【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版七年级数学下册讲学案-专题02 整式化简求值（四大类型）（原卷版+解析版）

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 专题02 整式化简求值（四大类型）
专题说明


整式的化简求值中,当单个字母的值不易求出或化简后的结果与已知值的式子相关联时,需要将已知式子的值整体代入计算，是考试中必考考点。
【新方法解读】
类型一 先化简，再直接代入求值
类型二 先化简，结合几个有理数和为零再代入
类型三 先化简，再整体代入求值
类型四 先化简，再利用特殊条件带入求值

【典例分析】
【典例1】（2022秋•南关区校级期末）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣5y2
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2
＝﹣4xy．
当x＝，y＝﹣3时，
原式＝﹣4××（﹣3）＝6．
【变式1-1】（2022秋•西峡县期末）先化简，再求值：，其中x＝．
【解答】解：
＝
＝﹣x2﹣1，
当x＝时，原式＝＝．
【变式1-2】（2022秋•二道区校级期末）先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3），其中．
【解答】解：（a+1）2﹣（a+3）（a﹣3）
＝a2+2a+1﹣a2+9
＝2a+10，
当a＝时，原式＝2×+10＝15．
【变式1-3】（2022秋•二道区校级期末）先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+2）（a﹣2），其中．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣（a2﹣4）
＝a2+2a+1﹣a2+4
＝2a+5，
当a＝时，
原式＝2+5．
【典例2】（2022秋•沙坪坝区校级期末）先化简，再求值：﹣8m2n+（m﹣n）（2m+n）﹣2mn（﹣3m+4n）+8mn2，其中（m+2）2+|n﹣|＝0
【解答】解：原式＝﹣8m2n+2m2+mn﹣2mn﹣n2+6m2n﹣8mn2+8mn2
＝﹣2m2n+2m2﹣mn﹣n2，
由题意可知：m+2＝0，n﹣＝0，
∴m＝﹣2，n＝，
∴原式＝﹣4+8+1﹣＝．
【变式2-1】（2022春•靖江市校级月考）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝﹣（﹣8a3）•b6+（﹣a3b6）
＝8a3b6﹣a3b6
＝a3b6，
∵，且|a+|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣，b＝2，
∴原式＝×（﹣）3×26
＝×（﹣）×64
＝﹣37．
【变式2-2】（2022春•江都区期中）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）+4（x﹣y）2]÷（﹣x），其中|x+2|+（y﹣1）2＝0．
【解答】解：原式＝（x2﹣4y2+4x2﹣8xy+4y2）÷（﹣x）
＝（5x2﹣8xy）÷（﹣x）
＝8y﹣5x，
∵|x+2|+（y﹣1）2＝0，且|x+2|≥0，（y﹣1）2≥0，
∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣2，y＝1，
∴原式＝8×1﹣5×（﹣2）
＝8+10
＝18．
【典例3】（2022春•明溪县月考）已知x2﹣4x+1＝4，求代数式4x（x﹣3）﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
【解答】解：4x（x﹣3）﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2
＝4x2﹣12x﹣x2+y2﹣y2
＝3（x2﹣4x），
∵x2﹣4x+1＝4，
∴x2﹣4x＝3，
∴原式＝3×3＝9．
【变式3-1】（2022春•东昌府区校级月考）已知x2+x﹣2022＝0，将下式先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣（x﹣1）2．
【解答】解：∵x2+x﹣2022＝0，
∴x2+x＝2022，
∴（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣（x﹣1）2
＝4x2﹣9﹣5x2﹣4x﹣x2+2x﹣1
＝﹣2x2﹣2x﹣10
∵x2+x﹣2022＝0，
∴x2+x＝2022，
∴原式＝﹣2（x2+x）﹣10
＝﹣4054．
【变式3-2】（2022秋•卧龙区校级期末）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代数式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．
【解答】解：原式＝4a2﹣1+a2﹣10a+25
＝5a2﹣10a+24，
当a2﹣2a﹣1＝0时，
a2﹣2a＝1，
原式＝5（a2﹣2a）+24
＝5×1+24
＝5+24
＝29．
【典例4】（2021春•武侯区期末）（1）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷x，其中x＝2，y＝﹣3；
（2）已知a为常数，关于x的代数式（x2﹣3x+2）（x2+ax）的化简结果中不含x3项，且（m﹣2）2+|n﹣3|＝0，求am﹣n的值
【解答】解：（1）原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣x2+y2﹣2y2）÷x
＝（3x2﹣4xy）÷x
＝3x﹣4y，
当x＝2，y＝﹣3时，
原式＝3×2﹣4×（﹣3）＝6+12＝18；
（2）原式＝x4+ax3﹣3x3﹣3ax2+2x2+2ax
∵代数式的结果中不含x3项，
∴a﹣3＝0，
解得：a＝3，
又∵（m﹣2）2+|n﹣3|＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣3＝0，
解得：m＝2，n＝3，
∴am﹣n＝32﹣3＝3﹣1＝．
【变式4-1】（2022秋•鲤城区校级期中）已知关于x、y的代数式（2x+5y3）（2x﹣5y3）﹣（mx﹣3）2+nx的值与x的取值无关，求实数m、n的值．
【解答】解：（2x+5y3）（2x﹣5y3）﹣（mx﹣3）2+nx
＝4x2﹣25y6﹣（m2x2﹣6mx+9）+nx
＝4x2﹣25y6﹣m2x2+6mx﹣9+nx
＝（4﹣m2）x2﹣25y6+（6m+n）x﹣9，
∵关于x、y的代数式（2x+5y3）（2x﹣5y3）﹣（mx﹣3）2+nx的值与x的取值无关，
∴4﹣m2＝0，6m+n＝0，
解得：m＝±2，
当m＝2时，n＝﹣12，
当m＝﹣2时，n＝12．
【变式4-2】（2021秋•邓州市期末）（1）先化简再求值：a2﹣3（2a+3）+6a+1，其中a＝﹣1．
（2）小亮在对代数式2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+4x﹣6y+3进行化简后，发现化简的结果与字母x的取值无关，请求出代数式（a﹣b）2的值．
【解答】解：（1）a2﹣3（2a+3）+6a+1
＝a2﹣6a﹣9+6a+1
＝a2﹣8，
当a＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣8＝1﹣8＝﹣7；

（2）2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+4x﹣6y+3
＝（2﹣2b）x2+（a+4）x﹣7y+9，
∵化简的结果与字母x的取值无关，
∴2﹣2b＝0且a+4＝0，
解得：b＝1，a＝﹣4，
所以（a﹣b）2＝（﹣4﹣1）2＝25．
【夯实基础】
1．（2022春•新城区校级月考）若x2+x﹣2＝0．那么代数式（x﹣6）（x+3）﹣2x（x﹣1）的值为（　　）
A．40 B．4 C．﹣18 D．﹣20
【答案】D
【解答】解：原式＝x2+3x﹣6x﹣18﹣2x2+2x
＝﹣x2﹣x﹣18，
∵x2+x﹣2＝0，
∴x2+x＝2，
则原式＝﹣（x2+x）﹣18
＝﹣2﹣18
＝﹣20，
故选：D．
2．（2022秋•兰考县月考）如果m2﹣2m﹣3＝0，那么代数式（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】C
【解答】解：（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2
＝m2﹣9+m2﹣4m+4
＝2m2﹣4m﹣5，
∵m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
当m2﹣2m＝3时，原式＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1，
故选：C．
3．（2022春•沙坪坝区校级期中）如果m2﹣2m﹣4＝0，那么代数式（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】D
【解答】解：∵m2﹣2m﹣4＝0，
∴m2﹣2m＝4，
原式＝m2﹣9+m2﹣4m+4
＝2m2﹣4m﹣5
＝2（m2﹣2m）﹣5
＝8﹣5
＝3．
故选：D．
4．（2021秋•潜江期末）如果m2﹣m＝2，那么代数式m（m+2）+（m﹣2）2的值为（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：原式＝m2+2m+m2﹣4m+4
＝2m2﹣2m+4，
∵m2﹣m＝2，
∴原式＝2（m2﹣m）+4
＝2×2+4
＝4+4
＝8，
故选：D．
5．（2022秋•北京期末）已知5m2+4m﹣1＝0，则代数式（2m+1）2+（m+3）（m﹣3）的值为 　 　．
【答案】﹣7
【解答】解：原式＝4m2+4m+1+m2﹣9
＝5m2+4m﹣8，
∵5m2+4m﹣1＝0，
∴5m2+4m＝1，
∴原式＝1﹣8
＝﹣7．
故答案为：﹣7
6．（2022春•高州市期中）化简：（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）．
（1）若x是任意整数，请观察化简后的结果，它能被3整除吗？
（2）当（x+1）2+|y﹣2|＝0时，求代数式的值．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝﹣3x2+3xy，
∵化简后的结果为﹣3x2+3xy＝﹣3（x﹣y），
若x是任意整数，则结果是3的倍数，
即能被3整除；
（2）∵（x+1）2+|y﹣2|＝0，
∴x+1＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴原式＝﹣3×（﹣1）2+3×（﹣1）×2
＝﹣3﹣6
＝﹣9．
7．（2022春•鼓楼区期末）先化简，再求值：（x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）+3x（x+y），其中|x+3|+（y﹣2）2＝0．
【解答】解：原式＝x2﹣2xy+y2﹣（4x2﹣y2）+3x2+3xy
＝x2﹣2xy+y2﹣4x2+y2+3x2+3xy
＝xy+2y2，
∵|x+3|+（y﹣2）2＝0，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴原式＝﹣3×2+2×22＝2．
8．（2022秋•北京期末）已知：x2﹣2x﹣2＝0，求代数式的（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+3）值．
【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣x2﹣2x+3
＝3x2﹣6x+4，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
∴原式＝3（x2﹣2x）+4
＝3×2+4
＝10．
9．（2022秋•安顺期末）先化简，再求值
已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．
（1）求a、b的值；
（2）求（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）的值．
【解答】解：（1）（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b
＝2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b
＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b），
∵代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．，
∴2a﹣1＝0，﹣12﹣b＝0，
∴a＝，b＝﹣12；

（2）∵a＝，b＝﹣12，
∴（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）
＝a2﹣b2+a2+2ab+b2﹣2a2﹣ab
＝ab
＝×（﹣12）
＝﹣6．
10．（2019秋•锡山区期中）若代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，求代数式的值．
【解答】解：（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）
＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7
∴2﹣2b＝0，b＝1
∵a+3＝0，a＝﹣3
∴3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（2a2﹣5ab+2b2）＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣3a2+ab﹣3b2＝ab﹣6b2＝﹣﹣6＝﹣．
11．（2021春•招远市期中）（1）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y），其中x＝﹣3，y＝．
（2）说明代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y）
＝4x2+4xy+y2﹣（x2﹣4y2）﹣（3x2﹣15xy﹣xy+5y2）
＝4x2+4xy+y2﹣x2+4y2﹣3x2+15xy+xy﹣5y2
＝20xy，
当x＝﹣3，y＝时，原式＝20×（﹣3）×＝﹣12；
（2）[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y
＝[x2﹣2xy+y2﹣（x2﹣y2）]÷（﹣2y）+y
＝（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+y
＝（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）+y
＝x﹣y+y
＝x，
因此，代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．