全国甲卷+全国乙卷高考数学复习 专题07 统计与概率（理科）解答题30题专项提分计划

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全国甲卷全国乙卷高考数学复习
专题7 统计与概率（理科）解答题30题专项提分计划

1．（江西省丰城中学2023届高三下学期入学考试数学（理）试题）某校在2018年11月份的高三期中考试后,随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析,结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组,第二组,．．．第六组,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表);
(2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在130分(含130分)以上的人数记为,求的分布列和期望.
【答案】(1)107
(2)分布列见解析;期望为1.2

【分析】(1)根据频率分布直方图求出成绩在的频率,再利用同一组中的数据用该区间的中点值和频率求出即可;
(2)根据频率分布直方图得,这人中成绩在分以上(包括分)和的学生人数,利用超几何分布写出分布列,求出期望即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图,得成绩在的频率为
,
所以估计该校全体学生的数学平均成绩为

,
所以该校的数学平均成绩为107.
（2）根据频率分布直方图得,
这人中成绩在分以上(包括分)的有0.08×50=4人,
而在的学生共有,
所以的可能取值为、、、,
所以,       ,
,      ,
所以的分布列为











数学期望值为.
2．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（理）试题）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，．

(1)求图中的值和学生成绩的中位数；
(2)从成绩低于60分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在50分以下的人数记为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)，中位数为；
(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据频率之和，即小矩形面积之和为1列出方程，求出，设出中位数，利用频率之和为0.5列出方程，求出中位数；
（2）求出成绩低于60分的学生和成绩在50分以下的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望.
【详解】（1）由频率分布直方图知，解得：．
设成绩的中位数为，有，
解得：．
（2）由频率分布直方图知成绩低于60分的学生人数为，
成绩在50分以下的人数为．因此可能的取值为0，1，2，
，，．
所以的分布列为

0
1
2





故的数学期望为．
3．（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2个小时以上）的学生.
(1)根据以上信息，完成下面的列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关？

长时间使用手机娱乐
非长时间使用手机娱乐
合计
成绩下降



成绩未下降



合计
90

200

(2)在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人访该，记被抽取到的3名学生中女生人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)列联表见解析，有99.5%把握认为“学习成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关
(2)分布列见解析， 1.

【分析】（1）由题意列出列联表，计算，即可得出结论；
（2）女生被抽到得的人数X可取0，1，2，根据古典概型分别计算概率，列出分布列，求出期望.
【详解】（1）列联表如下：

长时间使用手机娱乐
非长时间使用手机娱乐
合计
成绩下降
54
42
96
成绩未下降
36
68
104
合计
90
110
200

，
有99.5%把握认为“学习成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关.
（2）(2)在抽取的6人中，女生有人，男生有人，
则这6人中随机抽取3人进一步访谈，女生被抽到得的人数X可取0，1，2，
，
，
的分布列为：

0
1
2





.
4．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）某学校组织学生观看了“天宫课堂”第二课的直播后，极大地激发了学生学习科学知识的兴趣，提高了学生学习的积极性，特别是对实验操作的研究与探究.现有某化学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了某项化学实验操作，为了解实验效度与实验中原料的消耗量（单位：）的关系，该校实验员随机选取了10个小组的实验数据如下表.
小组编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总计
实验效度










6
原料的消耗量










15

并计算得.
(1)求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的平均值；
(2)求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的相关系数（精确到）；
(3)经该校实验员统计，以往一个学年各种实验中需用到原料的实验有200次左右.假设在一定的范围内，每次实验中原料的消耗量与实验效度近似成正比，其比例系数可近似为样本中相应的平均值的比值.根据要求，实验效度平均值需达到.请根据上述数据信息，估计该校本学年原料的消耗量.
附：相关系数
【答案】(1)0.6，1.5g
(2)0.75
(3)

【分析】（1）根据数值计算即可；（2）先化简公式：，，然后再代入相关数据计算可得结果；（3）由比例关系直接计算即可.
【详解】（1）由题意得这10个小组的实验效度的平均值为，
这10个小组实验中原料的消耗量的平均值为.
（2）相关系数



.
（3）设该校本学年原料的消耗量为，
则由题可知，
所以估计该校本学年原料的消耗量为.
5．（河南省平许济洛2022-2023学年高三第二次质量检测理科数学试题）相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”．
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？

年轻人
非年轻人
合计
健身达人



健身爱好者



合计




附：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


(2)将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关；
(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据条件完善列联表，然后算出即可；
（2）随机变量X满足二项分布，然后根据二项分布进行求概率和期望
【详解】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为10080%=80，
则非年轻人为20人，
根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为10060%=60，根据其中年轻人占比，
所以健身达人中年轻人人数为，则非年轻人为10人；
健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，
根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，
所以列联表为

年轻人
非年轻人
合计
健身达人
50
10
60
健身爱好者
30
10
40
合计
80
20
100

，
所以没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关．
（2）由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为，
则随机变量X满足二项分布，，
，，
，
故X的分布列：
X
0
1
2
3
P





则的数学期望为．
6．（河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试理科数学试题）某出租车公司为推动驾驶员服务意识和服务水平大提升，对出租车驾驶员从驾驶技术和服务水平两个方面进行了考核，并从中随机抽取了100名驾驶员，这100名驾驶员的驾驶技术与性别的2×2列联表和服务水平评分的频率分布直力图如下，已知所有驾驶员的服务水平评分均在区间内.

(1)判断能否有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关；
(2)从服务水平评分在区间内的驾驶员中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记X为4人中评分落在区间内的人数，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．

0.10
0.050
0.010

2.706
3.841
6.635


【答案】(1)不能有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关
(2)分布列见解析，

【分析】（1）利用独立性检验的解题步骤，可得答案；
（2）根据分层抽样明确各个区间抽取的人数，根据超几何分别求解分布列和数学期望的步骤，可得答案.
【详解】（1）由题意可知：，则，
即，
故不能有95%的把握认为驾驶员的驾驶技术是否优秀与性别有关.
（2），解得，
由频率分布直方图，则服务水平评分在区间内驾驶员的频率分别为，
即其比为，因此，分层抽样的12人在区间内驾驶员人数分别为，
故的可能取值为，
，，，
，，
则其分布列如下表：













.
7．（青海省西宁市城西区青海湟川中学2022-2023学年高三上学期一模理科数学试题）某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长（单位：分钟），相关数据如下表所示．
平板电脑序号
1
2
3
4
5
6
工作时长/分
220
180
210
220
200
230

(1)从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长小于210分钟的台数为，求随机变量的分布列及数学期望；
(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长与使用次数之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．
使用次数/次
20
40
60
80
100
120
140
工作时长/分
210
206
202
196
191
188
186

附：，，．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)，估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟

【分析】（1）X可能取值为0，1，2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
（2）计算回归方程为，代入数据计算即可.
【详解】（1）（1）由题意可知，X可能取值为0，1，2，则
，，．
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P




数学期望为．
（2），
，，故，
所以线性回归方程为，
当时，，
所以估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟．
8．（甘肃省靖远县第四中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题）某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中m的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值；（各组数据用该组中间值作代表）
(2)若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人，以样本各组的频率代替该组的概率，从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)；平均值为4.6；
(2)分布列见解析；.

【分析】（1）先由频率分布直方图的频率公式及频率之和为1求得m，再利用频率分布直方图的平均值求法求得平均值；
（2）先根据频率分布直方图求得抽取到阅读达人的概率，再利用二项分布概率公式和数学期望公式求得X的分布列和数学期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，
则可以估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值为：.
（2）由频率分布直方图可知从该地中学学生中随机抽取1人，此人是阅读达人的频率为，
所以从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，则，
故.
所以，，，，，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P






X的数学期型.
9．（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这200名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为，成绩在区间内的人数为，记，比较与的大小关系.
【答案】(1)69.5
(2)

【分析】（1）直接根据频率分布直方图估计平均数即可；
（2）由题知，，进而可能的取值为，进而根据二项分布与独立事件的乘法原理求解即可.
【详解】（1）解：平均成绩为：.
（2）解：成绩落在区间内的概率为，故.
成绩落在区间内的概率为，故，
，
由题意，可能的取值为，





.
故有.
10．（人教A版（2019）选修第三册实战演练第七章易错疑难突破专练）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案.方案一：交纳延保金7000元，在延保的2年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保差10000元，在延保的2年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应选择哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15

将频率视为概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列；
(2)以方案一与方案二所需费用（所需延保金友维修费用之和）的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
【答案】(1)

0
1
2
3
4
5
6









(2)该医院选择延保方案二较合算

【分析】（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（2）选择延保方案一，求出所需费用元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算
【详解】（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．
，
，
，
，
，
，
，
的分布列为

0
1
2
3
4
5
6









（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：

7000
9000
11000
13000
15000







（元．
选择延保方案二，所需费用元的分布列为：

10000
11000
12000





（元．
，该医院选择延保方案二较合算．
11．（山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末数学试题）中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.
（1）求系统需要维修的概率；
（2）该电子产品共由3个系统组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的期望；
（3）为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作.问：满足什么条件时可以提高整个系统的正常工作概率？
【答案】（1）；（2）700；（3）时，可以提高整个系统的正常工作概率.
【解析】（1）由次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出系统需要维修的概率．
（2）设为需要维修的系统的个数，则，且，由此能求出的期望．
（3）当系统G有5个元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统正常才正常工作，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，若前3个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统G均能正常工作，由此求出新增两个元件后系统G能正常一作的概率，从能求出满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率．
【详解】解：（1）系统需要维修的概率为，
（2）设为需要维修的系统的个数，则，且，
所以．
（3）当系统有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统才正常工作
①若前3个电子元件中有1个正常工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率为；
②若2个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为；
③若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统均能正常工作，则概率为；
所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为

令，解得，
即时，可以提高整个系统的正常工作概率.
12．（陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题）某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：
方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：全部回答单选题.
其中每道单选题答对得2分，答错得0分；
多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.
每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名同学，所得结果如下表所示：

男生
女生
选择方案一
100
80
选择方案二
200
120

(1)能否有的把握认为方案的选择与性别有关?
(2)小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3.
①若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列及数学期望；
②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.
附：，.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)没有.
(2)①分布列见解析；.②选方案一，理由见解析.

【分析】（1）根据题意完善列联表，计算的值，即可判断结论；
（2）①确定X的取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，进而求得数学期望；②计算出选择方案二的数学期望，和方案一进行比较，可得答案.
【详解】（1）由题意完善列联表如图：

男生
女生
总计
选择方案一
100
80
180
选择方案二
200
120
320
总计
300
200
500

故
故没有的把握认为方案的选择与性别有关.
（2）①由题意可知X的所有可能取值为，
则,,
,
,
,
故X的分布列为∶
X
0
1
2
3
4
5
P
0.016
0.012
0.128
0.108
0.256
0.480

故X的数学期望.
②设选择方案二的得分为Y,则Y的可能取值为，
则,,
,
故,
因为,故为了获取更好的得分,小明会选择方案一.
13．（陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题）中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；
(2)设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式即可求得结果；
（2）由已知可得，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.
【详解】（1）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列.
设此数列为，则易知，，所以.
解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场.
则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为.
所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为.
（2）随机变量可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900，
，，
，，
所以的分布列为

2200
3000
3900
4900






所以.
14．（河南省新未来联盟2023届高三上学期12月联考理科数学试题）在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；

【分析】（1）先由频率直方图中频率之和为求得，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率；
（2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望．
【详解】（1）依题意，得，解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
（2）成绩在内的有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P




故．
15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）现有5张扑克牌，其中有3张梅花，另外2张是大王、小王，进行某种扑克游戏时，需要先从5张牌中一张一张随机抽取，直到大王和小王都被抽取到，取牌结束.以表示取牌结束时取到的梅花张数，以Y表示取牌结束时剩余的梅花张数.
(1)求概率；
(2)写出随机变量Y的分布列，并求数学期望E(Y).
【答案】(1)
(2)分布列见解析，1

【分析】（1）即一共取了4张，分别计算取4张时总共的取法与满足条件的取法计算即可；
（2）Y的可能取值为0，1，2，3，再分别计算一共取了3，4，5张时总共的取法于满足条件的取法求解即可
(1)
由题，即一共取了4张，共种取法，其中第4张为大王或小王，前3张中有一张王和两张梅花，故
(2)
Y的可能取值为0，1，2，3，
，，，
Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P






16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0，则不需要再踢第5轮了）；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望：
(2)现有甲､乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出的概率；
（ii）求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）

【分析】（1）先求门将每次可以扑出点球的概率，然后由独立重复试验的概率公式可得；
（2）（i）理解清题意：甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进3个点球，然后可得；
（ii）理解清题意：前5轮结束后比分为，第6轮乙队进球甲队没进球.然后计算可得.
(1)
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数的可能取值为.
，
，
则的分布列为

0
1
2
3






的数学期望.
或（易知）.
(2)
（i）记事件“甲队先踢点球，在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出"为事件A，意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进3个点球，对应的概率为

（ii））记“点球大战在第6轮结束，且乙队以（不含常规赛和加时赛得分）胜出”为事件B，意味着前5轮结束后比分为，第6轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为

17．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分.经验表明新车商业险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：
购车价格（万元）
5
10
15
20
25
30
35
商业险保费（元）
1737
2077
2417
2757
3097
3622
3962

(1)某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上一年没有出险，则下一年保费倍率为85%，上一年出险一次，则下一年保费倍率为100%，上一年出险两次，则下一年保费倍率为125%.太原王女士于2022年1月购买了一辆价值32万元的新车.若该车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，王女士到汽车维修店询价，预计修车费用为800元，理赔人员建议王女士自费维修（即不出险），你认为王女士是否应该接受该建议？请说明理由：（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品）
(2)根据《保险法》规定：“对属于保险责任的，在与被保险人或者受益人达成赔偿或者给付保险金的协议后十日内，履行赔偿或者给付保险金义务”.保险公司为了解客户对赔付时间的满意度，从该公司客户中随机抽查了1000名将所得的满意度分数整理后得出如下表格：
满意度分数







人数
48
102
252
298
154
96
50

用频率估计概率，从公司所有客户中随机抽取3人，用表示这3人中满意度分数不小于70的人数，求的分布列和期望.
参考数据：，，.参考公式：.
【答案】(1)王女士应接受理赔人员的建议，理由见解析
(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）根据最小二乘法算线性回归方程,利用回归方程预测下一年的保费,与自费进行比较即可求解.
（2）根据样本频率来估计总体概率,由二项分布得分布列和期望.
【详解】（1）（万元），
，
，
所以，
价值为32万元的车辆的商业车险保费预报值为元.
于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，
即保费增加元.
因为，若出险，2023年增加的保费大于800元，
所以王女士应接受理赔人员的建议.
（2）1000人中不小于70的人数为：，所以不小于70的频率为：，故从公司所有客户中随机抽取1人，满意度分数不小于70的概率为.
依题意可知，则的可能的取值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布列为：

0
1
2
3






.
18．（内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题）2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．

男生
女生
合计
了解



不了解



合计




(1)求n的值．
(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取10人，再从这10人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名女生被第二次调查的概率．
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附表：

0.10
0.05
0.025
0.01
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828


【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，

【分析】（1）由已知，完成列联表，并将数值代入公式可得的观测值，根据已知查表得出，即可列式解出正整数n的值；
（2）根据分层抽样得出抽取的男女人数，即可利用技术原理结合古典概型和对立事件的概率公式求出答案；
（3）分析可得，利用二项分布的分布列计算与期望公式得出答案.
【详解】（1）由已知，完成列联表，

男生
女生
合计
了解



不了解



合计




将数值代入公式可得的观测值：，
所以，解得，因为，所以．
（2）由（1）知，了解中国航天事业的学生共人，采用分层抽样抽取10人，抽样比为，
故抽取男生人，抽取女生人，
从这10人中轴取3人，至少有2名女生被第二次调查的概率为．
（3）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，
，，
，，
，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P







．
19．（内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题）已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．
（ⅰ）求的表达式；
（ⅱ）估计的近似值（精确到0.01）．
参考数值：，，，．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）

【分析】（1）求得函数的定义域，判断是的极小值点，求出，继而利用导数知识证明当时，．
（2）求出n人生日都不相同的概率可得n人生日至少有两人相同的概率，利用（1）的结论结合题中所给数据，近似计算，可得答案.
【详解】（1）由题意得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，
又，且，所以是的极小值点，故．
而，于是，解得．
下面证明当时，．
当时，，，，
所以当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即符合题意．
综上，．
（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为，
故n人生日至少有两人相同的概率为．
（ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，
由（ⅰ）得
．
记，
则
，
即，由参考数值得，
于是，故．
【点睛】难点点睛：解答第二问时，利用对立事件的概率可求得n人生日至少有两人相同的概率为，求其近似值时，难点在于要利用（1）的结论，得到，从而再利用已知数据计算，解决问题.
20．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.

(1)在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.
（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望
(2)该地区第11年的第三产业生产总值约为

【分析】（1）求出平均值，得出不低于平均值的有3个，因此服从超几何分布，由此可计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望；
（2）由后面的四个数据求出线性回归直线方程，将代入回归方程即可得出预测值.
【详解】（1）依题知，9个生产总值的平均数为：
，
由此可知，不低于平均值的有3个，
所以服从超几何分布，
，
所以，
，
，
分布列为：

0
1
2





所以；
（2）由后面四个数据得：
，，
，
，
所以，，
所以线性回归方程为，
当时，，
所以该地区第11年的第三产业生产总值约为
21．（贵州省贵阳市第六中学2022届高三一模数学（理）试题）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400.

(1)求出直方图中a，b，c的值；
(2)估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间内的学生人数为X，求X的数学期望.
【答案】(1)
(2)中位数约为，平均数.
(3)

【分析】（1）首先由的人数求出的值，再根据等差数列的性质及频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解之即可；
（2）设中位数为，，即可得到方程，再根据平均数公式计算即可；
（3）先列出的所有可能值，再根据二项分布的期望公式即可求解.
【详解】（1）依题意可得：，
又a，b，c成等差数列，所以且，
解得：
所以.
（2）因为，设中位数为，
则，所以，
解得：，即中位数约为，
平均数为.
（3）由题意可知：得分在区间内概率为，
根据条件可知：的所有可能值为，且，
所以.
22．（宁夏吴忠市吴忠中学2022届高三下学期第三次模拟测试数学（理）试题）北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.


A材料
材料
合计
试验成功



试验失败



合计




(1)根据等高堆积条形图，填写如上列联表（单位：次），判断试验结果与材料是否有关？如果有关，你有多大把握认为它们相关？
(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？         
附：，其中

0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828


【答案】(1)大约有99.9%的把握认为试验结果与材料有关
(2)2.2万元/吨

【分析】（1）由等高条形图数据列出列联表，计算卡方后判断；
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，求出分布列和数学期望，由此可确定售价.
（1）
根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：

材料
材料
合计
试验成功
45
30
75
试验失败
5
20
25
合计
50
50
100

计算可得，
又
大约有99.9%的把握认为试验结果与材料有关．
（2）
设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元．
易知的可能取值为0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5．
，，，
，，，
则的分布列为

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5








修复费用的期望．
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．
23．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
序号（i）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长度（）
11.6
13.0
12.8
11.8
12.0
12.8
11.5
12.7
13.4
12.4

序号（i）
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
长度（）
12.9
12.8
13.2
13.5
11.2
12.6
11.8
12.8
13.2
12.0

(1)估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差；
(2)若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X的数学期望与方差.
参考数据：.
【答案】(1)，=0.43
(2)，

【分析】（1）利用平均数，方差计算公式结合所给数据可得答案；
（2）因收获的果实数量巨大，则可认为X近似服从二项分布，后利用二项分布计算期望，方差公式可得答案.
【详解】（1）由题意知，，
所以，

.
所以估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43.
（2）由表中数据得，样本中果实长度不小于12cm的频率为.
由于收获的果实数量巨大，所以X近似服从二项分布，即，
所以，.
所以据此可以估计，X的数学期望与方差分别为3，.
24．（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考理科数学试题）某校本着“我运动我快乐我锻炼我健康"精神积极组织学生参加足球、篮球、排球、羽毛球等球类活动.为了解学生参与情况，随机抽取100名学生对是否参与情况进行问卷调查.所得数据制成下表：

不参与
参与
合计
男生
15
35
50
女生


50
合计


100

若从这100人中任选1人恰好参与球类活动的概率为0.6.
(1)判断是否有95%的把握认为“参与球类活动”与性别有关；
(2)现从不参与球类活动的学生中按其性别比例采取分层抽样的方法选取8人，再在这8人中抽取3人参加游泳，设抽取的女生人数为，求的分布列与数学期望.
附：2×2列联表参考公式：，其中.
临界值表：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828


【答案】(1)有95%把握认为体育活动时间达标与性别有关
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题意求出参与球类的人数，即可完成列联表，再根据公式求出，对照临界值表即可得出结论；
（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求出期望即可.
【详解】（1）解：依题意参与球类活动概率为60%，即有60人参与球类，可得下列联表

不参与
参与
合计
男生
15
35
50
女生
25
25
50
合计
40
60
100

∴，
故有95%把握认为体育活动时间达标与性别有关；
（2）解：按不参与球类活动比例抽取的8名学生中有3名男生，5名女生，
则，
，，
，，
所以X的分布列如下：

0
1
2
3






.
25．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试（2月联考）数学（文）试题）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．
年份代码x
1
2
3
4
5
车载音乐市场规模y
2.8
3.9
7.3
12.0
17.0

(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；
(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：




1.94
33.82
1.7
1.6

其中，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)（十亿元）

【分析】（1）由得，由回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求得，从而求得y关于x的回归方程.
（2）两年的年平均增长率为0.3，故2024年的中国车载音乐市场规模为
【详解】（1）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，设，
因为，所以
，
所以
所以
所以
（2）由题意知2023年与2024年这两年的年平均增长率，
2022年中国车载音乐市场规模为1.7，
故预测2024年的中国车载音乐市场规模（十亿元）.
26．（江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学（理）试题）卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为，，，，，，，，8个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中C组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷VS沙特，墨西哥VS波兰；第二轮是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波兰；第三轮是阿根廷VS波兰，墨西哥VS沙特.小组赛前曾有机构评估C组四个国家的实力是阿根廷>墨西哥>波兰>沙特，并预测各自胜负概率如下：（1）阿根廷胜墨西哥概率为，阿根廷胜波兰、阿根廷胜沙特的概率均为，阿根廷平墨西哥、波兰、沙特的概率均为；（2）墨西哥胜波兰、墨西哥胜沙特、波兰胜沙特的概率均为，墨西哥平波兰、墨西哥平沙特、波兰平沙特的概率均为；按照上述机构的评估与预测，求解下列问题：
(1)已知在C组小组赛第一轮中，阿根廷沙特，墨西哥波兰，第二轮中，阿根廷墨西哥，沙特波兰，求阿根廷最后小组赛晋级的概率（积分相同时实力强的优先晋级）；
(2)设阿根廷在小组赛中的不败的场次为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）首先分析两轮过后各队的积分情况，可得有①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得.
（2）依题意可得的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）解：前两轮过后，阿根廷、墨西哥、波兰、沙特的积分分别是3分、1分、4分、3分；
第三轮中，阿根廷VS波兰，阿根廷胜波兰概率为，阿根廷平波兰概率为，阿根廷负于波兰概率为，
墨西哥VS沙特，墨西哥胜沙特概率为，墨西哥平沙特概率为，墨西哥负于沙特概率为；
设所求事件为，列举可知事件包含以下两种情况：①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，
则.
（2）解：依题意可得的可能取值为、、、，
又知，，
，，
所以分布列如下：











所以的数学期望.
27．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.

月份x
1
2
3
4
5
6
收入y（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0

(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）
(3)从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：








3.50
21.15
2.85
17.70
125.35
6.73
4.57
14.30

其中，设（i=1，2，3，4，5，6）.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)更适宜
(2)，65.35百万元
(3)分布列见解析，1

【分析】（1）根据散点图确定正确答案.
（2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值.
（3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；
（2）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以
所以.
所以，即，所以.
令，得，
故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.
（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，

所以X的分布列为：

0
1
2
P




所以.
28．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动． 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：

[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13

(1)若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”
①完成下列2×2列联表

阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生



女生



总计




②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；
(2)若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中

0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)① 填表见解析；②不能
(2)分布列见解析；期望为

【分析】(1)根据题中数据完成表格，再计算的值，即可得结论；
(2)由题意可得100名学生中的男生“阅读达人”共30人，按分层抽样得[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，从而得X的取值为0，1，2，计算出对应的概论，列出分布列即可求得期望.
【详解】（1）解：由题中表格可得2×2列联表如下

阅读爱好者
非阅读爱好者
合计
男生
45
10
55
女生
30
15
45
合计
75
25
100

由题意得,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关．
（2）解：根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，
则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取．
[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，
所以，X的取值为0，1，2，

所以X的分布列为；
X
0
1
2
P





所以X的数学期望是．
29．（贵州省毕节市2022届高三上学期诊断性考试（一）数学（理）试题）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20

50
男

15

合计


100

(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？
(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)列联表见详解；能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；
(2)分布列见详解；.

【分析】（1）根据题意，即可得出完整的列联表，再根据给出的公式求出，并与比较，即可得出结论；
（2）根据分层抽样得出在女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，再从5人中随机选出3人，再根据超几何分布的概率求法求出概率，进而得出分布列和数学期望.
【详解】（1）解：由题意，得列联表如下：

天文爱好者
非天文爱好者
合计
女
20
30
50
男
35
15
50
合计
55
45
100

，
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.
（2）解：由题得，抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，
所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，
再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为，则的可能值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列如下表：

0
1
2





所以数学期望为：.
30．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用表示取出的小球上的数字，当时，该顾客积分为3分，当时，该顾客积分为2分，当时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：
1  3  1  1  6  3  3  4  1  2
4  1  2  5  3  1  2  6  3  1
6  1  2  1  2  2  5  3  4  5
(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分的概率；
(2)某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折（如该顾客积分为，商场就给该顾客的所有购物打折），记该顾客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)估计积分为3分的概率为，积分为2分的概率为
(2)分布列见解析；

【分析】（1）由样本数据分别计算积分为3分和2分的频率，由此估计概率即可；
（2）先确定X的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列，由数学期望公式求解即可．
【详解】（1）由题意可知某顾客抽奖一次，积分为3分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为3分的概率为．
某顾客抽奖一次，积分为2分的频率是，则估计某顾客抽奖一次，积分为2分的概率为．
（2）由题意可知的可能取值为4，5，6，7，8.

.
则的分布列为

8
7
6
5
4







故．