【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题04 平方差公式的几何背景（两大类型）（原卷版+解析版）

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 专题04 平方差公式的几何背景（两大类型）
【典例分析】
【典例1】（2022秋•永春县期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：∵左图阴影的面积是a2﹣b2，
右图的阴影的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【变式1-1】（2022春•市中区校级月考）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）

A．（2a2+5a）cm2 B．（3a+15）cm2
C．（4a+12）cm2 D．（6a+15）cm2
【答案】C
【解答】解：（a+4）2﹣（a+2）2＝a2+8a+16﹣（a2+4a+4），
＝（4a+12）2cm2，
故选：C．
【变式1-2】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）

A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
【答案】A
【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），
图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．

【典例2】（2022春•天桥区校级期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　；
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

【解答】解：（1）图1阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1、图2阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）∵x2﹣9y2＝12，即（x+3y）（x﹣3y）＝12，而x+3y＝4，
∴x﹣3y＝12÷4＝3，
答：x﹣3y的值为3；
（3）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
【变式2】（2022春•咸阳月考）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝　 　，S2＝　 　；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 　 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2021×2023．

【解答】解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）题结果，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20222﹣2021×2023
＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）
＝20222﹣20222+1
＝1
【典例3】（2022春•宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
（1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：　 ＝ 　．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（22﹣1）（24+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
＝　 ．
（请你将以上过程补充完整．）
（3）利用以上的结论和方法、计算：+（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．


【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图①、图②面积相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（2﹣1）•（2+1）（22+1）（24+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）
＝（24﹣1）（24+1）
＝28﹣1，
故答案为：28﹣1；
（3）原式＝+（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
＝+（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
＝+（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）
＝+（38﹣1）（38+1）（316+1）
＝+（316﹣1）（316+1）
＝+（332﹣1）
＝+﹣
＝．
【变式3】（2021春•高明区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝　 　；写出利用图形的面积关系所得到的公式：　 　（用式子表达）．
（2）应用公式计算：．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．

【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2） 原式＝

＝
＝
＝；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．

【夯实基础】
1．（2022秋•龙亭区校级期末）已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（　　）
A．12 B．60 C．﹣60 D．﹣12
【答案】B
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，
∴a2﹣b2＝10×6＝60，
故选：B．
2．（2021秋•宁县期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【答案】C
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，
∴a+b＝﹣4，
故选：C．
3．（2022•滨海县模拟）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（　　）
A．1002﹣7 B．1002﹣72
C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+72
【答案】B
【解答】解：107×93
＝（100+7）×（100﹣7）
＝1002﹣72，
故选：B．
4．（2022春•普陀区期末）某厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大2厘米，另一边缩短2厘米，改成生产长方形地砖，若材料的成本价为每平方厘米b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（　　）
A．增加了4b元 B．增加了2ab元
C．减少了4b元 D．减少了2ab元
【答案】C
【解答】解：正方形地砖的面积为a2平方厘米，长方形地砖面积为（a+2）（a﹣2）＝（a2﹣4）平方厘米，
长方形面积比正方形减少了4平方厘米，
因此这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比减少了4b元，
故选：C．
故阴影部分的面积为3．
5．（2022春•沈北新区期中）若（3b+a）（　　）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（　　）
A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a
【答案】D
【解答】解：∵9b2﹣a2＝（3b+a）（3b﹣a），
故选：D．
6．（2022春•龙胜县期中）计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
故选：B．
7．（2021秋•紫阳县期末）用乘法公式计算：201×199．
【解答】解：201×199
＝（200+1）（200﹣1）
＝2002﹣12
＝40000﹣1
＝39999．
8．（2022春•南海区校级月考）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）利用上述过程所揭示的乘法公式计算：
a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）

【解答】解：（1）图1中阴影部分面积为S1，可以看作两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，
图2中阴影部分面积为S2，是上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，因此S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
所以a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）
＝a4+（1﹣a2）（1+a2）
＝a4+（1﹣a4）
＝a4+1﹣a4
＝1．
9．（2022春•西安期末）探究活动：

（1）将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成图②一个长方形，则长表示为 　 　，宽为 　 ．
（2）则图2中阴影部分周长表示为 　 　．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（3）计算：已知a＝5m﹣3n，b＝3m+5n，则图2中阴影部分周长是多少？
【解答】解：（1）由题意可得：
图2长方形的长为：a+b，宽为：a﹣b，
故答案为：a+b，a﹣b；
（2）图2中阴影部分周长表示为：2（a+b+a﹣b）＝4a，
故答案为：4a；
（3）∵a＝5m﹣3n，b＝3m+5n．
∴阴影部分周长是4a＝4（5m﹣3n）＝20m﹣12n
10．（2022春•天桥区期末）如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．

（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝　 　，S2＝　 　，写出上述过程中所揭示的乘法公式 　 　；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；
②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．
（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）+1，
＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，
＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）÷2+1，
＝[（31024）2﹣12]÷2+1，
＝（32048﹣1）÷2+1，
＝
11．（2022春•乳山市期末）【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．

【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　；（直接写结果）
【问题解决】
（2）利用（1）中的结论，计算：．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．

12．（2021秋•黔西南州期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：　　 ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　　 ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝4，
故答案为：4，
②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．

13．（2022春•章丘区期末）“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），
（1）则A＝　 　，B＝　 　；
（2）计算：（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）；
问题二：已知x2+y2＝（x+y）2﹣P＝（x﹣y）2+Q，
（1）则P＝　 　，Q＝　 　；
（2）已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求a2+b2+ab的值．

【解答】解：问题一：
（1）因为（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝[x+（y﹣z）][x﹣（y﹣z）]＝（A+B）（A﹣B），
所以A＝x，B＝y﹣z，
故答案为：x，y﹣z；
（2）（2a﹣b+3）（2a﹣3+b）＝[2a﹣（b﹣3）][2a+（b﹣3）]＝4a2﹣（b﹣3）2＝4a2﹣b2+6b﹣9；
问题二：
（1）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x﹣y）2+2xy，
∴P＝2xy，Q＝2xy，
故答案为：2xy，2xy，
（2）由题意得：a+b＝7，ab＝10，
∴a2+b2+ab＝a2+b2+2ab﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝49﹣10＝39．
【能力提升】
14．（2022•潍坊三模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（　　）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【答案】D
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2022，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：D．
15．（2022秋•卧龙区期末）运用整式乘法公式计算：20202﹣2019×2021＝　　．
【答案】1
【解答】解：原式＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
故答案为：1．
16．（2021秋•科左中旗期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是　 　（用式子表示），即乘法公式中的　 　公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．

【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．
（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；
②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
17．（2021•芜湖模拟）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：13+23+33+…+n3＝？
【规律探究】观察如图表示几何图形面积的方法；
【解决问题】请用图中表示几何图形面积的方法写出13+23+33+…+n3＝　 　＝　 　（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算：23+43+63+…+（2n）3的结果为 　 　．

【解答】解：【规律探究】由题意可得13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
【解决问题】由13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2＝[]2＝，
故答案为：；
【拓展应用】由题意得23+43+63+…+（2n）3＝23×13+23×23+23×33+…+23×n3＝23×（13+23+33+…+n3）＝8×[]＝2n2（n+1）2或2n4+4n3+2n2，
故答案为：2n2（n+1）2或2n4+4n3+2n2．
18．（2021春•昌平区期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：
（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图3可以解释为等式：　 　；
（2）要拼出一个两边长为a+b，3a+b的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论．

（3）如图4，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y（x＞y）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是 　 　．（填序号）
①x+y＝m；
②2xy＝m2﹣n2；
③x2﹣y2＝mn；
④x2+y2＝m2+n2．
【解答】解：（1）图3的面积可以（a+2b）（2a+b）表示，也可以用2a2+5ab+2b2表示，因此有（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）因为（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2，所以需要a×a的3块，a×b的4块，b×b的1块，
故答案为：3，4，1．
（3）由图④可知，m＝x+y，n＝x﹣y，
因此①正确；
因为mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，因此③正确；
因为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）＝2x•2y＝4xy，所以②错误；
因＝﹣＝x2+y2，所以④错误；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
19．（2021春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是　 　．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．

【解答】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：