学高考数学适应性试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  在复平面内，复数对应的点的坐标为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一次考试选择题每题分，设某学生答对的选择题数为随机变量，选择题得分为随机变量，已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要小时．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，则向量的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足其中为的前项和，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知三棱锥的外接球半径为，，，则三棱锥的体积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆相切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数，若方程有个不同的实根，，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知数据，，，的方差为，数据，，，的方差为，则______．

14.  若，则的值为______ ．

15.  已知直线和圆：相切，则实数 ______ ．

16.  如图，已知正方体的棱长为，点是内包括边界的动点，则下列结论中正确的序号是______ 填所有正确结论的序号
若，，则平面；
若平面与正方体各个面都相交，且，则截面多边形的周长一定为；
若的角平分线交于点，且，则动点的轨迹长为；
直线与平面所成的角的余弦值的最大值为．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的取值范围．

18.  本小题分
某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数情况如下表．大会组委会为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取人在前排就坐，其中亚军队有人．

求季军队的男运动员人数；
从前排就坐的亚军队人男女中随机抽収人上台领奖，请列出所有的基事件，并求亚军队中有女生上台领奖的概率；
抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生内的两个随机数，随后电脑自动运行如下所示的程序框图相应程序．若电脑显示“中奖”，则该运动员获相应奖品，若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该运动员获得奖品的概率．

19.  本小题分
如图，在正三棱柱中，为棱上的点，，，分别为，，的中点，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若平面，试确定点的位置，并求二面角的余弦值．

20.  本小题分
椭圆的左、右焦点分别为，，直线过和椭圆交于，两点，当直线轴时，．
求椭圆的方程；
若，且，设线段的中点为，求线段的长度的取值范围．

21.  本小题分
已知函数在点处的切线垂直于轴．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若存在实数，，使得，求证：．

22.  本小题分
如图，在极坐标系中，，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线：由，，构成．
Ⅰ写出曲线的极坐标方程，并求曲线与直线所围成图形的面积；
Ⅱ若点在曲线上，且，求点的极坐标．

23.  本小题分
已知．
Ⅰ若，解不等式；
Ⅱ若时，恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：；
．
故选：．
可解出集合，然后进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，指数函数的单调性，增函数的定义，以及交集的运算．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数对应的点的坐标为，
则，
 故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意知，，所以，即，即，
因为，所以，所以．
故选：．
根据离散型随机变量的性质即可求解．
本题考查离散型随机变量的期望的性质，是中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，．
．
则．
故选：．
，，可得大小关系．
本题考查了指数函数与对数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，可得，
设，
可得，解得．
因此，污染物消除至最初的还需要小时．
故选：．
先通过“前小时消除了的污染物”求出，再令可求出，进而得到答案．
本题考查函数在生活中的实际应用，考查了数学建模和数学运算的核心素养，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，设向量的夹角为，
若在的方向上的投影为，则有，
变形可得：，
即，
又由，则，
故选：．
根据题意，设向量的夹角为，分析可得，则有，变形可得，结合的范围，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量在向量上投影的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的定义、通项公式和由递推公式求数列的和，属于中档题．
先由题设，然后求得与，然后再由题设数列是公差为的等差数列，进而求得，最后求出满足题意的即可．

【解答】

解：，，成等差数列，
，
由可得：，
，，
又，
由可得：，
数列是公差为的等差数列，
，，，
，
，
当时，，
的最大值为．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得、、 成等差数列，，解得．
故展开式的通项公式为，令，求得，
故该二项式展开式中项的系数为，
故选：．
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意函数是定义在上的奇函数，，
，
故函数是周期函数，且周期．
对于数列：
当时，，解得；
当时，，
，
两式相减，可得，
，
两边同时减，可得：
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
，
，，
，，
．
故选：．
利用函数是奇函数结合已知条件推出得出是周期函数；对于数列，根据数列的通项公式与是前项和的关系推出数列是一个等比数列．根据数列的通项公式可得数列的通项公式，从而得到，的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果．
本题主要考查函数周期性的判断方法及应用，奇函数的性质，数列的通项公式与数列和的关系的应用能力，等比数列的判断及性质应用，本题属综合性较强的中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设外接球球心为，分别取，中点，，
连接、、、，，，
则，
，，
当、、三点共线，且面时，
三棱锥的体积最大，
，
故选：．
根据面且最大时，三棱锥的体积最大求解即可．
本题考查三棱锥的外接球问题，三棱锥的体积的计算，运动变化思想的应用，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．
【解答】
解：为圆上的点，

，
，
是的中点，又是的中点，
，且，
又，
，
是圆的切线，，
，
又，，
，
．
双曲线方程为：．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：由，
，
令，解得，
当或，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
由图象可得，
又，
设，，
，
在上是减函数，在上是增函数，
由，，，
可得的取值范围为，
故选：．
先求导，判断函数的单调性，可得的范围，再构造函数，根据导数和函数单调性以及最值的关系即可求出的范围．
本题主要考查方程根的个数的应用，根据方程和函数之间的关系，利用导数和函数的思想，本题难度较大，综合性较强．
 

13.【答案】 

【解析】解：设数据，，，的均值为，则，，，的均值为，
故且，故，
故答案为：．
利用公式可得两类方差之间的关系．
本题考查了方差公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
把已知等式左边中的角 变为  ，利用诱导公式 化简，求出 的值，然后把所求式子中的角 变为 ，利用诱导公式化简后，将 的值代入即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由直线与圆相切可知，，化简得，解得或．
故答案为：或．
利用圆心到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式列出等式，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，主要考查了圆的切线方程的理解和应用，圆的切线问题一般会转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：对于中，如图所示，

由知，点在线段上，连接，，
因为，且平面，平面，所以平面，
同理可证得平面，
又因为且，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以正确；
对于中，如图所示，

在正方体中，可得平面，
又因为，所以平面平面，即所求截面与平面平行，
因为平面平面，平面平面，
所以，同理可证，，
设，其中，则，
因为，所以，，
因为，所以，
同理，可得，，故截面多边形的周长为，
所以正确；
对于中，建立平面直角坐标系，如图所示，

设，，，由角平分线性质得，
即，故，化简得，
即所以，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧，且弧长为，所以正确；
对于中，如图所示，

在正方体中，可得平面，
所以即为直线与平面所成角，
在直角中，可得，
又因为在的内部及其边界，可得，
所以的最大值为，所以错误．
故答案为：．
由点在线段上，连接，，证得平面和平面，得到平面平面，进而得到平面，可判定正确；由平面，得到平面平面，得到截面与平面平行，设，求得、及，可判定正确；建立平面直角坐标系，设，由，得到，可判定正确；由平面，得到即为直线与平面所成角，求得，进而判定错误．
本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了直线与平面所成的角，属于中档题．
 

17.【答案】本题满分为 分
解：锐角中，，
，
由正弦定理得，
，
又，
，
又，
分
由正弦定理，
则有，，分
则，分
由，，
可得：，，分
可得：，
可得：分 

【解析】根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得的值，从而求得的值；
由正弦定理可得，，利用三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求的取值范围．
本题主要考查了正弦定理与三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：设季军队的男运动员人数为，
由题意得，
解得．
记个男运动员分别为，，，个女运动员分别为，，
所有基本事件如下：，，，
，，，，
，，，共种，
其中亚军队中有女生有种，
故亚军队中有女生上台领奖的概率为．
由已知，，，
点在如图所示的正方形内，

由条件得到的区域是正方形左侧区域，
故该运动员获得奖品的概率为
． 

【解析】本题考查古典概型及其概率计算公式、程序框图、几何概型，考查运算求解能力，属于中档题．
先设季军队的男运动员人数为，由分层抽样的方法得关于的等式，即可解得；
记个男运动员分别为，，，个女运动员分别为，，利用列举法写出所有基本事件和亚军队中有女生的情况，最后利用概率公式计算出亚军队中有女生上台领奖的概率；
由框图得到，点满足条件，其表示的区域是正方形左侧区域，利用几何概型的计算公式即可得到该运动员获得奖品的概率．
 

19.【答案】证明：在正三棱柱中，平面，
因为，，分别为，，的中点，所以，又，
所以，平面，所以、、、四点共面，，
又因为，且，
所以平面，
所以；
解：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
设，，
，
设平面的法向量为，则，即，
取，可得，
因为平面，所以，解得，所以，
易知平面的法向量，
所以，
由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为． 

【解析】由已知可得，所以、、、四点共面，再证明平面即可证明；
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，，由平面，则，可得，利用向量法即可求解．
本题考查二面角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可得，，则，又，
所以，即，解得或舍，
则，
故椭圆的标准方程为；
当直线的斜率为时，，则，不满足，不符合题意；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，设，，
联立方程组，可得，
则，
所以中边上的中线长为：




，
令，则，
所以，
由，可得，则，
所以，
因为，则，
则，所以，
所以，
所以线段的长度的取值范围是． 

【解析】根据题意，建立关于，，的方程组，求解，，的值，即可得到椭圆的标准方程；
验证斜率为时不符合题意，当斜率不为时，设直线的方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用向量之间的关系进行化简，结合以及的取值范围，求解即可得到答案．
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用、平面向量与圆锥曲线的综合应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究．
 

21.【答案】解：Ⅰ，
在点处的切线垂直于轴，
，得，
则，
时，，时，
在区间，单调递增，在区间单调递减．
Ⅱ证明：设，则，
欲证明：，即，
因为，，且在上单调递增，
只需要证明，
构造，，
，所以在区间上单减，在上单增，
，
再证明：，令，
，则在上单调递减，
所以，而，得证，
所以，，得证结论成立． 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，根据，求出的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
Ⅱ问题转化为只需要证明，构造，，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．
 

22.【答案】解：在极坐标系中，，弧，弧，弧所在圆的圆心分别是，
曲线的极坐标方程为．
所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，
所以面积为：．
设曲线上一点，
由题设若，由，
得，；
若或，由，
得，或；
若，由，
得，；
点的极坐标为：． 

【解析】直接利用转换关系，在直角坐标和极坐标之间进行转换，进一步求出所围成的图形的面积；
利用极径的应用求出点的极坐标．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：Ⅰ化为，
当时，，
当时，，，
综上可得，解集为；
Ⅱ由题意得：恒成立，
恒成立，
上式化为恒成立，
即
由于，，
令，则，
上式化为：，
在上为减函数，，
同理在上为增函数，，
，
所以实数的取值范围是 

【解析】Ⅰ代入，化简原式，分类讨论的取值范围，去除绝对值，进行求解；
Ⅱ由分蓠常数，利用基本不等式及函数单调性进行求解．
本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．