2023年山东省威海市环翠区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省威海市环翠区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的三棱柱的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月日，李克强总理在年政府工作报告中指出，年我国发展取得极为来之不易的新成就，其中城镇新增就业万人，数据万可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A. 或 B.  C.  D.

6.  如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
作线段，分别以，为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为；
以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；
连接，．
下列说法不正确的是(    )

A.  B.
C. 点是的外心 D.

7.  若关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，是等边三角形，一动点从点开始，以每秒个单位长度的速度，规则作循环运动，那么第秒结束后，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在同一直角坐标系中，抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量的取值范围是(    )

A. 或或
B. 或
C. 或或
D. 或

10.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，平行于对角线的直线从出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，运动到直线与正方形没有交点为止．设直线扫过正方形的面积为，直线运动的时间为秒，下列能反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  计算： ______ ．

13.  已知关于，的二元一次方程组满足，则的取值范围是______ ．

14.  如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接、若，则          

 

15.  如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则 ______ ．

16.  如图，在半径为的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点，若是的中点，则的长是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
某种型号的油电混合动力汽车，从地到地纯燃油行驶费用元，从地到地纯用电行驶费用元，已知每行驶，纯燃油费用比纯用电费用多元．
求每行驶纯用电的费用；
若要从地到地油电混合行驶所需要的油、电费用合计不超过元，则至少用电行驶多少千米？

19.  本小题分

某商场为掌握国庆节期间顾客购买商品时刻的分布情况，统计了月日：：这一时间段内名顾客的购买时刻．顾客购买商品时刻的频数分布直方图和扇形统计图如图所示，将：：这一时间段划分为四个小的时间段：段为：：，段为：：，段为：：，段为：：，其中为顾客购买商品的时刻，扇形统计图中，，，，四段各部分圆心角的度数比为：：：．

请根据上述信息解答下列问题：

通过计算将频数分布直方图补充完整，并直接写出顾客购买商品时刻的中位数落在哪个时间段？

求月日这天顾客购买商品时刻的平均值同一时间段内顾客购买商品时刻的平均值用该时段的中点值代表，例如，段的中点值为：；

为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到，，，四个时间段中．

请直接写出特等奖出现在时间段的概率；

请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率．

20.  本小题分
某移动公司为了提升网络信号，在坡度：的山坡上加装了信号塔如图所示，信号塔底端到坡底的距离为米为了提醒市民，在距离斜坡底点米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线所成的夹角为时，信号塔顶端的影子落在警示牌上的点处，且长为米．
求点到水平地面的铅直高度；
求信号塔的高度大约为多少米？参考数据：，，
 

21.  本小题分
已知矩形，，，点、分别是线段、上的点，且四边形是正方形，若点是线段上的动点，连接，将矩形沿折叠，使得点落在正方形的对角线所在的直线上，点的对应点为，试求线段的长．

 

22.  本小题分
如图，是的直径，，过点作交于点，垂足为，连接并延长与的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，求的值．

23.  本小题分
已知抛物线经过点和点．
求此抛物线的解析式；
当自变量满足时，求函数值的取值范围；
将此抛物线沿轴平移个单位长度后，当自变量满足时，的最小值为，求的值．

24.  本小题分
在中，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．
猜想观察：如图，若，交于点，则的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______．
类比探究：如图，若，与，分别相交于点，求的值及的度数．
解决问题：如图，当时，若，，三点在同一直线上，且，交于点，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据实数的大小比较即可求解．
本题考查了实数的大小比较，正确的估算无理数的大小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内，
故选：．
根据三棱柱的主视图是矩形，主视图内部有竖着的实线，进行选择即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据负整数指数幂，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程，
，
．
将代入，得：，
解得：不合题意，舍去，，
故选：．
根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由作法得，
点在以为直径的圆上，
，
点是的外心，
在中，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘以得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
解得：．
故选：．
先求出方程的解，因为方程有增根，所以，所以，根据方程的解等于，求得的值．
本题考查了分式方程的增根，求出方程的解和增根的值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，第秒结束时点的坐标为；
第秒结束时点的坐标为；
第秒结束时点的坐标为，即；
第秒结束时点的坐标为，即；
第秒结束时点的坐标为；
第秒结束时点的坐标为；
第秒结束时点的坐标为，与相同；


由上可知，点的坐标按每秒进行循环，
，
第秒结束后，点的坐标与相同为．
故选：．
先探究规律，每秒是一个循环组，点的位置第秒结束与第秒结束位置相同，写出第秒时点的坐标即可．
本题考查了沿等边三角形的边循环移动规律探究，解决问题的关键是探究出循环移动的规律，运用规律解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：观察函数图象，当或时，．
故选：．
利用函数图象，写出抛物线在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，即．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、C错误；
当时，．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．
故选：．
根据三角形的面积即可求出与的函数关系式，根据函数关系式选择图象．
本题考查了动点问题的函数图象．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，零指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，零指数幂是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
由得，
，
，
，
解得，
故答案为：．
由得，，根据，解不等式即可求解．
本题考查了二元一次方程组与不等式结合，熟练掌握加减消元法与解一元一次不等式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：四边形是菱形，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：设，则，
，
，
的面积为，
，
，
．
故答案为：．
设，则，进而得到，再求出，根据的面积为，得到，由此即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角坐标系中点的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数的取值．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，交于点，

是的中点，
，，
，
，
，
是的中点，
，
又，
，
，
又，
≌，
，
，
，
是直径，
，
，
故答案为：．
连接，交于点，根据垂径定理得出，，，进而证明≌得出，根据半径为，得出，然后根据直径所对的圆周角是直角，得出是直角三角形，勾股定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


． 

【解析】根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法进行计算即可求解．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：设每行驶纯用电的费用为元，则每行驶纯燃油的费用为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每行驶纯用电的费用为元．
，两地间的路程为．
设用电行驶千米，则用油行驶千米，
依题意得：，
解得：．
答：至少用电行驶千米． 

【解析】设每行驶纯用电的费用为元，则每行驶纯燃油的费用为元，根据，两地间的路程不变，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
利用，两地间的路程从地到地纯用电行驶费用每行驶纯用电的费用，可求出，两地间的路程，设用电行驶千米，则用油行驶千米，利用行驶费用每行驶纯用电的费用用电行驶的路程每行驶纯燃油的费用用油行驶的路程，结合行驶费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】解：扇形统计图中，，，，四段各部分圆心角的度数比为：：：，
段的顾客人数为人，段的顾客人数为人，
故补全的统计图如下，

中位数落在段：：：；
，
所以，月日这天顾客购买商品时刻的平均值为；

特等奖出现在时间段的概率为；
根据题意，树状图如下：

总共有种等可能的结果，两个一等奖出现在不同时间段的情况有种，
故两个一等奖出现在不同时间段的概率是． 

【解析】根据圆心角的比算出各部分的数量，补全频数分布直方图即可；按照时间段从早到晚进行排序，根据各部分的人数推断出排在中间第和名所在的时间段即可得出中位数所处的时间段；
按照加权平均数的计算公式计算即可；
直接根据概率公式进行计算即可；
先画树状图，然后再利用概率公式进行计算即可．
本题主要考查了频数分布直方图与扇形统计图的结合，列表或画树状图求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

20.【答案】解：作，垂足为，

由：，可得：：，
设，则，
在中，由勾股定理可得，

解得，
米，
作，垂足为，
则，，
在中，，
即，
米，
米． 

【解析】作，根据坡度的定义设，在中，由勾股定理可得，代入求出的长；
作，在中，利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出答案．
此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握坡度坡角的概念是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示：

为正方形，边长为，
．
矩形，，，
由翻折的性质可知，
．
如图所示：

由翻折的性质可知．
为正方形，
为的垂直平分线．
．
综上所述，的长为：或． 

【解析】当点在上时，由翻折的性质可求得，然后再求得正方形的对角线的长，从而可得到的长；当点在上时，由正方形的性质可知为的垂直平分线，则，由翻折的性质可求得，故此可得到的值．
本题主要考查的是翻折的性质、正方形的性质的应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接，
，
，
∽，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】连接，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到是的切线；
连接，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得，
此抛物线的解析式为；

当时，，
当时，，
，
函数图象的顶点坐标为，
当时，的取值范围是；

设此抛物线轴向右平移个单位后抛物线解析式为，
当自变量满足 时，的最小值为 ，
，即，
此时时，，即，解得，舍去；
设此抛物线沿轴向左平移个单位后抛物线解析式为，
当自变量满足时，的最小值为，
，即，
此时时，，即，解得，舍去，
综上所述，的值为或． 

【解析】利用待定系数法求解；
先求出及时的函数值，结合函数的性质得到答案；
设此抛物线沿轴向右平移个单位后抛物线解析式为 ，利用二次函数的性质，当，此时时，，即 ，设此抛物线沿轴向左平移个单位后抛物线解析式为 ，利用二次函数的性质得到，此时时，，即 ，然后分别解关于的方程即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．
 

24.【答案】   

【解析】解：延长交于，

，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
即，
在和中，且，
，
故答案为：，；
线段绕点逆时针旋转得到线段，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
，
又，
即，
∽，
，，
即，
，，
；
设，则，
，
，
由知，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
解得或舍去，
．
延长交于，根据证≌，即可得出，然后根据角相等得出即可；
先证∽，根据线段比例关系得出的值，然后根据角的等量代换得出即可，
设，则，证∽，根据比例关系得出方程求解即可．
本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．