2021届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2021届宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出集合，再利用交集的定义计算即可．

【详解】

解：由已知，

则．

故选：A

【点睛】

本题考查交集的运算，考查对数不等式，是基础题．

2．如果，那么下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】分别作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.

【详解】

如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，

很容易地观察出，即.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

3．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则＝（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】B

【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】

以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，

＝(4，1)，＝(2，3)，

＝4×2＋1×3＝11，

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析： ，

且，故选D.

【考点】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

5．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（    ）

A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了

B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势

C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例

D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率

【答案】D

【解析】根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定，即可求解.

【详解】

由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：

对于A中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；

对于B中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；

对于C中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；

对于D中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，

2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，

显然，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了图表的信息处理能力，其中解答中根据曲线图，提取出所用的信息是解答的关键，着重考查信息提取能力.

6．正三角形中，是线段上的点，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先用，表示出，再计算即可.

【详解】

先用，表示出，再计算数量积．

因为，，则，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题.

7．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，.若，且，则（    ）.

A． B． C．0 D．

【答案】D

【解析】根据题意可得，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齐次化化简可得，进一步求得，最后根据二倍角的正切公式计算即可.

【详解】

∵，

∴，

∴，解得或.

又∵，∴，∴，

则，

故选：D.

【点睛】

本题考查弦切互换以及齐次化化简，还考查二倍角公式的应用，着重考查对公式的记忆，属基础题

8．设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是（    ）

A．(－∞，＋∞)上的减函数

B．(－∞，＋∞)上的增函数

C．(－1，1)上的减函数

D．(－1，1)上的增函数

【答案】D

【解析】根据题意可得f(0)＝0，代入求出a，并验证为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数函数的单调性即可得出结果.

【详解】

由题意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，

解得a＝－1，故f(x)＝lg，

函数f(x)的定义域是(－1，1)，，

所以f(x)＝lg为奇函数，

在此定义域内f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，

函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，

故f(x)＝y1－y2在(－1，1) 是增函数.

故选：D.

【点睛】

本题考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调性，属于基础题.

9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（   ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】先求得的解析式，然后求得的解析式，利用降次公式和辅助角公式进行化简，根据三角函数的取值范围求得的最大值.

【详解】

由题可知， ，所以的最大值为.故选A.

【点睛】

本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，属于中档题.

10．的三个内角为，若关于的方程有一根为1， 则一定是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

【答案】A

【解析】试题分析：依题意可知，

∵

∴1-cosAcosB-=0，整理得cos（A-B）=1

∴A=B

∴三角形为等腰三角形

【考点】解三角形

11．函数f(x)是偶函数，对于任意的x∈R，都有f(x＋2)＝；当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为（    ）

A．(1，3) B．(－1，1)

C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)

【答案】C

【解析】根据f(x＋2)＝，得到函数的周期，再结合x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，且函数f(x)是偶函数，作出函数f(x)的图象，分x∈(－1，0)，x∈(0，1)，x∈(1，3)求解.

【详解】

因为f(x＋2)＝，

所以，

所以T=4.

又因为x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，且函数f(x)是偶函数，

所以f(x)的图象如图所示.

当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；

当x∈(0，1)时，由xf(x) >0，得x∈∅；

当x∈(1，3)时，由xf(x)>0，得x∈(1，3).

∴x∈(－1，0)∪(1，3)，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数的图象和性质以及图象法解不等式，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.

12．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则ABC的面积的最大值为（    ）

A．4 B．2

C．2 D．

【答案】A

【解析】由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，由三角形的面积公式可得所求．

【详解】

∵在△ABC中＝，

∴，

由正弦定理得，

∴．

又，

∴，

∵，

∴．

在△ABC中，由余弦定理得

，

∴，当且仅当时等号成立．

∴△ABC的面积.

故选：A．

【点睛】

求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

二、填空题

13．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．

【答案】2

【解析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.

【详解】

圆心角为

扇形的面积为

故答案为2

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.

14．若，，且，则与的夹角是________.

【答案】

【解析】先求出向量的模，再利用向量的数量积运算展开，即可得出结果.

【详解】

由题意可知：，

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用平面向量的数量积运算求角，考查了运算求解能力，属于基础题目.

15．已知函数，，，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.

【答案】

【解析】由函数图象的最值可得A，然后将点、代入解析式，利用、的范围即可得到、值，从而得到函数解析式．

【详解】

由图象得到的最大值为，所以

将点、代入解析式，

，因为，，可得，

所以

故答案为：．

【点睛】

本题考查由的部分图象确定其解析式，注意函数解析式的求法，考查计算能力，属于常考题型．

16．对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】转化为在上单调递增，再利用导数可得到结果.

【详解】

当时， 恒成立等价于恒成立，等价于在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为当时，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于基础题.

三、解答题

17．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为

（1）求的值； （2）求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.

由条件得cosα＝，cosβ＝.

∵ α，β为锐角，

∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.

因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.

(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2) ∵ tan2β＝＝＝，

∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.

∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝

18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

（取）.

【答案】（1）；（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元

【解析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可；

（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.

【详解】

（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，，

当时，，

.

（2）当时，，

所以当时，的最大值为（万元），

当时，，

当时，单调递增，当单调递减，

当时，取最大值（万元），

，当时，取得最大值11万元，

即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.

【点睛】

本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.

19．已知向量，，函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）在中，，，分别是角，，的对边且，，，，求，的值．

【答案】（1）单调递增区间是，．（2）

【解析】（1）根据函数．利用向量坐标关系即可求解化简，结合三角函数性质即可求解的单调递增区间

（2）根据，求解，结合余弦定理，，，，即可求解，的值．

【详解】

解：（1）由；

令，

得：，．

的单调递增区间为，．

（2）由（1）可得（C）

即，

，

可得：．

由余弦定理：，

可得：①

②，

由①②解得：．

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质，向量坐标的运算，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

20．已知函数（，为常数），点的横坐标为0，曲线在点处的切线方程为

（1）求，的值及函数的极值；

（2）证明：当时，．

【答案】（1），，极小值为；无极大值（2）证明见解析.

【解析】（1）利用导数的几何意义求得，，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．

【详解】

（1）由已知代入切线方程得，

，

∴，

∴

∴，

，

令得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以当时，

即为极小值；无极大值

（2）令，

则，

由（1）知

∴在上为增函数

∴，

即.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式．属于中档题.

21．已知函数．

（1）判断在定义域上的单调性；

（2）若在上的最小值为2，求的值．

【答案】（1）当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；（2）.

【解析】（1）先确定的定义域为，再求导，由“，为增函数，在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．

（2）因为，．由（1）可知①当时，在上为增函数，当时，即时，在上也是增函数，③当时，即时，在，上是减函数，在，上是增函数，④当时，即时，在，上是减函数，最后取并集．

【详解】

解：（1）由题意得的定义域为，

①当时，，故在上为增函数；

②当时，由得；由得；

由得；

∴在上为减函数；在上为增函数．

所以，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数．

（2）∵，．由（1）可知：

①当时，在上为增函数，，得，矛盾!

②当时，即时，在上也是增函数，，

∴（舍去）．

③当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，

∴，得（舍去）．

④当时，即时，在上是减函数，有，

∴．

综上可知：．

【点睛】

本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．

22．已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）设点，若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求实数m的值.

【答案】（1）；；（2）1.

【解析】（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程；消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程，进一步解的答案.

【详解】

（1）由，得，

∵ ，代入得：，

∴ 曲线C的普通方程为，即：

由l的参数方程(为参数，消去参数t得：.

当时，得，∴ 在直线l上，

将l参数方程代入曲线C的普通方程得：

化简得：.

设以上方程两根为，，

由解得：．

由参数t的几何意义知，

得或，解得(舍去或,

．

【点睛】

【考点】本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，同时考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题．

23．已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，函数的值域为，求的值．

【答案】（1）；（2）1或2．

【解析】（1），即可得的取值范围是；

（2）对分类讨论，由单调性即可得的单调性．

【详解】

解：（1），得．即，故的取值范围

（2）当时，函数在区间上单调递增．

则，得，，得．

当时，

则，得，

，得．

综上所述，的值是1或2．

【点睛】

本题考查了绝对值不等式，属于中档题．