2022-2023学年天津市第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年天津市第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了 已知，，，则， 函数的图象大致为， 直线被椭圆截得最长的弦为， 设函数，若时，的最小值为，则， 设函数，， 已知复数满足，则______等内容，欢迎下载使用。
    2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟.一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，则（    ）A.  B. C.  D. 2. 若、、为非零实数，则“”是“”（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知，，，则（    ）A.  B. C.  D. 4. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 5. 已知、分别为双曲线左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 6. 设是等比数列的前项和，若，，则（    ）A.  B.  C.  D. 7. 直线被椭圆截得最长的弦为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 设函数，若时，的最小值为，则（    ）A. 函数的周期为B. 将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数C. 当，的值域为D. 函数在区间上的零点个数共有6个9. 设函数，.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C  D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10. 已知复数满足，则______.11. 已知圆与直线相切，则_________12. 已知，则________.13. 直线与双曲线：（，）的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于，两点，若，则的离心率为______.14. 已知，，且，则的最小值为______.15. 在中，，在所在平面内的一点满足，当时，的值为______取得最小值时，的值为______.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，的面积为2，求17. 如图，在五面体中，四边形正方形，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的正弦值.18. 已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足.（1）求数列、的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）设，求证：.20. 已知函数，，曲线在处的切线的斜率为.（1）求实数的值；（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设方程在区间内的根从小到大依次为、、、、，求证：．         2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟.一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，，再根据并集的定义求解即可．【详解】，，，故选：．2. 若、、为非零实数，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题可根据充分条件以及必要条件的判定得出结果.【详解】若，则，故“”是“”的充分条件，令，，，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3. 已知，，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，结合正弦函数值的正负性进行判断即可.【详解】因为，，，所以，故选：B4. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项.【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C、D项，，所以排除B项．故选：A5. 已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由，可得，，，根据双曲线的定义求得，进而得到，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，且满足，可得，，，由双曲线的定义可知，即，又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．6. 设是等比数列的前项和，若，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾.所以，，故，则，所以，，，因此，.故选：B.7. 直线被椭圆截得最长的弦为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】联立直线方程和椭圆方程，解方程可得两根，运用弦长公式，结合配方法，以及二次函数的最值求法，可得答案【详解】解：联立直线和椭圆，可得，解得或，则弦长，令，则，当，即，取得最大值，故选：B8. 设函数，若时，的最小值为，则（    ）A. 函数的周期为B. 将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数C. 当，的值域为D. 函数在区间上的零点个数共有6个【答案】D【解析】【分析】由条件求出的最小正周期，由此判断A，根据正弦函数的图象及性质判断B，C，D.【详解】由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；对于选项B：将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是为偶函数，所以选项B错误；对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，故选：D.9. 设函数，.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先将 的零点问题转化为两函数的交点问题，分段函数中的 不好处理，要变形为 在各自区间上的交点问题，经过画图分析，比较斜率等最终求得结果.【详解】令 ，则 ， 当 时， ，即 ，即函数 与 的交点问题，其中 恒过 . 当 时， ，即 ，即函数 与 的交点问题.
分别画出函数 在各自区间上的图象:
当 与 相切时，有且仅有一个零点，此时 ，化简得: ，由 得: (舍去)
当直线 的斜率，大于等于直线 的斜率时，有且仅有一个零点，把 代入 中，解得: ，则 ，综上， 的取值范围是 .
 故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10. 已知复数满足，则______.【答案】【解析】【分析】先由求出复数，再代入求解即可.【详解】由，得，所以，故答案为：.11. 已知圆与直线相切，则_________【答案】3【解析】【详解】试题分析：因为圆的标准方程为：，所以圆必坐标为 ，半径为 ，由题意得： 解得： ，所以答案应填：3.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.12. 已知，则________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式，化简求得所求表达式的值.详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查二倍角公式、诱导公式，属于中档题.13. 直线与双曲线：（，）的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于，两点，若，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点弦长求出直线的斜率，从而得出双曲线渐近线的斜率，再利用即可求出双曲线的离心率.【详解】∵抛物线的方程为：，∴的焦点为，∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴直线的斜率存在，设直线斜率为，则直线的方程为：，由，消去，化简得（），设，，，到抛物线准线的距离分别为，，则，，，，由抛物线的定义，，解得，又∵双曲线：（，）渐近线方程为，∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，∴双曲线的离心率为.故答案为：.14. 已知，，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】将化为，利用换底公式和对数运算的性质，结合基本不等式“”的妙用求解即可.【详解】由换底公式和对数运算的性质，原式，∵，∴，∴原式，∵，，∴，，∴，，∴由基本不等式，当且仅当，即时，等号成立，∴原式.∴当且仅当时，的最小值为.故答案为：.15. 在中，，在所在平面内的一点满足，当时，的值为______取得最小值时，的值为______.【答案】    ①. 5    ②. 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求得当时，的值；将转化为的解析式，利用二次函数的性质即可求得对应的值【详解】以C为原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系,则，令，，，则，，由，可得，解之得,当时， 则，，,则，则,，则当取得最小值时，故答案为：5；三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，的面积为2，求【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到，从而求出；（2）由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依题意，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【小问1详解】解：因为，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以所以所以【小问2详解】解：因为的面积，所以，即，所以，由余弦定理得，所以，因为平分，所以，所以，所以，所以，所以17. 如图，在五面体中，四边形为正方形，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；    （2）    （3）【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求直线与平面所成角的正弦值；（3）利用向量法去求平面与平面夹角的正弦值.【小问1详解】在△中，过点N作交CF于H，连接AH，又，则，又，则则四边形为平行四边形，则又平面，平面，则平面；【小问2详解】四边形为正方形，平面，则两两垂直以F为原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，，则，， 设平面的一个法向量为，则，则，令，则，，则设直线与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为；【小问3详解】由（2）可得，设平面一个法向量为，则，则，令，则，，则又平面的一个法向量为则设平面与平面夹角为，则，则平面与平面夹角的正弦值18. 已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，以及，建立关于的方程，即可得到结果；（2）设，由（1）可知，可设椭圆方程，根据，可得，设将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点满足椭圆方程，可求出，进而求出结果.【小问1详解】解：因为，所以，即，则，解得．【小问2详解】解：设，由，得，所以，所以设，即由于在椭圆上，则，，①由，得，即由在椭圆上，则,即，即，②将①代入②得：，③线段中点为，设可知，所以，其中，解得，所以，方程为又，④将④代入③得：，经检验满足，所以椭圆的方程为.19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足.（1）求数列、的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）设，求证：.【答案】（1），    （2）    （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式与通项公式列式求出首项和公差，可得数列的通项公式；根据可求出数列的通项公式；（2）根据进行裂项求和可求出；（3）根据基本不等式进行放缩得，再根据错位相减法求和可证不等式成立.【小问1详解】因为数列是等差数列，设公差为，由，得，即，解得，所以，由得，得，当时，，所以，所以，即，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.综上所述：数列、的通项公式分别是：，.【小问2详解】由（1）知，，所以，所以.【小问3详解】由（1）知，，所以，所以，所以，设，则，所以，所以，所以，所以.20. 已知函数，，曲线在处的切线的斜率为.（1）求实数的值；（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设方程在区间内的根从小到大依次为、、、、，求证：．【答案】（1）；    （2）；    （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得出，即可求得实数的值；（2）由题意可知对任意的恒成立，验证对任意的恒成立；在时，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在区间上的最大值，可得出的取值范围，综合即可得解；（3）令，利用导数分析函数在区间上的单调性，利用零点存在定理可知，求得，证明出，结合函数的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为，则，由已知可得，解得.【小问2详解】解：由（1）可知，对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，当时，则有对任意的恒成立；当时，，则，令，其中，且不恒为零，故函数在上单调递增，则，故.综上所述，.【小问3详解】证明：由可得，令，则，因为，则，所以，，所以，函数在上单调递减，因为，，所以，存在唯一的，使得，所以，，则，所以，，因为函数在上单调递减，故，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.