甘肃省白银市2023届高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

甘肃省白银市2023届高三第三次模拟考试数学（文）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

2．已知i是虚数单位，若，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知命题：“”是，的充分必要条件，命题：，，下列结构中正确的是（    ）

A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题

C．命题“”是真命题 D．命题“”是假命题

4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为右支上一点，若的重心为，则的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

5．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为(  　)

A．9 B．18 C．9 D．18

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练的学生人数.通过图中的数据计算这五天参加乒乓球训练的学生的平均数和中位数后，教练发现图中星期五的数据有误，实际有21人参加训练.则实际的平均数和中位数与由图中数据星期得到的平均数和中位数相比，下列描述正确的是（    ）

A．平均数增加1，中位数没有变化

B．平均数增加1，中位数有变化

C．平均数增加5，中位数没有变化

D．平均数增加5，中位数有变化

9．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为（    ）

A． B．

C． D．

10．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

12．在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

二、填空题

13．已知，满足则的最小值为___________.

14．在区间[－2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________.

15．在直三棱柱中，若 ，则异面直线与所成的角等于_________.

16．函数g(x)=，，若，，f()，则实数m的最小值是____.

三、解答题

17．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

18．本小题满分12分）已知等差数列的前项和，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求证：是等比数列，并求其前项和．

19．直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．

(1)求证：平面；

(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．

20．已知椭圆：（）的右焦点为，短轴长是长轴长的.

(1)求椭圆的方程；

(2)是椭圆上的动点，过点作椭圆的切线，与直线交于点，若（为坐标原点）的面积为，求点的坐标.

21．已知函数.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)当时，有最小值2，求的值.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)过曲线上任意一点作与直线的夹角为45°的直线，且与交于点，求的最小值.

23．直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？

参考答案：

1．C

【分析】先化简集合，再求集合与的并集

【详解】由题意得，则．

故选：C

2．D

【分析】直接按照平方式公式计算即可.

【详解】由题可知：

所以

故选：D

3．C

【分析】根据充分必要条件的概念判断命题，根据一元二次不等式判断命题，进而判断非命题的真假，结合且命题的概念即可得出结论.

【详解】解：对于命题，若，则，，若，，则，

故“”是，的充分不必要条件，故命题是假命题，命题为真命题，

对于命题，若，则或，

故命题：，，为真命题，命题为假命题，

所以命题“”是真命题.

故选：C.

4．B

【分析】依据题意列方程分别求得a、c的值，即可求得的离心率

【详解】双曲线的左、右焦点，，

设P点坐标为，则由的重心为，可得，

把P点坐标代入双曲线C的方程，解之得．又，则．

所以可得双曲线C的离心率为

故选：B．

5．C

【分析】由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC，根据面积公式求出三角形面积.

【详解】由三角形内角和：，故三角形为等腰三角形，所以，

由三角形面积公式：.

故选C.

【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.

6．C

【分析】根据三视图判断出几何体的结构，进而计算出几何体的体积.

【详解】根据三视图可知，该几何体是长方体挖掉一个圆柱所得，

所以体积为.

故选：C

7．A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可.

【详解】若，则，即或，推不出；反过来，若，可推出.

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

8．B

【解析】先求出平均数应增加，再求出中位数有变化，即得解.

【详解】实际星期五的数据为21人，

比原来星期五的数据多了人，

平均数应增加.

原来从星期一至星期五的数据分别为20，26，16，22，16.按从小到大的顺序排列后，原来的中位数是20，

实际从星期一至星期五的数据分别为20，26，16，22，21.按从小到大的顺序排列后，实际的中位数是21.

所以中位数有变化.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平均数和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．A

【分析】先根据图象得到最小正周期，从而求出，代入特殊点坐标，求出，得到解析式.

【详解】由图象可知：，所以，解得：，

将点代入解析式得：，

所以，

因为，

所以，此时

故选：A

10．C

【分析】根据指数幂的运算性质逐项检验可得正确的选项.

【详解】对于A，，故A错.

对于B，，故B错.

对于C，，故C正确.

对于D，，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查指数幂的运算，此类问题，熟记运算规则是关键，本题属于基础题.

11．D

【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.

【详解】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，

因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，

因为，则，

所以，由可得，由可得或，

解不等式，可得或，解得或，

故不等式的解集为.

故选：D.

12．B

【分析】通过圆外一点圆的切线的性质，根据关系，求出满足条件的点的轨迹方程，分情况讨论此轨迹方程与曲线y=k|x−1|+2有四个交点，即满足题意．

【详解】设，，则，

整理得，，解得（舍去）或，

所以点P的轨迹方程为，

若直线与相切时，，解得或，

当曲线与圆有四个交点时，对应的满足题意，

当时，如图所示，二者一个交点，存在一个点，不符合题意，

当时，如下图所示，此时二者有三个交点，存在三个点，不符合题意，

当时，如图所示，二者有两个交点，存在两个点，不符合题意，

当时，如图所示，二者没有交点，不存在点满足题意，

当时，二者有四个交点，存在四个点，满足题意，

综上，．

故选：B．

【点睛】本题综合考查了直线与圆的位置关系，通过向量数量积求动点的轨迹方程，以及在不同的情况下，折线函数与圆的交点个数问题，对数形结合、曲线作图要求很高，难度很大．

13．##-0.5

【分析】利用不等式组画出可行域，将目标函数转化为直线即可.

【详解】如图：画出可行域（如图阴影部分），目标函数转化为，

当直线经过点时，取得最小值，最小值为.

故答案：

【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，属于基础题.

14．

【分析】先求出区间的长度，再运用几何概率公式可得答案.

【详解】区间[－2，1]长度L=3，区间[0，1]长度l=1,则取x∈[0. 1]的概率为两区间长度之比，即为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查几何概型在求解概率上的运用，属于基础题.

15．

【分析】如图以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.

【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，且，

所以以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,

设，则

，

所以，

所以 ，

因为异面直线所成的角在，

所以异面直线与所成的角等于，

故答案为：

【点睛】此题考查异面直线所成的角，利用了空间向量进行求解，属于基础题.

16．14

【分析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数f（x），g（x）的最值，将问题转为求f（x）min≥g（x）min即可．

【详解】，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需f（x）min≥g（x）min

即，

故答案为：14.

【点睛】本题主要考查转化思想，函数最值的求解，导函数的应用，考查学生转化能力和计算求解能力.

17．（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）．

【分析】(1)结合“频率之和为1”即可.

(2)结合直方图中位数的求法即可.

【详解】（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，

则有，可得0，

所以频率分布直方图为：

（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，

所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为.

18．（1）（2）

【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，利用，得（2）先利用第一问求出，利用等比数列定义证得即可，再利用等比数列求和公式直接求的前n项和．

试题解析：解：（1）设等差数列的公差为，

，又，

由（1）得

考点：等差等比数列的通项公式及前n 项和

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取BC中点为，连接，，由面面平行的判断定理证明平面平面，从而即可证明平面；

（2）证明平面，即平面，从而有，根据三棱锥的体积公式即可求解.

（1）

证明：取BC中点为，连接，，

因为点、分别为，的中点，所以，，

因为平面，平面，所以平面，

同理可得平面，又，平面，

所以平面平面，

因为平面，

所以平面；

（2）

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，

所以，

又为正方形，，，

所以，且，，，又，

所以平面，即平面，

所以当点为中点时，三棱锥的体积.

20．(1)

(2)或.

【分析】（1）由椭圆中，，之间的关系，结合已知条件求解即可；

（2）设切线方程和点坐标，根据相切将切线斜率用点坐标表示，求出切线方程，由切线方程求出点，再根据的面积，对点的坐标进行求解即可.

【详解】（1）∵椭圆的右焦点为，∴，

又∵短轴长是长轴长的，∴，即，

∴由，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）设椭圆上一点，则，即①，

∵过点作椭圆的切线与直线相交，∴切线的斜率存在，

设切线：，易知不过原点，∴，

∵切线过点，∴，即②，

由，消去，整理得，

∵是椭圆的切线，∴，

∴③，

且由韦达定理，有④，

③、④两式相乘，化简得，将②式代入，解得，

由①式，有，∴，

∴的方程为，结合①式，化简得，

将代入方程，解得，

∴

由①式，有，

∴

∵原点到直线的距离，

∴面积，

两边同时平方，化简，得：，代入①，

解得或，

∴点的坐标为或.

【点睛】本题第（2）问在求解切线方程时，若使用点斜式，会造成很大的运算量，而使用斜截式，可以减少参数量，同时结合韦达定理化简，可以有效减少运算.

21．(1)；

(2).

【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；

（2）求得，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.

（1）

解：当时，，可得，则，，

所以切线斜率为，且切点为，

故所求切线方程为，即.

（2）

解：，其中，则.

若，则，在上单调递增，函数无最小值，不符合题意；

若，当时，，当时，.

①，对任意的，，函数在上单调递减，

则，解得，合乎题意；

②，函数在单调递减，在上单调递增，

所以，解得，不合题意.

综上所述，存在符合题意.

22．(1)曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为.

(2)

【分析】（1）对曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程；将代入的极坐标方程中，可得直线的直角坐标方程；

（2）设，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解即可.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），

由，消去参数，可得曲线的普通方程为.

将代入直线的极坐标方程中，

可得直线的直角坐标方程为.

（2）设，

则点到的距离其中.

因为过点的直线与的夹角为45°，所以，

故的最小值为.

23．

【分析】通过a＞1和0＜a＜1两种情况，将函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)图像画出来，再画直线y＝2a平移使得满足题目条件，易得的取值范围．

【详解】y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．

当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；

当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜，如图(2)．

综上，a的取值范围是.

【点睛】此题考查函数图像交点问题，通过分类讨论画出函数图像，再判断交点情况，属于一般性题目．