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+2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷(含答案)
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这是一份+2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，数轴上点A表示的有理数可能是（ ）
A．﹣2.7 B．﹣2.3 C．﹣1.7 D．﹣1.3
2．（2分）若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．（2分）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
4．（2分）如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
5．（2分）如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若S1＝13，S2＝5，则S3的面积为（ ）
A．12 B．25 C．8 D．18
6．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A．4﹣π B．8﹣π C．16﹣2π D．2π﹣4
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围 ．
8．（3分）不等式组的所有整数解的积为 ．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
10．（3分）如图所示的四角风车至少旋转 °就可以与原图形重合．
11．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞2）和4，那么阴影部分的面积 ．（用含x的代数式表示）
12．（3分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ ．
13．（3分）为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O，使AC、BD交于点O，且CD∥AB．若测得OB：OD＝3：2，CD＝40米，则A，B两点之间的距离为 米．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若∠C＝60°，BC＝4，则△ABE的周长为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
16．（5分）在一个密闭留有洞口的盒子里，装有3个分别写有数字﹣1，0，1的小球（形状、大小一样）．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）法，求两次取出小球上的数字相同的概率．
17．（5分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，求证：△ABC≌△DCE．
18．（5分）《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数约是 亿元（结果保留一位小数）；
（2）在由“新基建”七大领域预计投资规模组成的扇形统计图中，“新能源汽车充电桩”预计投资规模所占的圆心角约是 °（结果保留整数）；
（3）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中，甲选择了“5G基站建设”，乙选择了“人工智能”分别作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么．
20．（7分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作△ABC的重心．
（2）在图2中作∠AGB＝∠ACB，且G是格点．
21．（7分）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为53°，从楼AB的顶部点测得楼CD的底部点C的俯角为45°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼AB、CD的高度．（结果保留1位小数）
22．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝6，BC＝5．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米）
1
3
4
6
11
12
y（斤）
0.75
1.25
1.50
2.25
3.25
3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是多少？
24．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6），点D为线段OA上一动点，过点D作DE⊥OA交对角线OB于点E，把△ODE绕点O逆时针旋转，得△OD'E'，点D，E旋转后的对应点为D'，E'．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点D为OA中点时，α＝30°，求点D'的坐标；
（Ⅱ）若旋转后点D'落在OB上，设OD＝t．
（ⅰ）如图②，若旋转后△OD'E'与矩形OABC的重合部分为四边形．E'D'交BC于点N，OE'交BC于点M，试用含有t的式子表示线段D'N的长，并直接写出t的取值范围；
（ⅱ）若△OD'E'与矩形OABC的重叠部分的面积为S，当4≤t≤6时，试用含有t的式子表示S（直接写出结果即可）．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．
（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（4）在（3）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3．求t的值．
2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷
（参考答案）
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，数轴上点A表示的有理数可能是（ ）
A．﹣2.7 B．﹣2.3 C．﹣1.7 D．﹣1.3
【解答】解：因为点A在﹣2与﹣1之间，且更靠近﹣2，
所以点A表示的数可能是﹣1.7．
故选：C．
2．（2分）若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【解答】解：（5﹣）+＝5，
（5﹣）×＝10﹣2＝8，
∵5＜8，
∴应该填：×，
故选：C．
3．（2分）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：B．
4．（2分）如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
【解答】解：由正方形的性质知，铁丝的总长度为1+1+1+1＝4，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
∴AB边长度小于2，
故选：A．
5．（2分）如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若S1＝13，S2＝5，则S3的面积为（ ）
A．12 B．25 C．8 D．18
【解答】解：如图1，正五边形ABDEF，则∠AOM＝×＝36°，AM＝AB，
在Rt△AOM中，∠OAM＝90°﹣36°＝54°，
∴OM＝tan54°•AM＝AB•tan54°，
∴S1＝5S△AOB＝5×AB×AB•tan54°＝，
如图2，由上述解法可得，S2＝，S3＝，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1，
又∵S1＝13，S2＝5，
∴S3，＝13﹣5＝8，
故选：C．
6．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A．4﹣π B．8﹣π C．16﹣2π D．2π﹣4
【解答】解：如图，连接BE，
∵BC是圆的直径，
∴BE⊥AC，
又∵BC＝AB，
∴BE＝EA＝EC，
∵O是BC中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥AB，∠BOE＝90°，
阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形BOE＝＝＝8﹣π．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围 x≠3 ．
【解答】解：分式有意义应满足分母不为0，即x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
8．（3分）不等式组的所有整数解的积为 0 ．
【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x≤1，
所以不等式组的整数解为0，1，
∴有整数解的积为 0×1＝0．
故答案为：0．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 9 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝36﹣4c＝0，
∴c＝9．
故答案为：9．
10．（3分）如图所示的四角风车至少旋转 90 °就可以与原图形重合．
【解答】解：∵＝90°，
∴四角风车至少旋转90°就可以与原图形重合．
故答案为：90．
11．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞2）和4，那么阴影部分的面积 2x﹣4 ．（用含x的代数式表示）
【解答】解：∵面积分别是x2（x＞2）和4，
∴它们的边长分别为：x，2，
∴阴影部分的面积为：2（x﹣2）＝2x﹣4，
故答案为：2x﹣4．
12．（3分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ 26° ．
【解答】解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠B＝∠D＝64°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：26°．
13．（3分）为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O，使AC、BD交于点O，且CD∥AB．若测得OB：OD＝3：2，CD＝40米，则A，B两点之间的距离为 60 米．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CD0，
∴，
∵CD＝40米，
∴AB＝60米．
故答案为：60．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若∠C＝60°，BC＝4，则△ABE的周长为 24 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝60°，
∵将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处，
∴BD垂直平分AE．
∴AD＝DE＝4，BA＝BE，
∴∠E＝∠A＝60°，AE＝8，
∴等腰△ABE为等边三角形．
∴△ABE的周长为8×3＝24．
故答案为：24．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2
＝﹣4xy．
当x＝，y＝﹣3时，
原式＝﹣4××（﹣3）＝6．
16．（5分）在一个密闭留有洞口的盒子里，装有3个分别写有数字﹣1，0，1的小球（形状、大小一样）．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）法，求两次取出小球上的数字相同的概率．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的有3种结果．
∴两次取出小球上的数字相同的概率为 ＝．
17．（5分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，求证：△ABC≌△DCE．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
18．（5分）《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
依题意得：，
解得：．
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数约是 314.3 亿元（结果保留一位小数）；
（2）在由“新基建”七大领域预计投资规模组成的扇形统计图中，“新能源汽车充电桩”预计投资规模所占的圆心角约是 49 °（结果保留整数）；
（3）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中，甲选择了“5G基站建设”，乙选择了“人工智能”分别作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么．
【解答】解：（1）2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数为：
（100+640+300+200+160+500+300）÷7≈314.3（亿元），
故答案为：314.3；
（2）×360°≈49°，
故答案为：49；
（3）五大细分领域中，“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比，增长率最大，所以甲关注的是这个增长率；而“人工智能”则是五大细分领域中2020年预计投资规模最大的，故乙关注它．
20．（7分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作△ABC的重心．
（2）在图2中作∠AGB＝∠ACB，且G是格点．
【解答】解：（1）如图1，点D即为所求作的的；
（2）如图2，∠AG1B，∠AG2B，∠AG3B，∠AG4B即为所求作．
21．（7分）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为53°，从楼AB的顶部点测得楼CD的底部点C的俯角为45°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼AB、CD的高度．（结果保留1位小数）
【解答】（1）解：过A作AE⊥CD于点E，连接AC，
根据题意得：∠DAE＝53°，∠CAE＝45°，
∴∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝98°；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥CD，
∴AB＝CE，∠AEC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AB＝EC，AE＝BC，
∵∠EAC＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝30（米），
∵AE＝BC＝30（米）
在Rt△AED中，∠DAE＝53°，，
解得：DE＝39.9（米），
∴CD＝DE+CE＝39.9+30＝69.9（米）．
22．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝6，BC＝5．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝6，
∴AE＝BE＝3．
在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∵OA＝8，
∴C点的坐标为：（4，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝3×4＝12，
（2）设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝5，AB＝6，
∴AD＝1，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，1），（m﹣4，3）．
∵点C，D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝3（m﹣4），
∴m＝6，
∴C点的坐标为：（2，3），
∴OC＝．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米）
1
3
4
6
11
12
y（斤）
0.75
1.25
1.50
2.25
3.25
3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是多少？
【解答】解：（1）观察图象可知：x＝6，y＝2.25这组数据错误．
（2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75；x＝4，y＝1.5代入可得：
，
解得，
∴y＝0.25x+0.5，
当x＝20时，y＝0.25×20+0.5＝5.5，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5斤．
24．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 CD＝CB ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
【解答】解：（1）当α＝90°时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，
故答案为：CD＝CB；
（2）仍然有CD＝CB，理由如下：
过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，
则∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，
∴∠CDF＝α＝∠ABC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，
∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，
∴△AON≌△COD（SAS），
∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，
∴∠DAN+∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，
又∵AD＝BM，
∴△AND≌△BCM（SAS），
∴CM＝DN＝2DO，
∴＝2．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6），点D为线段OA上一动点，过点D作DE⊥OA交对角线OB于点E，把△ODE绕点O逆时针旋转，得△OD'E'，点D，E旋转后的对应点为D'，E'．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点D为OA中点时，α＝30°，求点D'的坐标；
（Ⅱ）若旋转后点D'落在OB上，设OD＝t．
（ⅰ）如图②，若旋转后△OD'E'与矩形OABC的重合部分为四边形．E'D'交BC于点N，OE'交BC于点M，试用含有t的式子表示线段D'N的长，并直接写出t的取值范围；
（ⅱ）若△OD'E'与矩形OABC的重叠部分的面积为S，当4≤t≤6时，试用含有t的式子表示S（直接写出结果即可）．
【解答】解：（I）如图1，过点D'作D'G⊥OA于G，
∵点A（8，0），
∴OA＝8，
∵D是OA的中点，
∴OD＝OD'＝OA＝4，
∵α＝30°，即∠D'OG＝30°，
∴D'G＝OD'＝2，OG＝2，
∴D'（2，2）；
（II）（i）如图2，当点E'在BC上时，
∵BC∥OA，
∴∠AOB＝∠CBO，
∵∠AOB＝∠D'OE'，
∴∠BOE'＝∠OBC，
∴OE'＝E'B，
∵E'D'⊥OB，
由旋转得：OD'＝OD＝t，
Rt△AOB中，AB＝6，OA＝8，
∴OB＝＝10，t＝5，
∴BD'＝10﹣t，
Rt△BD'N中，tan∠OBC＝＝，
即＝＝，
∴D'N＝﹣t+（5＜t≤8）；
（ii）如图3，当4≤t≤5时，△OD'E'与矩形OABC的重叠部分是△OD'E'，
∵tan∠DOE＝＝，
∴＝，
∴DE＝t，
∴S＝S△DOE＝•OD•DE＝•t•t＝t2；
当5＜t≤6时，如图4，旋转后△OD'E'与矩形OABC的重合部分为四边形OMND'，
由（i）可知：BM＝OM，
过点M作MK⊥OB于K，则OK＝OB＝5，
∵cos∠BOM＝cos∠AOB，
∴＝，即＝，
∴OM＝，
∴S＝S△BOM﹣S△ND'B
＝•BM•OC﹣•D'N•BD'
＝××6﹣（﹣t+）（10﹣t）
＝﹣t2+t﹣（5＜t≤6）；
综上，S＝．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．
（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（4）在（3）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3．求t的值．
【解答】解：（1）由点（0，﹣3）和对称轴，可列方程组，解得a＝1，b＝﹣2．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）抛物线的顶点坐标为（，），将a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3代入，得（1，﹣4）．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1，1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2 时，y的值最大．
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5．
将b＝﹣2a代入，得a＝1．
（4）①当t＜0时，
∵a＝1，
∴b﹣2a＝﹣2．
∴y的最大值是 m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3
最小值是 n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3
m﹣n＝3，
t2﹣2t﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3．解得 t＝﹣1．
②当 时，
y的最大值是 m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是 n＝﹣4．
∵m﹣n＝3，
（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3．解得 （不成立）；
③当 时，y的最大值是 m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是 n＝﹣4．
m﹣n＝t2﹣2t﹣（﹣4）＝3．解得 （不成立）；
④当t≥1 时，
y的最大值是 m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是 n＝t2﹣2t﹣3
∴m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3．解得 t＝2．
综上，t的值为﹣1或2．
2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，数轴上点A表示的有理数可能是（ ）
A．﹣2.7 B．﹣2.3 C．﹣1.7 D．﹣1.3
2．（2分）若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．（2分）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
4．（2分）如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
5．（2分）如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若S1＝13，S2＝5，则S3的面积为（ ）
A．12 B．25 C．8 D．18
6．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A．4﹣π B．8﹣π C．16﹣2π D．2π﹣4
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围 ．
8．（3分）不等式组的所有整数解的积为 ．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
10．（3分）如图所示的四角风车至少旋转 °就可以与原图形重合．
11．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞2）和4，那么阴影部分的面积 ．（用含x的代数式表示）
12．（3分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ ．
13．（3分）为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O，使AC、BD交于点O，且CD∥AB．若测得OB：OD＝3：2，CD＝40米，则A，B两点之间的距离为 米．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若∠C＝60°，BC＝4，则△ABE的周长为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
16．（5分）在一个密闭留有洞口的盒子里，装有3个分别写有数字﹣1，0，1的小球（形状、大小一样）．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）法，求两次取出小球上的数字相同的概率．
17．（5分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，求证：△ABC≌△DCE．
18．（5分）《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数约是 亿元（结果保留一位小数）；
（2）在由“新基建”七大领域预计投资规模组成的扇形统计图中，“新能源汽车充电桩”预计投资规模所占的圆心角约是 °（结果保留整数）；
（3）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中，甲选择了“5G基站建设”，乙选择了“人工智能”分别作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么．
20．（7分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作△ABC的重心．
（2）在图2中作∠AGB＝∠ACB，且G是格点．
21．（7分）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为53°，从楼AB的顶部点测得楼CD的底部点C的俯角为45°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼AB、CD的高度．（结果保留1位小数）
22．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝6，BC＝5．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米）
1
3
4
6
11
12
y（斤）
0.75
1.25
1.50
2.25
3.25
3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是多少？
24．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6），点D为线段OA上一动点，过点D作DE⊥OA交对角线OB于点E，把△ODE绕点O逆时针旋转，得△OD'E'，点D，E旋转后的对应点为D'，E'．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点D为OA中点时，α＝30°，求点D'的坐标；
（Ⅱ）若旋转后点D'落在OB上，设OD＝t．
（ⅰ）如图②，若旋转后△OD'E'与矩形OABC的重合部分为四边形．E'D'交BC于点N，OE'交BC于点M，试用含有t的式子表示线段D'N的长，并直接写出t的取值范围；
（ⅱ）若△OD'E'与矩形OABC的重叠部分的面积为S，当4≤t≤6时，试用含有t的式子表示S（直接写出结果即可）．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．
（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（4）在（3）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3．求t的值．
2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷
（参考答案）
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）如图，数轴上点A表示的有理数可能是（ ）
A．﹣2.7 B．﹣2.3 C．﹣1.7 D．﹣1.3
【解答】解：因为点A在﹣2与﹣1之间，且更靠近﹣2，
所以点A表示的数可能是﹣1.7．
故选：C．
2．（2分）若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【解答】解：（5﹣）+＝5，
（5﹣）×＝10﹣2＝8，
∵5＜8，
∴应该填：×，
故选：C．
3．（2分）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：B．
4．（2分）如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ）
A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
【解答】解：由正方形的性质知，铁丝的总长度为1+1+1+1＝4，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
∴AB边长度小于2，
故选：A．
5．（2分）如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若S1＝13，S2＝5，则S3的面积为（ ）
A．12 B．25 C．8 D．18
【解答】解：如图1，正五边形ABDEF，则∠AOM＝×＝36°，AM＝AB，
在Rt△AOM中，∠OAM＝90°﹣36°＝54°，
∴OM＝tan54°•AM＝AB•tan54°，
∴S1＝5S△AOB＝5×AB×AB•tan54°＝，
如图2，由上述解法可得，S2＝，S3＝，
又∵AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1，
又∵S1＝13，S2＝5，
∴S3，＝13﹣5＝8，
故选：C．
6．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A．4﹣π B．8﹣π C．16﹣2π D．2π﹣4
【解答】解：如图，连接BE，
∵BC是圆的直径，
∴BE⊥AC，
又∵BC＝AB，
∴BE＝EA＝EC，
∵O是BC中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥AB，∠BOE＝90°，
阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形BOE＝＝＝8﹣π．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围 x≠3 ．
【解答】解：分式有意义应满足分母不为0，即x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
8．（3分）不等式组的所有整数解的积为 0 ．
【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x≤1，
所以不等式组的整数解为0，1，
∴有整数解的积为 0×1＝0．
故答案为：0．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 9 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝36﹣4c＝0，
∴c＝9．
故答案为：9．
10．（3分）如图所示的四角风车至少旋转 90 °就可以与原图形重合．
【解答】解：∵＝90°，
∴四角风车至少旋转90°就可以与原图形重合．
故答案为：90．
11．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞2）和4，那么阴影部分的面积 2x﹣4 ．（用含x的代数式表示）
【解答】解：∵面积分别是x2（x＞2）和4，
∴它们的边长分别为：x，2，
∴阴影部分的面积为：2（x﹣2）＝2x﹣4，
故答案为：2x﹣4．
12．（3分）如图，C，D在圆上，AB是直径，若∠D＝64°，则∠BAC＝ 26° ．
【解答】解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠B＝∠D＝64°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：26°．
13．（3分）为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O，使AC、BD交于点O，且CD∥AB．若测得OB：OD＝3：2，CD＝40米，则A，B两点之间的距离为 60 米．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CD0，
∴，
∵CD＝40米，
∴AB＝60米．
故答案为：60．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若∠C＝60°，BC＝4，则△ABE的周长为 24 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝60°，
∵将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处，
∴BD垂直平分AE．
∴AD＝DE＝4，BA＝BE，
∴∠E＝∠A＝60°，AE＝8，
∴等腰△ABE为等边三角形．
∴△ABE的周长为8×3＝24．
故答案为：24．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2
＝﹣4xy．
当x＝，y＝﹣3时，
原式＝﹣4××（﹣3）＝6．
16．（5分）在一个密闭留有洞口的盒子里，装有3个分别写有数字﹣1，0，1的小球（形状、大小一样）．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）法，求两次取出小球上的数字相同的概率．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的有3种结果．
∴两次取出小球上的数字相同的概率为 ＝．
17．（5分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，求证：△ABC≌△DCE．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
18．（5分）《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
依题意得：，
解得：．
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数约是 314.3 亿元（结果保留一位小数）；
（2）在由“新基建”七大领域预计投资规模组成的扇形统计图中，“新能源汽车充电桩”预计投资规模所占的圆心角约是 49 °（结果保留整数）；
（3）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中，甲选择了“5G基站建设”，乙选择了“人工智能”分别作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么．
【解答】解：（1）2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数为：
（100+640+300+200+160+500+300）÷7≈314.3（亿元），
故答案为：314.3；
（2）×360°≈49°，
故答案为：49；
（3）五大细分领域中，“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比，增长率最大，所以甲关注的是这个增长率；而“人工智能”则是五大细分领域中2020年预计投资规模最大的，故乙关注它．
20．（7分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作△ABC的重心．
（2）在图2中作∠AGB＝∠ACB，且G是格点．
【解答】解：（1）如图1，点D即为所求作的的；
（2）如图2，∠AG1B，∠AG2B，∠AG3B，∠AG4B即为所求作．
21．（7分）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为53°，从楼AB的顶部点测得楼CD的底部点C的俯角为45°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼AB、CD的高度．（结果保留1位小数）
【解答】（1）解：过A作AE⊥CD于点E，连接AC，
根据题意得：∠DAE＝53°，∠CAE＝45°，
∴∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝98°；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥CD，
∴AB＝CE，∠AEC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AB＝EC，AE＝BC，
∵∠EAC＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝30（米），
∵AE＝BC＝30（米）
在Rt△AED中，∠DAE＝53°，，
解得：DE＝39.9（米），
∴CD＝DE+CE＝39.9+30＝69.9（米）．
22．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝6，BC＝5．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，
∵AC＝BC，AB＝6，
∴AE＝BE＝3．
在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∵OA＝8，
∴C点的坐标为：（4，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝3×4＝12，
（2）设A点的坐标为（m，0），
∵BD＝BC＝5，AB＝6，
∴AD＝1，
∴D，C两点的坐标分别为：（m，1），（m﹣4，3）．
∵点C，D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝3（m﹣4），
∴m＝6，
∴C点的坐标为：（2，3），
∴OC＝．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米）
1
3
4
6
11
12
y（斤）
0.75
1.25
1.50
2.25
3.25
3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是多少？
【解答】解：（1）观察图象可知：x＝6，y＝2.25这组数据错误．
（2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75；x＝4，y＝1.5代入可得：
，
解得，
∴y＝0.25x+0.5，
当x＝20时，y＝0.25×20+0.5＝5.5，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5斤．
24．（8分）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．
（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 CD＝CB ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
【解答】解：（1）当α＝90°时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，
故答案为：CD＝CB；
（2）仍然有CD＝CB，理由如下：
过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，
则∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，
∴∠CDF＝α＝∠ABC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，
∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，
∴△AON≌△COD（SAS），
∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，
∴∠DAN+∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，
又∵AD＝BM，
∴△AND≌△BCM（SAS），
∴CM＝DN＝2DO，
∴＝2．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6），点D为线段OA上一动点，过点D作DE⊥OA交对角线OB于点E，把△ODE绕点O逆时针旋转，得△OD'E'，点D，E旋转后的对应点为D'，E'．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当点D为OA中点时，α＝30°，求点D'的坐标；
（Ⅱ）若旋转后点D'落在OB上，设OD＝t．
（ⅰ）如图②，若旋转后△OD'E'与矩形OABC的重合部分为四边形．E'D'交BC于点N，OE'交BC于点M，试用含有t的式子表示线段D'N的长，并直接写出t的取值范围；
（ⅱ）若△OD'E'与矩形OABC的重叠部分的面积为S，当4≤t≤6时，试用含有t的式子表示S（直接写出结果即可）．
【解答】解：（I）如图1，过点D'作D'G⊥OA于G，
∵点A（8，0），
∴OA＝8，
∵D是OA的中点，
∴OD＝OD'＝OA＝4，
∵α＝30°，即∠D'OG＝30°，
∴D'G＝OD'＝2，OG＝2，
∴D'（2，2）；
（II）（i）如图2，当点E'在BC上时，
∵BC∥OA，
∴∠AOB＝∠CBO，
∵∠AOB＝∠D'OE'，
∴∠BOE'＝∠OBC，
∴OE'＝E'B，
∵E'D'⊥OB，
由旋转得：OD'＝OD＝t，
Rt△AOB中，AB＝6，OA＝8，
∴OB＝＝10，t＝5，
∴BD'＝10﹣t，
Rt△BD'N中，tan∠OBC＝＝，
即＝＝，
∴D'N＝﹣t+（5＜t≤8）；
（ii）如图3，当4≤t≤5时，△OD'E'与矩形OABC的重叠部分是△OD'E'，
∵tan∠DOE＝＝，
∴＝，
∴DE＝t，
∴S＝S△DOE＝•OD•DE＝•t•t＝t2；
当5＜t≤6时，如图4，旋转后△OD'E'与矩形OABC的重合部分为四边形OMND'，
由（i）可知：BM＝OM，
过点M作MK⊥OB于K，则OK＝OB＝5，
∵cos∠BOM＝cos∠AOB，
∴＝，即＝，
∴OM＝，
∴S＝S△BOM﹣S△ND'B
＝•BM•OC﹣•D'N•BD'
＝××6﹣（﹣t+）（10﹣t）
＝﹣t2+t﹣（5＜t≤6）；
综上，S＝．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．
（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（4）在（3）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3．求t的值．
【解答】解：（1）由点（0，﹣3）和对称轴，可列方程组，解得a＝1，b＝﹣2．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）抛物线的顶点坐标为（，），将a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3代入，得（1，﹣4）．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1，1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2 时，y的值最大．
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5．
将b＝﹣2a代入，得a＝1．
（4）①当t＜0时，
∵a＝1，
∴b﹣2a＝﹣2．
∴y的最大值是 m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3
最小值是 n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3
m﹣n＝3，
t2﹣2t﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3．解得 t＝﹣1．
②当 时，
y的最大值是 m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是 n＝﹣4．
∵m﹣n＝3，
（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3．解得 （不成立）；
③当 时，y的最大值是 m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是 n＝﹣4．
m﹣n＝t2﹣2t﹣（﹣4）＝3．解得 （不成立）；
④当t≥1 时，
y的最大值是 m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是 n＝t2﹣2t﹣3
∴m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3．解得 t＝2．
综上，t的值为﹣1或2．
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