江西省稳派联考2023届高三模拟预测数学（文）试题（含解析）

江西省稳派联考2023届高三模拟预测数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z的同部复数的是（    ）

A． B． C． D．

4．经过计算，某统计小组得到三组数据（每组数据均由10个数组成，每个数对应运动员一次百米短跑的时间，单位：s）对应的平均数与方差：第一组数据的平均数和方差分别为12，8，第二组数据的平均数和方差分别为15，10，第三组数据的平均数和方差分别为14，16．下列结论正确的是（    ）

A．从数据的波动情况看，第三组数据的波动最小

B．从数据的平均水平看，第二组数据的成绩最好

C．从数据的波动情况看，第一组数据的波动最大

D．从数据的平均水平看，第一组数据的成绩最好

5．关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为1，宽为的矩形，俯视图为扇形，若球O的体积与该几何体的体积相等，则球O的半径为（    ）

A． B． C．1 D．

7．若函数在内的最小值小于0，且最小值点（即取得最小值时所对应的自变量）唯一，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，为该椭圆过点的一条弦，且的周长为.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

9．已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

10．若不等式组，表示的可行域与圆有公共点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．在四棱锥中，底面ABCD，，，，且二面角为，则四棱锥的侧面积为（    ）

A． B．10 C． D．11

12．设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．若，则______．

14．某工厂要对生产流水线上的600个零件（编号为001，002，…，599，600）进行抽检，若采用系统抽样的方法抽检50个零件，且编号为015的零件被抽检，则编号在内的零件将被抽检的个数为______．

15．已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．

16．中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

三、解答题

17．已知，分别为等差数列，等比数列，且，，，.

(1)求，的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

18．在正四棱柱中，O为的中点，且点E既在平面内，又在平面内．

(1)证明：；

(2)若，，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H，指出H所在的位置（需要说明理由），并求线段的长．

19．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．

(1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．

(2)最大似然估计即最大概率估计，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为k（，，，…，），其中为X所有可能取值的最大值．请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数．

20．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)若对x∈R恒成立，求m的取值范围.

21．已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.

22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)AB是圆C上的两点，且∠AOB=，求面积的最大值.

23．已知函数.

(1)求的最小值，并指出此时的取值集合:

(2)求不等式的解集.

参考答案：

1．D

【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.

【详解】因为，所以，解得．

故选：D

2．A

【分析】解不等式求集合A，再根据并集计算即可.

【详解】解不等式，即，而，所以.

故答案为：A

3．B

【分析】将展开，得到复数的实部与虚部，再逐一与选项进行比较，即可得到正确选项.

【详解】由于，其实部和虚部均为，

而与的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以是的同部复数.

故选：B

4．D

【分析】由平均数与方差的实际意义判断即可．

【详解】因为百米短跑的时间越短，成绩越好，所以从数据的平均水平看，第一组数据的成绩最好故B错误，D正确；

方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看，第三组数据的波动最大，第一组数据的波动最小，故A和C错误，

故选：D．

5．D

【分析】根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符号和正切的倍角公式，即可求解.

【详解】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，

若丁的判断正确，即，则，

此时丙的判断错误，不符合题意；

若乙的判断正确，即，此时满足，且，

此时甲、丙都正确，符合题意.

故选：D.

6．A

【分析】根据题意，由三视图可知该几何体是四分之一个圆柱，然后结合体积计算公式，即可得到结果.

【详解】由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为，底面半径为1），

其体积，设球O的半径为r，则，解得.

故选：A

7．B

【分析】利用整体代换法结合三角函数的图象及其性质计算即可．

【详解】因为，所以当时，．

依题意，可得，解得．

故选：B

8．B

【分析】根据题意，画出椭圆，根据椭圆的相关性质可得.

【详解】根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如下，

根据椭圆的定义的周长为，

即①

由该椭球横截面的最大直径为2米，可知米，得

又因为，所以②

②联立可得，，

所以该椭球的高为米.

故选：B

9．A

【分析】利用题给条件求得在上单调性，利用为奇函数求得的大小关系，再利用幂函数性质比较的大小关系，进而得到三者间的大小关系.

【详解】因为当时，，

则在上单调递增，在上单调递减，

当时，，

则在上单调递减，在上单调递增.

且，所以在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增.

因为，，

则

所以.

故选：A

10．D

【分析】根据题意，做出可行域，然后结合图像找到临界情况，即可得到的取值范围

【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，

当直线与圆相切时，

，则，则的最小值为；

当圆经过点时，

，则的最大值为17．

故的取值范围是．

故选：D.

11．C

【分析】作出辅助线，得到为二面角的平面角，并结合余弦定理求出各边长，得到，可证，求出各个侧面的面积，得到侧面积.

【详解】因为，，所以为正三角形，

取BC的中点E，连接PE，AE，则．

因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又，

所以平面PAE，则，则为二面角的平面角，

所以，所以，．

因为，，，

所以由余弦定理得，

则，所以，

因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又，

所以⊥平面，

因为平面，

所以，则，

故，，

，，

所以四棱锥的侧面积为．

故选：C

12．A

【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.

【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，

所以

.

当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.

故选：A

13．10

【分析】利用对数的运算性质化简即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

则，

所以．

故答案为：10.

14．4

【分析】利用系统抽样的抽样方法得到不等式组，再求出编号在内的零件将被抽检的个数.

【详解】因为，所以被抽检的零件的最小编号为003．

由，得，

则，22，23，24，

故编号在内的零件将被抽检的个数为4．

故答案为：4

15．

【分析】利用函数导数性质分函数无极值，无极值两种情况进行讨论即可

【详解】若无极值，

则恒成立，

即，解得；

若无极值，

则对恒成立，

所以，即．

所以与中恰有一个函数无极值，

则或，

解得．

16．3280

【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.

【详解】解：由题可知步，步，步.步.

在RtAHF中，在RtAHG中.

所以，，

则.

所以步.

故答案为：3280

17．(1)；

(2)

【分析】（1）设的公差为d，的公比为q，由，，再写出通项公式即可；

（2）由（1）得到，再利用分组求和即可.

【详解】（1）解：设的公差为d，的公比为q，

则，.

所以，；

（2）由（1）知，

则，

，

.

18．(1)证明见解析

(2)取CD的中点F，连接AF，H为AF的中点，理由见解析，

【分析】（1）由基本事实3可证；

（2）先找到点在底面ABCD内的射影F，由线面垂直的性质定理，可得，

则可在中可求解.

【详解】（1）证明：连接．

在正四棱柱中，，则A，，，D四点共面，所以平面．

因为侧面为矩形，且O为的中点，

所以，所以O为平面与平面的一个公共点，

所以平面平面，即平面平面，故．

（2）取CD的中点F，连接OF，AF，则H为AF的中点．

理由如下：因为F，O分别为CD，的中点，所以．

在正四棱柱中，底面ABCD，所以底面ABCD，又，所以底面ABCD，即E在底面ABCD内的射影为H．

因为底面ABCD，所以．

因为，所以．

19．(1)表格见解析

(2)3

【分析】（1）由题设条件，填写表格即可；

（2）求出X所有可能取值对应的概率，进而根据最大似然估计法估计出参加会议的专家人数.

【详解】（1）完成的表格如下：  

（2）记X为参加会议的专家人数，（，3，4）的概率记为．

由（1）中的表格可知出现的次数为6，出现的次数为24，出现的次数为6，

则，，，

则，，

根据最大似然估计法，可以估计出参加会议的专家人数为3．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据图象得到的图象与x轴切于原点，故且，求出，得到解析式；

（2）转化为对恒成立，构造函数，求导得到其单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案

【详解】（1）由图可知的图象与x轴切于原点，

因为，所以，

又，所以，

所以，的解析式为；

（2）由对恒成立，得对恒成立.

设函数，

则，

令，得，

令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，

所以，即m的取值范围是.

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解；

（2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证.

【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，

又，所以.

将点的坐标代入C的方程得，解得，

所以，所以C的方程为.

（2）依题意可设PQ：，

由，得,

设，，，则.

，，

则，

而，

所以，

所以是定值.

22．(1)

(2)

【分析】（1）消去参数，求得得圆C的普通方程为，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆的极坐标方程；

（2）不妨设，得到，，求得，进而求得的面积取得最大值.

【详解】（1）解：圆C的参数方程为为参数），可得为参数），

平方相加，可得圆C的普通方程为，即，

又由，可得，

即，即圆的极坐标方程为.

（2）解：不妨设，其中，

则，，

则，

当时，的面积取得最大值，且最大值为.

23．(1)的最小值为5，的取值集合为

(2)

【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求出最小值，根据绝对值三角不等式取等的条件可得的取值集合；

（2）换元，令，得，再分类讨论去绝对值，求出的取值范围，然后解一元二次不等式可得结果.

【详解】（1），

当且仅当，即，即或时，等号成立，

所以的最小值为5，此时的取值集合为.

（2）令，则.

得或或，

解得或，因为，所以舍去，所以，

所以，解得或.

所以不等式的解集为.