【名校】天津市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学（理）试题

这是一份【名校】天津市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学（理）试题，共14页。试卷主要包含了 选择题等内容，欢迎下载使用。
天津一中 2017‐2018 高三年级三月考数学试卷（理）

本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时
120 分钟 考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!


一、 选择题：
1.已知集合 A {x | 1 2 x 2}, B {x | ln( x 1 ) 0} ，则 A (C B) （ ）
2 2 R


A． B． ( 1, 1 ]
2
C．[ 1 ,1)
2
D． ( 1,1]



1 x 2

2.已知 A(2,1), O(0, 0) ，点 M ( x, y) 满足 y 2

2x y 2



，则 z OA AM 的最大值为





它是偶数，






后，
（ ）







3. 世界数学名题“ 3 x 1 问题”：任取一个自然数，如果
我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1.在这 样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个 变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算


最后结果为 1. 现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程

序框图，输入的 N 5 ，则输出 i （ ）

A．3 B．5 C．6 D．7

4.下列四个命题：

①在三角形 ABC 中，“ a b ”是“ sin A sin B ”的充要条件；
第 3 题图



0 0 0
②“ x R, x 2 x 1 0 ”的否定是“ x R, x 2
 x 1 0 ”；



③若函数 y
f ( x 1) 的图象关于 x 1对称，则函数 y
f ( x) 一定是偶函数；

④数列 an 是等差数列，且公差 d 0 ，数列{bn } 是等比数列，且公比 q 1 ，则 an ，
{bn } 均为递增数列.其中正确命题的个数有（ ）

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

x2 y2

5.设 F1 、 F2 分别是双曲线 a2 b2


 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点，若双曲线右支上存在




一点 P ，使得 (OP OF2 ) F2 P 0 ，其中 O 为坐标原点，且 PF 1
线的离心率为（ ）
 2 PF 2
，则该双曲




A． 2 3
3
B． 3 1
C． 5
2
D． 5


6．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实数与虚线画出的

是某四面体的三视图，则该多面体的各条 棱中，最长的棱的长度是（ ）

A． 2 5 B． 4 2 C． 6 D． 4 3








f x

f x
，则 f (2016), 4 f (2017), 2 f (2018) 的大小关系（ ）
x



A． 2 f (2018)
f (2016) 4 f (2017)
B． 2 f (2018)
f (2016) 4 f (2017)



C． 4 f (2017) 2 f (2018)
f (2016)
D． 4 f (2017) 2 f (2018)
f (2016)



1 |x m|

( 2 )
, x 2

8. 已知函数 f (x) mx


, x 2
(m 2) .若对任意 x1 [2, ) ，总存在

4x 2 16

x2 ( ,2) ，使得 f (x1 )
f (x2 ) ，则实数 m 的取值范围是（ ）



A.[2,4]
B.[3,4)
C. [3,4]
D. [2,4)

二．填空题：

9. 若复数 z 为纯虚数，且


z
1 i


2
（ i 为虚数单位），则 z = .
2




2
10. 曲线 C1 的极坐标方程 cos
 sin ，曲线 C 的参数方程为 x 3 t
2
y 1 t

，以极点为

原点，极轴为 x 轴 正半轴建立直角坐标系，则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点最近的距离 为 .




12. 在 ABC 中，若| AB AC | | AB AC |, AB 2, AC 3, E, F 分别为 BC 边上的三


等分点，则 .
AE AF

a, a b
13.定义一种运算 a b
b, a b

，若 f x 2 x x2 4 x 3 ，当 g x f x m

有 5 个不同的零点时，则实数 m 的取值范围是 .

14.设二次函数 f (x) ax2 bx c 的导函数为 f ( x) ，若对任意 x R ，不等式

b2

f ( x)
f ( x) 恒成立，则

a2 2c2
的最大值 .


三．解答题：
15.在 ABC 中，角 A, B, C 、所对的边分别为 a, b, c ，已知 A ，且
2
3 sin A cos B 1 b sin 2 A 3 sin C .
2

（Ⅰ）求 a 的值；

（Ⅱ）若 A 2 ，求 ABC 周长的最大值.
3

16. 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数 字是 2,2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片.

（Ⅰ）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;

（Ⅱ） X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望.


（注：若三个数 a, b, c 满足
a b c ，则称 b 为这三个数的中位数）.




















17.如图所示，三棱柱

ABC A1 B1C1
中，已知 AB 侧面

BB1C1C, AB BC 1, BB1 2, BCC1 60 .

（I）求证： BC1 平面 ABC ；

（II） E 是棱长 CC1 上的一点，若二面角 A B1 E B 的正弦

值为 1 ，求 CE 的长.
2


18. 数列{an } 的前项和为 S n ，若 a1 3, ， S n 和 S n 1 满足等式 S n 1
（I）求 S 2 的值.
（II）求数列{an } 的通项公式 ；
n 1
n

S n n 1 .

n
（III）若数列{bn } 满足 bn
 an
 2 a，求数列{b } 的前 n 项和.















x2 y2 2

19. 已知椭圆 C1 : a2 b2
P 作圆 2 2 2
 1(a b 0) 的离心率为
, P( 2, 0) 是它的一个顶点，过点
2

C2 : x y
 r 的切线 PT ,T 为切点，且 PT 2 .


（I）求椭圆 C1 及圆 C2 的方程；

（II）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 , l2 ，其中 l1 与椭圆的另一交点为 D ， l2 与圆交于
A, B 两点，求 ABD 面积的最大值.











20. 已知函数 f (x) a(2 x)e x ， g (x) (x 1) 2 ，
（I）若曲线 y g ( x) 的一条切线经过点 M (0, 3) 求这条切线的方程.
（II）若关于 x 的方程 f ( x) g ( x) 有两个不相等的实数根 x1，x2。
① 求实数 a 的取值范围； ②证明： x1 x2 2 .

参考答案：

1. B

2. D


3. C

4. B

5. D

解：如图：因为 (OP OF2 ) F2 P 0
y
即平行四边形的对角线互相垂直，则平行四边形是菱形
P

所以 OP OF2
 OF1 c






F1 O



F2 x

所以 F1 PF2 90 ，设 PF2
 m ，则 PF1
 2m


所以有 2m m 2a ， m2 4a2

又 (2m)2 m2 4c2 ，所以 e2 5 ，所以 e 5

6． C











解：如图根据三视图在正方体中作图四面体 A BCD A

B
则 AB AD BD 4 2


AC BC 2 5 ， CD

所以最长的棱的长度是 6.
42 42 22 6
C
D

7. C


8. D

9. i

10. 7 2
8


11. 128


解：∵( 1 2 x)6 的展开式中，最高次为 6 次，∴ (2 x 1)( 1 2 x)6 的展开式中含 x 7 的
x x
项是由 ( 1 2 x)6 的 6 次项与第一个因式中的 2x 相乘得到的，故展开式中含 x 7 的项为
x
6 6 7 6 6

2 xC6 (2 x)
 2 x
 128 x


12. 26
9
13. (0，1)

14. 6 2


【解析】由题意有， ax2 bx c 2ax b 即 ax2 (b 2a)x c b 0 对任意 x R 恒
成立.

任意 a 0, (b 2a)2 4a(c b) 0 ，∴ b2 4a 2 4ac 0 ，

c

b2 4ac 4a2
∴
4( 1)
a


2 2 2 2

a


∵ 4a 2 4ac 0 ，∴ c 1 ，令 t c 1 ，则 t 0 ，
a a



b2 4t
4t 4 4


a 2c

2(t 1)

1 2t

4t 3


3 2 6 4
6 2

2 2 2 2
2t 4
t




当且仅当 t
3 即 c
3 1时取等号.

2 a 2


【解析】（1）由 3 sin A cos B
1 b sin 2 A 3 sin C ，得
2


3sin A cos B b sin A cos A 3sin C ，由正弦定理，得 3a cos B ab cos A 3c ，由余


a
2 c 2 b 2
弦定理，得 3a
2 c 2 a 2
b
ab
3c ，整理得

2ac

b2 c2 a 2 a 3 0 ，因为 A
2
2bc

，所以 b2 c2 a2 0 ，所以 a 3 .



（2）在 ABC 中， A 2 , a 3 ，由余弦定理得， 9 b2 c 2 bc ，因为
3



2 4 4




b c 2 12 ，所以 b c 2 3 ，当且仅当 b c


3 时，等号成立.故当 b c 3


时， ABC 周长的最大值 3 2 3 .


16..





【解析】（1）证明：因为 AB 侧面 BB1C1C ， BC1 平面BB1C1C ，
所以 AB BC1 ，在△BCC1 中， BC 1, CC1 BB1 2, BCC1 60 ， 由余弦定理得：



1
BC 2
BC 2
 CC 2
 2BC
 CC1
 cos BCC1
 12
 22
 2 1 2 cos 60 3,

1
2 2 2

所以 BC1
3 ，故 BC
 BC1
 CC1 ，所以 BC BC1 ，



又 AB BC B ，∴ BC1 平面ABC .

（2）由（1）可知， AB, BC, BC1 两两垂直，以 B 为原点， BC, BA, BC1 所在直线为
x, y, z 轴建立空间直角坐标系.


则 B(0, 0, 0), A(0,1, 0), C(1, 0, 0), C1 (0, 0, 3), B1 ( 1, 0, 3)



CC1 ( 1, 0, 3), AB1 ( 1, 1, 3)



令 CE CC1 (0 1) ，



∴ CE ( , 0, 3 ), AE AC CE (1 , 1, 3 )


设平面 AB1 E 的一个方向向量为 n ( x, y, z) ，则



n AE

 (1 )x y
3 z

0
,令 z

3 ，则 x

3 3

， y 3

n AB1
 x y
3z 0
2
2


∴ n ( 3 3 ,
2
3
2

, 3)




∵ AB 侧面BB1C1C ，所以 BA 是平面 BB1C1C 的一个法向量，





cos n, BA
3 ，两边平方并化简得 2 2 5 3 0 ，所以 1 或 = 3 （舍去）.

2 2


∴ CE CC1 2 .


数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一
步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参 数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.



19.


【解析】（1）由 a 2, e c



2 ，得 c



2 ，∴ b



2 ，故所求椭圆方程为

2 2

x2 y2
1
4 2



由已知有 r
PO 2 PT 2
2 ，圆 C2 的方程为： C2 x
2 y 2

2 .



y k ( x 2)





(1 2k 2 ) x2 8k 2 x 8k 2 4 0 ，
 4 2





∴ x x
 8k 2

，又 x
2 4k 2

，∴ DP

1 k 2 x x
4 1 k 2
.

P D 1 2k 2
P 1 2k 2
D P 1 2k 2




直线 l2 的方程为 y
1 ( x 2) ，即
k




x ky 2 0, AB 2 2 (
2 )2 2
2k 2
 2 ，

1 k 2
1 k 2







=
4 2k 2 2 4 4 2 3


2k 2

2 3

2k 2

2
 ，
3 2 3 3
2k 2 2




当且仅当

2k 2 2
3

2k 2 2

, k
10 时取等号.
2

因此△ABD 的面积最大值为 2 3 .
3

20. 【答案】（1）或.（2）①②见解析
【解析】试题分析：（1）先设切线点斜式方程，再与二次函数联立方程组，利用判别 式为零得斜率（2）①先求函数导数，分类讨论导函数零点，单调函数至多一个零点，所 以函数不单调，再依次讨论对应单调区间上有零点满足的条件②构造函数， ，利用导数易得函数单调递增，即得结论
由 得


，

所以该切线方程为
因为该切线经过 所以


，




，解得
，


，
所以切线方程为

或
.

试题解析：解:(1)解法一 设经过点的切线与曲线相切于点，










解法二 由题意得曲线的切线的斜率一定存在， 设所求的切线方程为，
由 ，得 ， 因为切线与抛物线相切， 所以，解得， 所以所求的切线方程为或.
（2）①由，得. 设， 则， 由题意得函数恰好有两个零点.
（i）当，则， 只有一个零点 1．
（ii）当时，由得，由得， 即在上为减函数，在上为增函数， 而， 所以在上有唯一零点，且该零点在上.
取 且， 则

所以在上有唯一零点，且该零点在上， 所以恰好有两个零点.
（iii）当 时，由 得，

若
，
，

所以
在
上至多有一个零点.

若
，则
，

当
时，
，即在
上单调递减．








又，所以在上至多有一个零点.

当 时， 在上单调递增，在上为减函数， 又，
所以 h(x)在上无零点.

若
，则
，

又当 所以
时， 不存在零点．




，






在上无零点

故当时， ；当时， ． 因此 在上单调递增，在 上单调递减． 又。 所以 在无零点，在 至多有一个零点．
综上，的取值范围为．
②不妨设， 由①知，，且，在单调递减， 所以等价于，即．
由于， 且 ，



所以 ．


设， 则， 当时，，所以. 而，故当时，． 从而，故．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函 数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根 据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利 用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.