江西省2023届高三第三模拟考试数学（文）试卷（含解析）

这是一份江西省2023届高三第三模拟考试数学（文）试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点为，（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）.
A．B．C．D．
3．在中，，，，，则
A．或B．C．D．
4．已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
6．已知直线被圆所截得的弦长为4，则k为（ ）
A．B．C．0D．2
7．若，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
8．已知命题 已知实数，则是且的必要不充分条件，命题在曲线上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是 （ ）
A．是假命题B．是真命题
C．是真命题D．是真命题
9．执行如图所示的程序框图，若输出的值为7，则框图中①处可以填入（ ）
A．？B．？C．？D．？
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，．椭圆在第一象限存在点，使得，直线与轴交于点，且是的角平分线，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数）有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（0，1）D．（0，e）
12．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知向量，，，若，，三点共线，则______．
14．双曲线的渐近线方程为__________.
15．已知f（x）＝sin（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝_____．
16．已知过点的直线与抛物线交于不同的A，B两点，以A，B为切点的两条切线交于点N，若，则p的值为__________．
三、解答题
17．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
18．如图，三棱柱各棱长均为2，.
(1)求证：；
(2)若与平面所成的角为，求三棱柱的体积.
19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，．
(1)求该产品的次品率；
(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为，求随机变量的分布列与期望．
20．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
21．已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程（）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
(1)求直线的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；
(2)已知点的极坐标为，若为心形线上的点，直线与心形线交于，两点（异于点），求的面积.
23．已知函数．
(1)若的最小值为1，求a的值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】求出集合A中元素范围，然后求即可.
【详解】，又，
.
故选：D.
2．B
【解析】根据题意，先得到，再由复数的除法运算求出，即可得出其虚部.
【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，
又，
所以，
因此其虚部为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型.
3．C
【分析】由三角形面积公式可得，进而可得解.
【详解】在中，，，,
，可得，所以，
所以
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题.
4．D
【分析】计算样本中心，将样本中心 代入线性回归方程中即可求解.
【详解】因为，．
所以样本中心为，将其代入回归方程，
得，解得．
故选：D．
5．B
【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为，结合已知即可求值.
【详解】．
故选：B．
6．A
【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k.
【详解】设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，
由题意得：，解得．
故选：A
7．A
【分析】利用基本不等式可求出，即可得出所求.
【详解】，
，当且仅当，即时等号成立，
所以，则，即的最小值为2.
故选：A.
8．C
【分析】首先判断命题的真假，再判断选项.
【详解】 且，反过来且，所以是 且的必要不充分条件，所以命题是真命题，
，，根据导数的几何意义可知，曲线上不存在斜率为的切线，所以命题是假命题，
根据复合命题的真假判断可知是真命题.
故选：C
9．C
【分析】根据循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得答案．
【详解】解：，；，；，；，；，；，；，；此时根据条件应跳出循环，输出，所以填入“？”时符合要求．
故选：C.
10．B
【分析】根据题意和椭圆定义可得到，和，的关系式，再根据，可得到关于，的齐次式，进而可求得椭圆的离心率．
【详解】由题意得，
又由椭圆定义得，
记，
则，，
则，
所以，
故，
则，
则，即（负值已舍）．
故选：B．
11．A
【分析】令，得到或，令，易知有一个零点，转化为则有两个根求解.
【详解】令，
所以或，
令，则，
令，则，
当时，，h(x)在（－∞，0）上单调递增；
当时，，h(x)在（0，＋∞）上单调递减，
所以，即，
所以g(x)在R上单调递减，又，g（0）＝，
所以存在使得，
所以方程有两个异于的实数根，则，
令，则，
当时，，k(x)在（－∞，1）上单调递增；
当时，，k(x)在（1，＋∞）上单调递减，且．
所以，
所以与的部分图象大致如图所示，
由图知，
故选：A．
12．B
【解析】确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体中，记的中点为，连接，
则平面即为平面．证明如下：
由正方体的性质可知，，则，四点共面，
记的中点为，连接，易证．
连接，则，
，平面，
所以平面，
又平面，则．
同理可证，，，
则平面，
所以平面即平面，
四边形即平面截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，
其对角线，，
所以其面积．
故选：B
【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
13．
【分析】根据给定条件，求出向量坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答.
【详解】因为向量，，则，而，
又，，三点共线，则有，因此，解得，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线的渐近线方程.
【详解】通过双曲线方程可知：双曲线的焦点在横轴上,,所以双曲线的渐近线方程为：.
故答案为
【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键.
15．
【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值.
【详解】对于函数，由得，
函数图象关于对称，
又在区间有最小值，无最大值，
可得，即，又，即
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．
16．2
【分析】设,设直线AB的方程为，利用“设而不求法”得到.
利用导数求出两条切线斜率为和，得到,即可求出p=2.
【详解】设,且设直线AB的方程为,代入抛物线的方程得,则.
又,得,则，所以两条切线斜率分别为和.由,知,则,所以,即p=2.
故答案为：2
17．(1)
(2)
【分析】（1）由与关系可推导证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可得；
（2）由（1）可推导得到，采用裂项相消法可求得.
(1)
当时，，解得：；
当时，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
(2)
由（1）得：，，
.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）由（1）知平面，则进一步知平面平面，故过作平面的垂线，垂足为E，则平面，求出的大小即可求解.
【详解】（1）证明：取AC的中点D，连接BD，，，则，
因为，，所以为等边三角形，
又D为AC的中点，所以，
因为，平面，所以平面，.
又平面，所以.
（2）由（1）知平面，又平面，所以平面平面，
平面平面，故过作平面的垂线，垂足为E，则E一定在直线上，因为与平面所成的角为，所以，
由题意知，所以，
所以，
所以.
（或：由题意知，所以，所以）
所以.
19．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率
（2）由题意得，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出的分布列和数学期望．
【详解】（1）产品正品的概率为：，
所以为次品的概率为
（2）由题意得，1，2，3，且
，
，
，
，
的分布列如下：
．
20．(1)
(2)证明详见解析，定点坐标
【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及求得定点坐标.
【详解】（1）由题意可得：，解得：
故椭圆方程为：.
（2）设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,
有
整理可得：
，
所以，
整理化简得，
则有，
得或，
若，则直线MN的方程为：，恒过，
若，则直线MN的方程为：，过A点，舍去.
所以直线MN过定点P，
当直线MN的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合，
解得： 或（舍去），此时直线MN方程为,过点P.
综上，直线MN过定点P.
21．（1）奇函数（2）6（3）或者
【分析】（1）令x＝y＝0⇒f（0）＝0，再令y＝﹣x，⇒f（﹣x）＝﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而得到在区间[-3,3]上的最大值；
（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【详解】（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；
取y=﹣x，则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，
∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立
∴f(x)为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；
∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），
又∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；
∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；
∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；
∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；
（3）由（2）可知函数在的最大值为
所以要使对所有的恒成立
只需要
即对所有恒成立
令，则即解得
所以实数的取值范围是
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．
22．(1)极坐标方程为或；
(2).
【分析】（1）先消去参数得到直线的普通方程，进而得到极坐标方程，由，得到，即求解.
（2）将代入方程得到，进而得到，分别与直线l的极坐标方程联立，求得A，B坐标求解.
【详解】（1）解：消去参数得到直线的普通方程为，
所以极坐标方程为或；
（（也正确）
由，得，即，
化简得心形线的直角坐标方程为.
（2）将代入方程，得，
∴.
由得，
由得，
∴.
23．(1)或
(2)
【分析】（1）根据结合取等条件即可得解；
（2）把恒成立，转化为恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.
【详解】（1）因为，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以，解得或，
故a的值为或；
（2）令，由题意知恒成立，
当且时, ,要使得恒成立,
则可得
当时,
因为恒成立, 则,由图像可知
所以,所以
综上可知，实数a的取值范围为．
0
1
2
3