2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列运算结果正确的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  “的算术平方根是”用式子表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  要使有意义，则实数的取值范围是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 4.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )A.  B. 且 C.  D. 或5.  若，，满足，则关于的方程的解是(    )A. ， B. ， C. ， D. 无实数根6.  关于的方程的两个实数根分别为和，则分解因式等于(    )A.  B.  C.  D. 7.  若，，则以，为根的一元二次方程是(    )A.  B.  C.  D. 8.  估计的值应在(    )A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间9.  如图，在边长为的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点若，则这个菱形的面积为(    )

 A.  B.  C.  D. 10.  如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等给出如下四个结论：；正方形绕点旋转时，四边形的面积随的长度变化而变化；周长的最小值为；其中正确的结论有(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  的倒数是______ ．12.  如图，将一个矩形纸片沿着直线折叠，使得点与点重合，直线分别交，于点，，若，，则线段的长为______ ．
 13.  已知，是方程的两个实数根，则的值为______．14.  如图，平面直角坐标系中有两条直线分别为，，若上一点到的距离为，则点的坐标为______ ．
 15.  两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示若，则对角线上的动点到，，三点距离之和的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
计算：；
对于一元二次方程是常数，，当时，请用配方法推导出该方程的求根公式．17.  本小题分
解方程：
；
．18.  本小题分观察下列各式：，；，请观察规律，并写出第个等式：_______________；请用含的式子写出你猜想的规律：____________________；请证明中的结论． 19.  本小题分
“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”小明用这种思维方式和换元法解决下面的问题，求出了方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中． 方程换元法得新方程 解新方程检验求原方程的解令，
则，
所以    
      20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．21.  本小题分
已知：如图，在四边形中，，，分别是对角线，的中点．
请判断线段与的位置关系，并说明理由；
若，请判断与的数量关系，并说明理由．
22.  本小题分
如图，请在边长为的方格纸中利用格点作图不必说明作图步骤，标出你所连接的格点即可：
如图，画一个平行四边形，使得点，，，分别在平行四边形的四条边上，且，并直接写出你画的平行四边形的面积；
如图，画一个矩形，使得点，，，分别在矩形的四条边上，且，并直接写出矩形的边长；
如图，延长至点，请在上找一点使得．

 23.  本小题分
已知，矩形，点在上，点在上，点在射线上，点在上．

如图，当矩形为正方形时，且，求证：；
在的条件下，将沿向右平移至点与点重合，如图，连接，取的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由；
如图，点在上，连接，交于，，若，，，求线段的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质及二次根式的除法法则计算．
本题主要考查了二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次根式的基本性质，双重的非负性是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：的算术平方根是用式子表示为．
故选：．
根据算术平方根的概念写出式子即可．
本题考查的是算术平方根的概念，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，即．
 3.【答案】 【解析】解：要使有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选B．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．分别把或代入方程可得到和，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
【解答】
解：当时，，
当时，，
所以关于的方程的解为或．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：关于的方程的两个实数根分别为和，
方程为：，
．
故选：．
由关于的方程的两个实数根分别为和，可得方程为：，继而求得答案．
此题考查了一元二次方程根的性质．此题难度不大，注意根据题意可得方程为：是解此题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
而，
，
，
以，为根的一元二次方程为．
故选：．
利用完全平方公式计算出，然后根据根与系数的关系写出以，为根的一元二次方程．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 8.【答案】 【解析】解：原式


，
，
，
．
故选：．
根据乘法的分配律以及二次根式的运算，进行计算后，再进行估算即可．
本题考查二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，掌握二次根式的混合运算的方法是正确解答的关键．
 9.【答案】 【解析】解：连接交于，如图，

四边形为菱形，
，，，，，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
菱形的面积．
故选：．
连接交于，如图，根据菱形的性质得到，，，，，再利用得到，证明得到，则，所以，接着利用勾股定理计算出，从而得到，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积、是两条对角线的长度．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，；故正确；
由得≌
，
故错误；
由可知，，
周长，
为定值，则最小时周长的周长最小，
当时最小，周长的周长最小，
此时，
周长的周长最小值．
故正确，
在中，，
，
又．
，故错误．
故选：．
由四边形和是正方形可知，易证得≌，则可得为等腰直角三角形；
由易证得，则可得出结论；
，而的最小值为，故可得结论正确；
由和，即可得结论．
此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：的倒数是．
故答案为：．
根据倒数的定义和分母有理化即可求解．
本题考查了实数的性质，关键是熟练掌握倒数的定义．
 12.【答案】 【解析】解：如图，连接，交于点，

将一个矩形纸片沿着直线折叠，使得点与点重合，
，垂直平分，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
连接，交于点，根据折叠可知，垂直平分，由等边对等角得，由可得，进而得到，以此可通过证明≌，得到，，再根据勾股定理分别求出、，则，再利用勾股定理求出即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和三角形全等的判定方法时解题关键
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用是方程的实数根得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】
解：是方程的实数根，
，
即，
，
原式
．
故答案为．
   14.【答案】或 【解析】解：设直线交轴于点，直线交轴于点，、交于点解方程组，得，故C．
对于直线，当时，，故A；
对于直线，当时，，故B．
，，
是等腰三角形，且．
，
．
过作于，
到直线的距离小于，
在点与之间取一点，作于，则有．
，得．
设，则有和，解得或
点在点与之间，
，故点坐标应为
在直线上，于延长线上取一点，过作垂直于直线于，使得．
在和中，，对顶角，，
≌，
．
设，则有和，解得或
点在延长线上，
，故点坐标应为
故答案为：或

这样的点一定有两个，分别位于两直线交点的两侧．先利用几何关系求出两直线交点左边的点，再利用几何关系求出两直线交点右边的点即可．
本题主要考查了在坐标系中两直线相交问题，综合性很强，计算量非常大．
 15.【答案】 【解析】解：易得四边形是平行四边形，
如图，作于，把绕点逆时针旋转得到，

，，
，
两条纸条宽都是，同理：，
由旋转的性质，，，，，，
是等边三角形，
，
，
根据两点间线段距离最短，可知当时最短，连接，与的交点即为点，
即点到，，三点距离之和的最小值是．
，，
，
，
因此点到，，三点距离之和的最小值是，
故答案为．
作于，利用含角的直角三角形求得，同理：，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，，，所以是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当时最短，连接，利用勾股定理求出的长度，即求得点到，，三点距离之和的最小值．
本题主要考查了最短路径问题，旋转知识、含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
 16.【答案】解：


；

是常数，，
两边同除以得：，
移项得：，
配方得：，
即，
，
将上述方程直接开平方得：，
则． 【解析】利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可；
利用配方法解一元二次方程即可．
本题主要考查二次根式的运算及配方法解一元二次方程，二次根式的运算法则及配方法是重要知识点，必须熟练掌握．
 17.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
则，即，
或，
解得，． 【解析】先移项，再利用直接开平方法求解即可；
先移项，再将看做整体，利用十字相乘法将左边因式分解，进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
 18.【答案】解：，
；
，
则第个等式为： 
故答案为： 
，
；
，
 

用含的式子表示为： 
故答案为： 




． 【解析】【分析】
认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第个等式；
根据规律写出含的式子即可；
结合二次根式的性质进行化简验证即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．  19.【答案】解：，
设，
原方程转化为，
解得，
当时，，解得，
检验：当时，，则为原方程的解，
所以原方程的解为；
，
设，
原方程转化为，
解得，，
当时，，解得，
当时，，方程无解，
检验：当时，，则为原方程的解，
所以原方程的解为． 【解析】对于方程，设，原方程转化为，解得，再解方程得，然后进行检验得到原方程的解；对于方程，设，
则原方程转化为，解一元二次方程得到，，再分别解方程和，然后进行检验得到原方程的解．
本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
 20.【答案】证明：，，，

，
方程总有两个不相等的实数根；
解：由题意得：
，
解得：，
，
，
，
的值为． 【解析】利用根的判别式，进行计算即可解答；
利用根与系数的关系和已知可得，求出，的值，再根据，进行计算即可解答．
本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．
 21.【答案】解：，
理由：连接，，

，点是的中点，
，
，点是的中点，
，
，
点是的中点，
；
，
理由：，点是的中点，
，
，
，点是的中点，
，
，
，





，
点是的中点，
． 【解析】连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 22.【答案】解：如图中，平行四边形即为所求；
如图中，矩形即为所求；
如图中，点即为所求．
 【解析】连接，分别过点，，作，，可得平行四边形；
连接，作，且四边形是矩形，过点作，延长交于点，延长交直线于点，四边形即为所求；
连接，过作，交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 23.【答案】证明：过点作于，如图所示：
则，
四边形是正方形，
，，，
，，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
解：与的数量关系为：，理由如下：
过点作，交于点，如图所示：
是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
即，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
解：过点作交于，作交于，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
在中，由勾股定理得：，
取的中点，取的中点，连接，
则，
，
四边形是正方形，
，
延长到，使，交于，连接，
，，
≌，
，，
，，，
，
，
，
即，
，
又，，
≌，
，
设，，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是的中点，
是的中位线，
，
． 【解析】过点作于，证≌，得，即可得出结论；
过点作，交于点，证≌，得，再证是等腰直角三角形，得，即可解决问题；
过点作交于，作交于，证四边形和四边形都是平行四边形，得，，取的中点，取的中点，连接，则，得四边形是正方形，则，延长到，使，交于，连接，然后证≌，得，，进而证≌，得，设，，，利用勾股定理得，即，解得，则，由勾股定理得，最后由三角形中位线定理的，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，本题综合性强，难度较大，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题．