特训16 期末解答题汇编50道（题型归纳）-2022-2023学年七年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训16 期末解答题汇编50道（题型归纳）一、解答题1．计算：．【答案】【分析】直接利用无理数的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．2．计算：3÷﹣+（）﹣1﹣（+2）0．【答案】【分析】通过计算零指数幂、负指数幂、分母有理化、开平方的计算即可得出结论；【解析】解：原式＝，＝．【点睛】本题主要考查了实数的计算，计算正确是解题的关键．3．计算：【答案】【分析】计算零指数幂，分指数幂，立方，二次根式除法，再合并同类项即可．【解析】解：，，．【点睛】本题考查二次根式混合运算，零指数幂，分指数幂，二次根式立方，二次根式除法，掌握二次根式混合运算法则，零指数幂法则，分指数幂法则，二次根式立方，二次根式除法法则是解题关键．4．计算：．【答案】【分析】根据二次根式的运算法则结合平方差公式及逐个求解即可．【解析】解：原式．【点睛】本题考查二次根式及其运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．5．计算：．【答案】【分析】根据二次根式的加减运算以及乘法运算、以及负指数幂运算即可求出答案．【解析】解：，．【点睛】本题考查二次根式的运算，分数指数幂运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘法运算法则以及分数指数幂的运算法则．6．利用幂的性质进行计算 ：（结果用幂的形式表示）【答案】【分析】直接利用分数指数幂的性质进而计算得出答案．【解析】解：【点睛】此题主要考查了分数指数幂以及实数运算，正确将原式变形是解题关键．7．利用幂的运算性质计算：【答案】【分析】根据分数指数幂的运算法则，幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算即可．【解析】解：原式【点睛】此题考查了分数指数幂，幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握分数指数幂的运算法则，幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解本题的关键．8．用幂的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）．【答案】【分析】根据幂的运算性质以及同底数幂的乘除运算【解析】解：原式．【点睛】此题主要考查了分数指数幂的性质以及同底数幂的乘除运算，正确化简各数是解题关键．9．计算．(1)计算：．(2)利用幂的性质进行计算：．(3)计算：．(4)．【答案】(1)(2)9(3)(4)【分析】（1）先计算平方差公式，再计算二次根式的加减法与乘法即可得；（2）先将9和27分别化成和的形式，再将各数化成分数指数幂，然后计算同底数幂的乘除法即可得；（3）先计算立方根、分数指数幂、乘方，再计算乘除法、化简绝对值，然后计算加减法即可得；（4）先化简二次根式、计算零指数幂，再计算加减法即可得．(1)解：原式．(2)解：原式．(3)解：原式．(4)解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法、分数指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．10．已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整数部分为m，的小数部分为n，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据立方根与算术平方根，平方根的含义可得：，，，从而可得答案；（2）由，，可得，的值，从而可得答案.【解析】（1）解：由题得：，，，解得，，∴．则的平方根为：（2）由（1）可求，∵，，    ∴，，   则.【点睛】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分，熟记基本概念是解本题的关键.11．中，、、的外角的度数之比是，求的度数．【答案】【分析】根据题意设的外角为，的外角为，的外角为，再由多边形的外角和为360°，得出的外角，即可得出结论．【解析】∵、、的外角的度数比为，∴可设的外角为，的外角为，的外角为，∵任意多边形的外角和为360°，∴，解得，∴的外角为80°，∴．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和为360°及外角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．【答案】【分析】由题图可知，可得，，，再化简即可．【解析】解：由题图可知，∴，，，∴原式．【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，化简绝对值，求解立方根与算术平方根，整式的加减运算，理解题意判断各代数式的符号是解本题的关键．13．如图一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数c和d，且有与为相反数，求的平方根．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由题意解得，再运用绝对值的知识求解此题结果；（2）先运用非负数的性质求得c，d的值，再运用平方根知识求解此题结果即可．【解析】（1）由题意得，，，， ；（2）由题意得，，，，解得，， ，的平方根是，的平方根为．【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示实数、非负数和平方根解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．14．如图图形，每个小正方形的边长为1．(1)求图中阴影部分的面积和边长；(2)已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求：①，的值；②的算术平方根．【答案】(1)，(2)①，；②【分析】（1）根据题意可得阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小三角形的面积，再根据算术平方根的定义即可算出边长；（2）①根据估算无理数大小的方法，可得，，即可得得出和的值；②代入计算即可得出答案．【解析】（1）解：根据题意可得，，则阴影部分正方形的边长为：．故答案为：13，；（2）①，，，，，，②∵，，即的算术平方根为．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小及算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小及算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．15．如图，中，已知，，求的度数．【答案】【分析】设，则，根据三角形内角和定理可得，根据邻补角的定义列出一元一次方程，即可求解【解析】设．∵，则．在中，，，即解得：，【点睛】本题考查了三角形内角和定理，邻补角的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．16．如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明AB∥CD的理由．解：因为GH平分∠AGE（已知），所以∠AGE＝2∠AGH（　 　）同理∠　 　＝2∠DMN因为∠AGH＝∠DMN（已知）所以∠AGE＝∠　 　（　 　）又因为∠AGE＝∠FGB （　 　）所以∠　 　＝∠FGB （　 　）所以AB∥CD （　 　）．【答案】角平分线的定义，DMF，DMF，等量代换，对顶角相等，DMF，等量代换，同位角相等，两直线平行．【分析】根据角平分线的定义和等量关系可得∠AGE=∠DMF，再根据对顶角相等和等量关系可得∠DMF=∠FGB，再根据平行线的判定推出即可．【解析】因为GH平分∠AGE（已知），所以∠AGE＝2∠AGH（角平分线的定义），同理∠DMF＝2∠DMN，因为∠AGH＝∠DMN（已知），所以∠AGE＝∠DMF（等量代换），又因为∠AGE＝∠FGB （对顶角相等），所以∠DMF＝∠FGB （等量代换），所以ABCD （同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．17．如图，已知，，垂足分别为点、，，试说明的理由．解：因为，（已知），所以，（    ），所以（等量代换），所以（    ），所以（    ），因为（已知），所以（    ），所以（    ）．【答案】垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据两直线平行的判定与性质进行填写即可，【解析】解：因为，（已知），所以，（垂直的意义），所以（等量代换），所以（同位角相等，两直线平行），所以（两直线平行，同位角相等），因为（已知），所以（等量代换），所以（内错角相等，两直线平行）．故答案是：垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了垂线，两直线平行的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的判定与性质．18．如图，中，两条高BD和CE相交于H，已知．试判断的形状并说明理由．【答案】等腰直角三角形，理由见解析．【分析】由两条高BD和CE相交于H，可证得，再由直角三角形两锐角互余证得，，利用同角的余角相等得到，又由，证得，得到，即可证得结论．【解析】∵，，∴，在Rt△ABD和Rt△AEC中，∴，，∴，∴在和中，，∴，∴，∵∴是等腰直角三角形．【点睛】本题通过证明全等三角形，证明线段相等得到等腰三角形，关键在于充分挖掘已知，找到证明全等的条件．19．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，根据下列要求作图并回答问题．(1)过点C画直线lAB；(2)过点A分别画直线BC和直线l的垂线段，垂足分别为点D、E，AE交BC千点F；(3)线段　　的长度是点A到BC的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AD【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）根据几何语言画出对应的几何图形；（3）根据点到直线的距离的定义求解．(1)如图，直线l为所作；(2)如图，AD、AE为所作；(3)线段AD的长度为点A到BC的距离．故答案为：AD．【点睛】此题考查了点到直线的距离，用直尺、三角板画平行线，作图—复杂作图．正确掌握各作图方法是解题的关键。20．如图，是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，．连接PQ交AC于D点，过P作，交AC于E点．(1)说明的理由．(2)过点P作于F，说明的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得EF与AE的关系，根据线段中点的性质，可得DE=CE，EF与AE的关系，根据线段的和差，可得答案．【解析】（1）∵PE∥BC，∴∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q．∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°．∴∠A=∠AEP．∴AP=PE．又∵AP=CQ，∴PE=CQ．在△EDP和△CDQ中，∴△EDP≌△CDQ（AAS），∴DE=DC；（2）∵AP=PE，PF⊥AC，∴EF=AE．∵DE=DC，且DE+DC=CE，∴DE=CE．∴DF=EF+DE=AE+CE=（AE+CE）=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的性质．21．已知，根据下列条件，画图及填空：(1)画，使，，(2)在（1）的条件下，画的中线．(3)在（1）、（2）的条件下，从引出一条射线，将切割成两个等腰三角形，射线与边相交于点，请画出射线，在图中标出的大小，并写出______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）问利用量角器可以画出 和，顺次连接点A、B、C得到；（2）问用刻度尺取AC中点D，连接BD，线段BD为的中线；（3）因为， =60°，所以，从引出一条射线将切割成两个等腰三角形，让，此时，， 和为等腰三角形，符合题意．【解析】（1）（1）如图1所示，将量角器中心与点对齐，0刻度线与对齐，内圈30°线条指向作射线；将量角器中心与点对齐，0刻度线与对齐，外圈60°线条指向作射线；射线与交点为点，则即为所求．（2）（2）如图2所示，取中点为点，作线段，则为的中线，线段即为所求．（3）（3）如图3所示，从引出一条射线将切割成两个等腰三角形和等腰三角形（点为等腰三角形和等腰三角形的顶点），∴，在中，，，∴，∴，则，又∵点为的中点，∴，故图3中射线即为所求；的度数为60°，如图3所示；．【点睛】本题考查作图能力和三角形中线、等腰三角形的知识，熟练掌握用量角器和刻度尺做基本图形、三角形中线概念、等腰三角形概念是解决本题的关键．22．如图，点、、、在同一条直线上，，，，说明的理由．【答案】理由见解析【分析】先求出，再根据判定，即可证明，从而证得．【解析】证明：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是得到三角形全等．23．已知//，且平分，，，求的度数．【答案】∠EBA的度数为25°【分析】，，，计算求解即可．【解析】解：∵在中，，，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴∴为25°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，补角，角平分线，平行线的性质等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系．24．如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．试说明AD//BC．【答案】见解析【分析】由AB与AC垂直，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行．【解析】证明：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC＝90°（垂直定义），又∠1＝30°，∠B＝60°（已知），∴∠B+∠BAD＝∠B+∠BAC+∠1＝60°+90°+30°＝180°（等量代换），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．【点睛】此题考查了平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．25．阅读并填空：如图，是等腰三角形，，是边延长线上的一点，在边上且联接交于，如果，那么，为什么？解：过点作交于所以（两直线平行，同位角相等）（________）在与中所以，（________）所以（________）因为（已知）所以（________）所以（等量代换）所以（________）所以【答案】见解析【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明，写出证明过程和依据即可．【解析】解：过点作交于，∴（两直线平行，同位角相等），∴（两直线平行，内错角相等），在与中，∴，（）∴（全等三角形对应边相等）∵（已知）∴（等边对等角）∴（等量代换）∴（等角对等边）∴；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.26．如图，点、在上，已知，，说明的理由．【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质得到，再根据邻补角的性质可推出，根据AAS可判定，由全等三角形的性质即可证得结论．【解析】解：∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴（AAS）．∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题．27．如图，点D是等边△ABC边BA延长线上一点，，且，联结CD、CE．(1)试说明：△BDC与△AEC全等的理由．(2)试说明：△CDE是等边三角形的理由．【答案】(1)理由见解析(2)理由见解析【分析】（1）证和，得到；（2）根据，得到，，再证，则△CDE为等边三角形．（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，在△BDC与△AEC中，，．（2）解：由（1）可知，∴，，则，∴，∴，则△CDE为等边三角形．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．有一个角为的等腰三角形是等边三角形．28．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的三个顶点坐标分别为A(1,2)，B(-1,-1)，C(3,-1)，与关于原点O对称．(1)写出点、、的坐标，并在右图中画出．(2)求的面积．【答案】(1)A1(-1,-2)，B1(1,1)，C1(-3,1)，图见解析(2)【分析】(1)根据关于原点对称的点的坐标的特点，即可求得各点的坐标，据此即可画出图形；(2)根据图形和坐标即可求得面积．（1）解：∵A(1,2)，B(-1,-1)，C(3,-1)，与关于原点O对称，∴A1(-1,-2)，B1(1,1)，C1(-3,1)，画图如下：（2）解：∵A1(-1,-2)，B1(1,1)，C1(-3,1)∴B1C1=3+1=4，∴的面积为：．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点及三角形面积公式，求出对称点的坐标及画出图形是解决本题的关键．29．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．【答案】（1）点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），D（−3，1）；（2）图见详解，12．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；（2）把这些点按A−D−B−C−A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．【解析】解：（1）∵点A（−1，3a−1）与点B（2b＋1，−2）关于x轴对称，∴2b＋1＝−1，3a−1＝2，解得a＝1，b＝−1，∴点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），∵点C（a＋2，b）与点D关于原点对称，∴点D（−3，1）；（2）如图所示：四边形ADBC的面积为：×4×2＋×4×4＝12．【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），点B与点A关于原点对称；点C与点A关于x轴对称，将点C绕原点逆时针旋转90°得到点D．(1)点B的坐标是______．点D的坐标是______．(2)在图中的直角坐标平面内画出△ABD，则△ABD的面积是______．(3)如果点P在y轴上，且△ABP的面积是18，求点P的坐标．【答案】(1)，(2)7(3)点P的坐标为（0，6）或（0，-6）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质即可得出，的坐标；（2）由（1）可确定，进而求的面积；（3）先设出点的坐标，再根据三角形面积列出关于点坐标的方程，即可求解．(1)解：，点与点关于原点对称，，点与点关于轴对称，，点绕原点逆时针旋转得到点，；(2)解：如图所示：即为所求，；(3)解：设点的坐标为，则，即，，点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了对称以及旋转变换，根据对称以及旋转的性质得出对应点位置是解题关键．31．在直角坐标平面内，点A1、B1、C1的坐标如图所示．（1）请写出点A1、B1、C1的坐标：点A1的坐标是　 　；点B1的坐标是　 　；点C1的坐标是　 　．（2）将点A1绕原点逆时针旋转90°得到点A，则点A的坐标是　 　．（3）若点B1与点B关于原点对称，则点B的坐标是　 　．（4）将C1沿x轴翻折得到点C，则点C的坐标是　 　．（5）分别联结AB、BC、AC，得到△ABC，则△ABC的面积是　 　．【答案】（1）（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；（2）（0，3）；（3）（5，3）；（4）（3，﹣2）；（5）．【分析】（1）根据在坐标系所处的位置即可得到点的坐标；（2）根据旋转的性质即可求得点A的坐标；（3）根据中心对称的性质即可求得点B的坐标；（4）根据轴对称的性质即可求得点C的坐标；（5）以AB为底，利用三角形的面积公式即可得到△ABC的面积．【解析】解：（1）在直角坐标平面内，点A1、B1、C1的坐标如图所示：点A1的坐标是（3，0）；点B1的坐标是 （﹣5，﹣3）；点C1的坐标是 （3，2），故答案为：（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；（2）将点A1绕原点逆时针旋转90°得到点A，则点A的坐标是（0，3），故答案为：（0，3）；（3）若点B1与点B关于原点对称，则点B的坐标是（5，3），故答案为：（5，3）；（4）将C1沿x轴翻折得到点C，则点C的坐标是（3，﹣2），故答案为：（3，﹣2）；（5）分别连接AB、BC、AC，得到△ABC，则△ABC的面积是：，故答案为：．【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-旋转，轴对称，中心对称，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.32．如图，在中，，垂足为，，垂足为，，与相交于点．(1)请说明的理由．(2)如果，试说明平分的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由余角的性质可证，根据“ASA”可证结论成立；（2）由可得，结合可知，然后根据“SAS”证明△ABD≌△ACD可证结论成立．【解析】（1）证明：，，，∠AEB=∠CEB=90°，，∠EBC+∠C=90°，，在与中，，．（2）解：由（1）知，，，，是的中点，，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，∴，平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．33．如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．【答案】见解析【分析】由CD∥BE，可证得∠ACD=∠B，然后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≌△CBE，证得结论．【解析】∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，∵AC=CB，∠ACD=∠B，CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠D=∠E．34．如图，已知点B、C、E在一直线上，△ABC、△DCE都是等边三角形，联结AE、BD．试说明AE＝BD的理由．【答案】理由见解析．【分析】根据等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，再根据SAS得出△ACE≌△BCD即可【解析】∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，证得△ACE≌△BCD是解题的关键35．如图，已知∠COF+∠C＝180°，∠C＝∠B．说明AB//EF的理由．【答案】见解析．【分析】根据平行线的判定可得EF//CD，AB//CD，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．【解析】解：∵∠COF+∠C＝180°，∴EF//CD，∵∠C＝∠B，∴AB//CD，∴AB//EF．【点睛】本题考查了平行线的问题，掌握平行线的性质以及判定定理、平行公理的推论是解题的关键．36．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．【答案】30°．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形外角的性质即可求解．【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，∵AD＝AB，∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三线合一的运用，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据三线合一的性质得到相等的量．37．如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．（1）说明△ACD与△BEC全等的理由；（2）说明AB＝AD+BE的理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由三角形内角和得∠D＝∠BCE，再由AAS证明三角形全等；（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE，AD＝BC，进而由线段的和差得结论．【解析】（1）∵∠DCE＝∠A，∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠D＝∠BCE，在△ACD和△BEC中，，∴△ACD≌△BEC（AAS）；（2）∵△ACD≌△BEC，∴AD＝BC，AC＝BE，∴AC+BC＝AD+BE，即AB＝AD+BE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，属于基础题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.38．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．【答案】∠A、∠B、∠C的度数分别为：36°，54°，90°．【分析】根据三角市三个角的比及三角形内角和是即可得到结论；【解析】解：∵在△ABC中∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，∴∠A＝2×18°＝36°，∠B＝3×18°＝54°，∠C＝5×18°＝90°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，准确理解列式是解题的关键．39．如图，已知 AD∥BC，点E是AD的中点，EB＝EC．试说明AB与CD相等的理由．【答案】AB＝CD，理由见详解【分析】由题意可知由于AD∥BC，利用平行线的性质可得∠AEB=∠1，∠DEC=∠2，而EB=EC，根据等边对等角可得∠EBC=∠ECB，等量代换可证∠AEB=∠DEC，再结合AE=DE，EB=EC，利用AAS可证△AEB≌△EDC，从而有AB=CD．【解析】解：如图：∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠1，∠DEC＝∠2，∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠AEB＝∠DEC，在△AEB与△EDC中，，∴△AEB≌△EDC，∴AB＝CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，解题的关键是证明∠AEB=∠DEC．40．如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（　 ），因为　 　（已知），所以∠DEF＝∠CEF（角平分线的意义），所以∠　 　＝∠CEF（等量代换），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝　 　（　 　），所以EF∥AB（　 　）．【答案】两直线平行，内错角相等；EF平分∠CED；CFE；∠CEF；等量代换；同位角相等，两直线平行．【分析】本题先通过直线平行证明∠DEF与∠CFE相等，继而根据角平分线定义求证∠CFE与∠CEF相等，最后根据角的互换求证∠A与∠CEF相等，进而求证平行．【解析】因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等）．因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CEF（角平分线的意义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换）．因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查直线平行的性质与判定，两直线平行，同位角相等、内错角相等，同旁内角互补灵活掌握即可．41．如图，已知在△ABC中，点D为AC边上一点，DE∥AB交边BC于点E，点F在DE的延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA．（1）试说明∠BDA＝∠ABC的理由；（2）试说明BF∥AC的理由．【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析；【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEC=∠ABC，根据∠DEC=∠BDA求出∠BDA=∠ABC即可；（2）求出∠ABC=∠FBD，根据∠BDA=∠ABC得出∠BDA=∠FBD，根据平行线的判定得出即可．【解析】（1）理由如下：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∵∠DEC＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ABC；（2）∵∠ABD＝∠FBE，∴∠ABD+∠DBE＝∠FBE+∠DBE，即∠BAC＝∠FBD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠BDA＝∠FBD，∴BF∥AC．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．42．已知，如图所示，BCE，AFE是直线，AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD//BE 证明：∵AB//CD(已知)∴∠4=∠ ( )∵∠3=∠4(已知)∴∠3=∠ ( )∵∠1=∠2(已知)∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF( )即：∠ =∠ ．∴∠3=∠ ．∴AD//BE( )【答案】FAB；两直线平行，同位角相等；FAB；等量代换；等式的性质；FAB；CAD； CAD；内错角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的性质求出∠4＝∠BAF＝∠3，求出∠DAC＝∠BAF，推出∠3＝∠BAF，根据平行线的判定推出即可．【解析】证明：∵AB//CD（已知） ∴∠4＝∠FAB（两直线平行，同位角相等）∵∠3＝∠4（已知）∴∠3＝∠FAB（等量代换）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF（等式的性质）即：∠FAB＝∠CAD∴∠3＝∠CAD∴AD//BE（内错角相等，两直线平行）故答案为：BAF，两直线平行，同位角相等，BAF，等量代换，DAC，DAC，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之即为平行线的性质．43．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．【答案】AC⊥BD，理由见解析.【分析】AC与BD垂直，理由为：由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式性质得到∠BDC=∠DBC，利用等角对等边得到DC=BC，利用SSS得到三角形ABC与三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠BAC，再利用三线合一即可得证．【解析】AC⊥BD，理由为：∵AB＝AD（已知），∴∠ADB＝∠ABD（等边对等角），∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB（等式性质），即∠BDC＝∠DBC，∴DC＝BC（等角对等边），在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC（全等三角形的对应角相等），又∵AB＝AD，∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．44．如图，已知，，试说明的理由解：因为（已知），所以____________，（____________）．因为（已知），所以____________（等量代换）所以（____________）．所以（____________）．【答案】；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【分析】根据平行线的判定与性质，结合上下文求解即可．【解析】因为（已知），所以，（两直线平行，内错角相等）因为（已知），所以（等量代换），所以（内错角相等，两直线平行），所以（两直线平行，同旁内角互补）．故答案是：EDF ；两直线平行，内错角相等； EDF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．45．如图，已知，，，试说明的理由．解：因为（已知），所以（      ）．又因为（已知）．所以________________________（等式性质）所以在和中，，所以（____________）（完成以下说理过程）【答案】等角对等边；【分析】根据等角对等边可证明AB=AC，根据SAS可证明．【解析】解：因为（已知），所以（等角对等边）又因为（已知）所以（等式性质）所以在和中，，所以故答案为：等角对等边：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法是解答本题的关键．46．解答下列各题(1)小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线，如图1所示，小明的作图依据是： ____________．        (2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线．如图2，已知直线a，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线平行于直线a．以下是小丽的作图方法：①在直线a上取一点A，作直线（与直线a不垂直）；②在的延长线上取一点B，以B为圆心长为半径作弧，交直线a于点C；③联结，以B为圆心长为半径作弧，交于点D，作直线这样，就得到直线．你能说明的理由吗？【答案】(1)同位角相等，两直线平行；(2)证明见解析【分析】（1）将三角板沿直尺移动的时候，三角板各个角度大小不变，由此得同位角相等，所以两直线平行；（2）由于大三角形和小三角形都是等腰三角形，且共有∠B，所以四个底角都相等，从而得出同位角相等，两直线平行．【解析】（1） 由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行．（2） 由小丽的作图方法可知：，∴，∵，，∴∴，即（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查平行线与直线相交中的平行线的判定，掌握他们的判定和性质是解题关键．47．如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边作等边三角形，联结．(1)试说明的理由，(2)如果D是的中点，那么线段与有怎样的位置关系？试说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析．【分析】（1）根据，是等边三角形的性质，证明出即可．（2）运用等边三角形的性质求解即可．（1）解：∵，都是等边三角形，∴，，∴在和中，，∴∴（2）解：∵，都是等边三角形，∴，∵点D是边的中点∴∵∴，∴∵是等边三角形，∴【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质与全等三角形的判定．48．如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝44°，求∠BDE的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠BDE＝68°【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠AOD＝∠BOE．再根据∠A＝∠B，可得∠BEO＝∠2．从而得到∠1＝∠BEO，进而得到∠AEC＝∠BED．即可求证；（2）根据全等三角形的性质可得EC＝ED，∠C＝∠BDE．再根据等腰三角形的性质，即可求解．【解析】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）；（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝44°，∴∠C＝∠EDC＝68°，∴∠BDE＝∠C＝68°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质定理是解题的关键．49．如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．(1)说明△ACE≌△MCF的理由；(2)说明△CNB为等边三角形的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由△ACM和△CEF是等边三角形，得CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，再利用SAS即可证出△ACE≌△MCF；（2）由△ACE≌△MCF，得∠CAE=∠CMF，由∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，可得∠ACN=∠MCB，再利用ASA证出△ACN≌△MCB，得到CN=CB，再由∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，即可证明△CNB是等边三角形．【解析】（1）证明：△ACM和△CEF是等边三角形，∴CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，在△ACE和△MCF中，，∴△ACE≌△MCF（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△MCF（SAS），∴∠CAE=∠CMF，∵∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN与△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（ASA），∴CN=CB，∵∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，∴△CNB是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．50．在平面直角坐标系中，点，点，点．（1）的面积为______；（2）已知点，，那么四边形的面积为______．（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：根据上述的例子，猜测皮克公式为______（用m，n表示），试计算图②中六边形的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．【答案】（1）10.5；（2）12.5；（3）10.5，12.5，23；；30【分析】（1）画出图形，根据三角形的面积公式求解；（2）画出图形，利用割补法求解；（3）设S=am+bn+c，其中a，b，c为常数，根据表中数据列方程组求出a，b，c，然后根据公式即可求出六边形的面积．【解析】（1）如图1，的底为7，高为3，所以面积为，故答案为：10.5；（2）如图2，，故答案为：12.5；（3）由（1）、（2）可填表格如下：设S= am+bn+c，其中a，b为常数，由题意得，解得，∴皮克公式为，∵六边形中，m=27，n=8，∴六边形的面积为=30．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，三元一次方程组的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．形内格点数m边界格点数n格点多边形面积S611四边形811五边形208形内格点数m边界格点数n格点多边形面积S61110.5四边形81112.5五边形20823