数学选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时综合训练题

第2课时　直线和椭圆的位置关系

1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)

A．相交    B．相切

C．相离    D．不确定

2．过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最短弦AB的长为(　　)

A．1    B．2

C．    D．4

3．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|＝(　　)

A． B．

C．    D．

4．[2023·辽宁实验中学高二检测]椭圆C：＋y2＝1(m>1)的左、右焦点为F1，F2，经过F1的直线与椭圆C相交于A，B，若△ABF2的周长为8，则椭圆C的焦距为(　　)

A．    B．2

C．2    D．4

5．若椭圆＋＝1的动弦AB斜率为1，则弦中点坐标可能是(　　)

A．(－3，4)    B．(－，1)

C．(－4，3)    D．(－，1)

6．[2023·广东深圳高二检测](多选)已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)

B．椭圆C的长轴长为4

C．直线l的方程为x＋y－3＝0

D．|AB|＝

7．[2023·安徽泗县一中高二检测]已知直线2kx－y＋2＝0与椭圆＋＝1(m>0)恒有公共点，则实数m的取值范围为________．

8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F作垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为______________．

1．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·＝(　　)

A．－3   B．－

C．－3或－    D．±

2．[2023·江苏宿迁高二检测]过点M(1，1)的直线l交椭圆：＋＝1于A，B两点，若＝，则直线l的斜率为(　　)

A．－    B．－

C． D．

3．[2023·湖北黄冈高二测试]已知椭圆C：＋＝1的上下顶点分别为A，B，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C交于D点，则直线BD的斜率kBD为(　　)

A．    B．

C．    D．

4．[2023·广东佛山高二测试]圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：x＋2y－8＝0与椭圆C：＋＝1相切于点P，椭圆C的焦点为F1，F2，由光学性质知直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的角平分线所在的直线的方程为(　　)

A．2x－y－1＝0    B．x－y＋1＝0

C．2x－y＋1＝0    D．x－y－1＝0

5．如图，某市规划在两条道路边沿PM，PN之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中B1B2为椭圆的短轴，OA为椭圆的半长轴．已知OP＝3 km，B1B2＝2 km，∠MPN＝45°.为使OA尽可能大，其取值应为(精确到0.1 km)(　　)

A．2.9 km    B．2.8 km

C．2.7 km    D．2.6 km

6．[2023·山东省临沂一中高二检测](多选)已知O为坐标原点，椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点(1，)，(，)均在椭圆C上，则(　　)

A．椭圆C的离心率为

B．椭圆C的短轴长为2

C．直线l：kx＋y－k＝0与椭圆C相交

D．若点A，B在椭圆C上，AB的中点坐标为(1，)，则直线AB的方程为y＝－x＋1

7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点为M，则PM的最小值是________．

8．[2023·广东茂名高二检测]已知椭圆C：＋＝1与动直线l：y＝x＋m相交于A，B两点，则实数m的取值范围为________；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为________________．

9．已知椭圆＋＝1，一组平行直线的斜率是1.

(1)这组直线与椭圆有公共点时纵截距的取值范围；

(2)当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程．

10．[2022·北京卷]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|＝2时，求k的值．

1．[2023·江苏南通高二检测](多选)过椭圆C：＋＝1外一点P(x0，y0)作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，如果kPA·kPB＝m(m<0)，那么点P的轨迹可能是(　　)

A．直线    B．圆

C．椭圆    D．线段

2．[2022·新高考Ⅱ卷]已知椭圆＋＝1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则直线l的方程为________________．

3．[2023·湖南岳阳高二检测]已知点A(3，1)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，且椭圆的焦距为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)过A作倾斜角互补的两条直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为P，Q，求PQ的斜率．

第2课时　直线和椭圆的位置关系

必备知识基础练

1．答案：A

解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，

又＋＝<1，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.

2．答案：A

解析：过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最短弦AB的长为椭圆的通径：2×＝1.故选A.

3．答案：A

解析：设直线AB方程为y＝x－1，联立椭圆方程＋＝1，

整理可得7x2－8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1·x2＝－，根据弦长公式有

|AB|＝·＝.故B，C，D错误．故选A.

4．答案：B

解析：由题意△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝8，

解得a＝2，

故m＝a2＝4，c＝＝，

则椭圆C的焦距为2.故选B.

5．答案：B

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由已知得，＋＝1，＋＝1，

两式作差可得，＋＝0，整理可得＝－·＝－.

AB的中点D的坐标为(x0，y0)，则有＝－.

又点D在椭圆的内部，所以y0<2.故选B.

6．答案：BCD

解析：A：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0，±2)，错误；

B：a2＝8，即椭圆C的长轴长为2a＝4，正确；

C：由题意，可设直线l为x＝k(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，联立椭圆方程并整理得(2k2＋1)y2＋4k(1－2k)y＋8k2－8k－6＝0，M为椭圆内一点，则Δ>0，

∴y1＋y2＝＝4，可得k＝－1，即直线l为x＋y－3＝0，正确；

D：由C知：y1＋y2＝4，y1y2＝，则＝·＝，正确．故选BCD.

7．答案：[4，9)∪(9，＋∞)

解析：∵直线2kx－y＋2＝0，令，解得，所以直线2kx－y＋2＝0恒过定点P(0，2)，

∴直线2kx－y＋2＝0与椭圆＋＝1(m>0)恒有公共点，

即点P(0，2)在椭圆内或椭圆上，∴＋≤1，即m≥4，

又m≠9，否则＋＝1是圆而非椭圆，

∴4≤m<9或m>9，即实数m的取值范围是[4，9)∪(9，＋∞).

8．答案：＋＝1

解析：将x＝c代入椭圆C的方程可得＋＝1，可得y＝±，

由已知可得＝＝2，整理可得a2－a－2＝0，∵a>0，解得a＝2，

所以b＝＝，因此椭圆C的方程为＋＝1.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1，0).

设直线l过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.

代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)·(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，

·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.

同理当直线l过左焦点时，·＝－.故选B.

2．答案：B

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵＝，∴M是线段AB的中点．

由中点坐标公式可得，，　　　①

又A，B在椭圆上，

则＋＝1，＋＝1，

两式作差得，＋＝＋＝0，

将①式代入，可得＝－.

所以直线l的斜率为－.故选B.

3．答案：B

解析：依题意，椭圆C：＋＝1的上顶点A(0，)，下顶点B(0，－)，左焦点F1(－1，0)，右焦点F2(1，0)，

由椭圆的光学性质知，反射光线AD必过右焦点F2，于是得直线AD的方程为y＝－x＋，

由得点D(，－)，则有kBD＝＝，

所以直线BD的斜率kBD为.故选B.

4．答案：A

解析：⇒⇒P(2，3)，

直线l的斜率为－，

由于直线PF1，PF2与l的夹角相等，则∠F1PF2的角平分线所在的直线的斜率为2，

所以所求直线方程为y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.故选A.

5．答案：B

解析：如图建立直角坐标系，

设OA＝a，B1B2＝2，由已知设椭圆方程为＋y2＝1，

又OP＝3，∠MPN＝45°，所以直线PN的方程为y＝x－3，

由题意可知当椭圆与直线相切时OA取最大值，

联立方程组，得(1＋a2)x2－6a2x＋8a2＝0，

Δ＝(－6a2)2－4·(1＋a2)·8a2＝0，解得a2＝8，

即OA＝a≈2.8 km.故选B.

6．答案：BCD

解析：设椭圆C的方程为＋＝1，(a>0，b>0)，

将点(1，)，(，)代入椭圆C的方程，得，解得，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1，

所以椭圆C的离心率为 ＝，故A错误；

椭圆C的短轴长为2b＝2，故B正确；

由于直线l：kx＋y－k＝0，过定点(1，0)，点(1，0)在椭圆C的内部，所以直线l：kx＋y－k＝0与椭圆C相交，故C正确；

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以，所以y－y＝－，即＝－·＝－·，

又AB的中点坐标为(1，)，

所以＝－·＝－，即kAB＝－，

所以直线AB的方程为y＝－(x－1)＋，即y＝－x＋1，故D正确．故选BCD.

7．答案：

解析：设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为A(3，0)，由题意可知PM⊥AM，

∴|PM|2＝|AP|2－|AM|2，

∵|AM|2＝1，

∴|AP|越小，|PM|越小，而A为椭圆的右焦点，

∴|AP|最小值是5－3＝2，

∴|PM|最小值是＝.

8．答案：－3<m<3　3x＋2y＝0，－<x<

解析：由，得18x2＋12mx＋4m2－36＝0；

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

可得Δ＝144m2－4×18(4m2－36)＞0，

可得－3<m<3.

设弦AB的中点为M(x，y)，

可得，

可得3x＋2y＝0，－<x<.

9．解析：(1)设平行直线的方程为y＝x＋b，

将y＝x＋b代入＋＝1，整理得13x2＋8bx＋4b2－36＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝64b2－208(b2－9)＝－144(b2－13)≥0，解得－≤b≤.

(2)令交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由(1)知：x1＋x2＝－，

而y1＋y2＝x1＋x2＋2b＝，所以线段的中点坐标为(－，)，

又知当b＝0时，中点为坐标原点，故直线的斜率为k＝＝－(b≠0)，

∴所在的直线方程为9x＋4y＝0.

10．解析：(1)依题意可得b＝1，2c＝2，又c2＝a2－b2，

所以a＝2，所以椭圆方程为＋y2＝1.

(2)依题意过点P(－2，1)的直线为y－1＝k(x＋2)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，不妨令－2≤x1<x2≤2，

由，消去y整理得(1＋4k2)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，

所以Δ＝(16k2＋8k)2－4(1＋4k2)(16k2＋16k)>0，解得k<0，

所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，

直线AB的方程为y－1＝x，令y＝0，

解得xM＝，

直线AC的方程为y－1＝x，令y＝0，

解得xN＝，

所以|MN|＝|xN－xM|＝|－|

＝

＝

＝

＝＝2，

所以|x1－x2|＝|k|(x2＋2)(x1＋2)，

即 ＝|k|[x2x1＋2(x2＋x1)＋4]

即

＝|k|，

即

＝[16k2＋16k－2(16k2＋8k)＋4(1＋4k2)]，

整理得8＝4|k|，解得k＝－4.

核心素养升级练

1．答案：BC

解析：依题意可知直线PA和直线PB的斜率存在，

设过P(x0，y0)的椭圆的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，

由消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2k2x－4kx0y0＋2y－8＝0，

其Δ＝16k2(y0－kx0)2－4(1＋2k2)(2k2x－4kx0y0＋2y－8)＝0，

整理得(8－x)k2＋2x0y0k＋4－y＝0，8－x≠0，x0≠±2，

其Δ＝4xy－4(8－x)(4－y)>0，整理得＋>1，符合题意，

所以kPA·kPB＝＝m(m<0)，

整理得＋＝1，　①

＝8－>8，4－8m>4，

当m＝－1时，＝4－8m＝12，代入①得x＋y＝12(x0≠±2)，

即P点的轨迹是圆的一部分．

当m<－1或－1<m<0时，≠4－8m，由于x0≠±2，所以P点的轨迹是椭圆的一部分．故选BC.

2．答案：x＋y－2＝0

解析：令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，

所以－＋－＝0，即＋＝0，

所以＝－，即kOE·kAB＝－，设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，

令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，即M(－，0)，N(0，m)，所以E(－，)，

即k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，

又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，

所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.

3．解析：(1)由题知，椭圆焦点在x轴上，

因为，解得a2＝12，b2＝4，

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)设过PQ的直线l的方程为y＝kx＋t并与椭圆方程联立得

(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－4)＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

由已知，kAP＋kAQ＝0，

所以＋＝0，从而(x1－3)(y2－1)＋(x2－3)(y1－1)＝0，

即(x1－3)(kx2＋t－1)＋(x2－3)(kx1＋t－1)＝0，

整理得

2kx1x2＋(t－1－3k)(x1＋x2)－6(t－1)＝0.

将上述韦达定理关系式代入并整理得(3k2－4k＋1)＋t(k－1)＝0，

即(k－1)(3k－1＋t)＝0，

若3k－1＋t＝0，则直线l：y＝kx＋1－3k经过A点，不符合题意，

所以k＝1，

所以直线l的斜率为1.