广东省东莞市翰林实验学校2021届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

东莞市翰林实验学校2020-2021第一学期高三年级期中考试

数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知集合（    ）

A．   B．         C．     D．

2．若复数，则＝（    ）

A．                 B．2           C．             D．4

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

4．刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积。若运用割圆术的思想，则得到的近似值为（    ）

A．    B．    C．      D．

5．函数的部分图象大致是（    ）

6. 已知x＝lnπ，y＝log52，，则（    ）

A．x<y<z            B．z<x<y            C．z<y<x          D．y<z<x

7. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：, 其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）

 A．60             B．63          C．66            D．69

8.已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则（    ）

A.                   B.  

C.                   D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9．设三个非零实数a，b，c满足a>b>c，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．a2 > bc        B．ac2 > bc2     C．(a－b)C ﹥(a－c)C        D．

10．记函数的零点为，则关于的结论正确的为（    ）

A．    B．     C．      D．

11．己知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为（    ）

A．是奇函数       B．0是的极值点

C．在上有且仅有一个零点     D．的值域为R

12．已知函数（其中.对于不相等的实数，，设

，下列说法正确的是（    ）

A．对于任意不相等的实数都有；

B．对于任意的及任意不相等的实数，都有；

C．对于任意的，存在不相等的实数，使得；

D．对于任意的，存在不相等的实数，使得.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，则       .

14．若函数是定义R上的周期为2的奇函数，当时，，则=       .

15．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是             ．

16．已知函数其中e为自然对数的底数．若函数 有3个

不同的零点，则实数的取值范围是              ．

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知的内角的对边分别为，而且      ．

（1）求；    （2）求周长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题满分12分）已知等差数列满足，等比数列的各项均为

正数，且.

（1）求和的通项公式；

（2）设为数列的前项和，求满足的最大正整数．

19.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,底面梯形中,,平面平面,是等边三角形,已知,．

求证：平面平面；

求直线与平面所成角的余弦值。

20.（本小题满分12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．

（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；

（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，．

①求的分布列及数学期望； ②当的数学期望取最大值时，求正整数的值．

21. （本小题满分12分）已知椭圆过点,且离心率为．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）设直线与椭圆交于,两点,若直线上存在点,使得四边形是

平行四边形,求的值．

解：Ⅰ由题意得,,所以．因为,所以,所以椭圆的方程为．Ⅱ若四边形是平行四边形,则 ,且．所以 直线的方程为,所以 ,．设,由得,由,得 ,且,．所以．因为,所以 ．整理得 ,解得 ,或 ．经检验均符合,但时不满足是平行四边形,舍去．所以 ,或 ．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）求函数在x＝1处的切线方程；

（2）证明：（i）； （ii）任意，．

2020-2021学年度第一学期期中考试试题

高三数学参考答案

1．C【解析】依题意得，故选C．

2．A【解析】由，得，则

3. B【解析】，, 故选B.

4．A【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以，所以，故选A.

5. A【解析】因为为偶函数，所以图象关于轴对称，B错误；

当时，，=0，所以C，D错误．故选A．

6. D【解析】∵x＝lnπ>1，y＝log52<log5＝，＝>＝，且<e0=1，

∴y<z<x. 故选D.

7．C【解析】由题可知所以

, 解得，故选C.

8. C【解析】由图象知函数的周期，即，得，
，即，，
当时，，即，
存在，满足，即，得，且
则，故选C．
9. BD【解析】当a=1，b=－1，c=－2时A不成立；依题意，c2>0，所以B正确；当a=3，b=2，c=1时，C不成立；由已知得a－c> a－b>0，所以，，D正确。

10. BC【解析】易得在上单调递增，又，，由函数零点存在性定理可知A错误，B正确；

由，所以C正确，D错误。

11. ACD【解析】函数的定义域为R，易得恒成立，A正确；又，在区间上，当时，；当时，；所以在上单调递增，故B错误；又，所以C正确；当时或时，且；所以D正确.

12．AD 【解析】对于A，由指数函数的单调性可得在R上递增，即有，则A正确；对于B，由二次函数的单调性可得在递减，在递增，则不恒成立，则B错误；对于C，若，可得，即，设，则应有，而，二次求导可知先增后减，有最大值。当小于0，单调递减，则错误；对于若，可得，即为设，则应有，而，显然单调递增，对于任意的总是先负后正，不恒大于0或小于0，即在定义域上有增有减，则正确．

13．【解析】

14.【解析】，，.

15. 【解析】命题“，”为假命题，则对，0恒成立，故，解得．
16．【解析】令，则，所以当时，，当时，，于是函数在区间上单调递减，在区间(0，1)上单调递增，当时，，，；令，则，所以当时，；当时，，于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，当时，．函数有3个不同的零点，等价于方程有3个解，即函数的图象与直线有3个交点，作出函数与直线的大致图象，如下图所示.

当直线与函数相切时，设切点坐标为，根据导数的几何意义可得：

，解得：，要使得函数的图象与直线有3个

交点，数形结合可知的取值范围为．

17．【解析】(1)选①，把整理得， ……………1分

由余弦定理有                      ………………3分

又，                                                 ………………4分

                                                  ……………………5分

选②，，正弦定理得：…………1分

，即，                   ………………3分

又，，故，即，     ………………………5分

选③，，

由正弦定理得：，即 …………2分

，                              ………………3分

                                             ………………4分

；                                          ……………………5分

(2)由(1)可知，，在中，由余弦定理得，     ………………7分

，，当且仅当时取等号，………………9分

，即周长的最大值为.                  ……………………10分

18．解：(1)设等差数列的公差为，则，.......2分

解得,所以，                        ..................3分

设等比数列的公比为，由得，           ....4分

解得，舍去负值，所以，        .....................5分

所以，                           .....................6分

(2)，

当时，.............7分

  ....................8分

                        .....................9分

又当时，上式也成立，...................10分

显然在时递增，, ,

所以满足的最大正整数，        .................12分

19. 解：证明：在中,由于,
    ,故．              ...................2分
    又,,

平面,                              ................4分
又,故平面平面．     ...................5分

如图建立空间直角坐标系,

则,,,,                       ...................6分
则,,, ．................7分
设平面的法向量,
由．         ...................9分
,...................10分
设直线与平面所成夹角为,则,...................11分
直线与平面所成夹角的余弦值为．                ...................12分

20．解：（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6，2．...........1分
故的可能取值为0，1，2．

，，，.........3分

................4分
所以．                              ……………………5分

（2）①由题知，的可能取值为0，1，2，

，，

所以．                                             ……………………9分

②因为，所以，............11分

当且仅当时取等号，所以取最大值时，的值为2．……………………12分

21. 解：Ⅰ由题意得,  …………………1分

,所以．      …………………2分
因为,所以,    …………………3分
所以椭圆的方程为   ………………4分
Ⅱ若四边形是平行四边形, 则,且．…………………5分
所以直线的方程为, 所以,．  …………………6分
设,由得, …………………7分
由,得, 且,．           …………………8分
所以．       …………………9分
因为,所以．整理得,   ……………10分
解得,或．经检验均符合,                         …………………11分
但时不满足是平行四边形,舍去．所以,或．     ……………12分

22．(1)解：的定义域为，      ………………1分

，                                        ………………2分

所以在处的切线方程为，即 ………………3分

(2)证明：可化为                     ………………4分

设，则，

当时，在区间(0，1)上单调递增，

当时，在区间上单调递减，

故                                          ………………6分

设，则，

当时，在区间上单调递减，

当时，在区间上单调递增，

故                                      ………………8分

因为，所以，所以              ………………9分

(ii)由，得，

令，得，即，      ………………10分

所以 所以，所以   ………………12分