山西省太原市2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

山西省太原市2022-2023学年高三第一次模拟考试

数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．若，则的虚部为（    ）

A．-2 B．2 C．-2 D．2

2．设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知均为非零向量，下列命题正确的是（    ）

A． B．可能成立

C．若，则 D．若，则

4．若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

5．在中，内角的对边分别为，且，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．某社区服务站将5名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有（    ）

A．60种 B．90种 C．150种 D．300种

7．已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．

D．

8．直线的倾斜角的范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．函数的单调增区间为（    ）

A． B．

C．， D．

10．已知圆内一点，则过P点的最短弦所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，，若，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．展开式中的常数项为______（用数字作答）．

14．若双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C的标准方程为______．

15．在三棱柱中，平面，，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为______.

16．已知函数，给出下列四个命题：①的图象关于轴对称；②8为的一个周期；③当时，；④在上单调递增.其中真命题有___________（填序号）.

三、解答题

17．已知数列满足

（1）求的值，猜想数列的通项公式不需要证明).

（2）令，求数列前项的和

18．某化学实验课老师在学期末要对所教学生进行一次化学实验考核，每个学生需要独立完成该实验考核．根据以往数据，在五名学生中，三人能独立完成实验的概率均为，两人能独立完成实验的概率均为．

(1)若，求这五名学生中恰有四名学生通过实验考核的概率；

(2)设这五名学生中通过实验考核的人数为随机变量，若的数学期望，求的取值范围．

19．如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，，形成的多面体如图2所示．

(1)证明：．

(2)若，M是线段上的一个动点（M与C，G不重合），试问四棱锥与的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值．若不是，请说明理由，

20．设A，B为抛物线上两点，且线段AB的中点在直线上.

（1）求直线AB的斜率；

（2）设直线与抛物线交于点M，记直线MA，MB的斜率分别为，当直线AB经过抛物线的焦点F时，求的值.

21．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，证明：

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为.与，分别交于A，B两点（异于点）.

(1)求的极坐标方程；

(2)已知点，求的面积.

23．（1）已知，．且，求的最小值；

（2）已知x，y是正实数，且，求最小值．

参考答案

1．D

【分析】根据复数的运算法则得到，求得，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由，可得，即，

所以，所以复数的虚部为.

故选：D.

2．C

【解析】由图可知，可知阴影部分的集合为．再求即得解.

【详解】由图可知，阴影部分的元素由属于，但不属于的元素构成，

结合集合的运算可知阴影部分的集合为．

或，

，又

，

故选：C

【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．B

【分析】利用数量积的结果为数量可判断A；举例，可判断B；举例，，，可判断C；利用向量的模长与向量方向的关系，可判断D.

【详解】仍是向量，不是向量，A错误．

若，则，B正确．

若，，，则，但，C错误．

若，但是却无法保证向量的方向相同，则D错误．

故选：B

4．B

【解析】由三视图还原原几何体是正三棱柱，易知正三棱柱上下底面中心连线的中点是其外接球球心，求出球半径可得表面积．

【详解】由三视图知原几何体是正三棱柱，如图正三棱柱，分别是上下底面中心，则的中点是三棱柱外接球球心．

由三视图知，，则，

所以外接琺表面积为．

故选：B．

5．B

【分析】由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出，再由已知可求出，即可求出面积.

【详解】因为，由正弦定理得，

即，所以，

又，所以又，则，

由，得

所以.

故选：B.

6．C

【分析】先分类，分到3个社区的志愿者人数分别为3,1,1或2,2,1，再求出两种情况下的不同分配方案.

【详解】若3个社区的志愿者人数分别为3，1，1，此时不同的分配方案有种，

若3个社区的志愿者人数分别为2，2，1，此时不同的分配方案有种，

∴不同的分配方案共有种

故选：C.

7．C

【分析】由条件可得，由此证明关于对称，再结合图象变换判断A，再证明函数为偶函数由此判断B，由条件证明为偶函数，由此证明为周期函数，结合周期性求，举反例判断C.

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以函数为奇函数，

所以函数的图象关于点对称，

所以关于对称，

又，

所以函数的图象关于点对称，A正确；

因为函数的图象关于点对称，

所以的图象关于原点对称，

所以，

所以，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，

所以函数的图象关于直线对称，B正确；

因为是奇函数，所以，

所以，即

又，

所以，

所以函数为周期函数，周期为4，

所以，

又，所以，

所以，故，D正确；

设，则，，

满足所给条件，但，所以C错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分利用函数的奇偶性的定义，结合条件判断相关函数的奇偶性，再结合奇函数和偶函数的性质判断相关结论.

8．B

【分析】将直线方程化为斜截式得到斜率，从而可以求出的取值范围，进而得到倾斜角的范围.

【详解】将直线方程化为斜截式：，

故直线的斜率，

，，

所以直线的倾斜角范围为.

故选：B.

9．C

【分析】利用三角恒等变换得到，再计算单调区间得到答案.

【详解】，

取，，解得，.

故选：C.

10．D

【分析】由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，求出即得解.

【详解】解：由题得圆的圆心坐标为，

由圆的几何性质得，过点P点的最短弦所在的直线与垂直，

由题得,所以直线的斜率为 .

所以过P点的最短弦所在的直线方程是 即.

故选：D

11．D

【分析】由题意令，易得，令，应用导数研究单调性，进而求其最大值即可.

【详解】由题意，令，

∴，，则，

令，则，而，

∴当时，，即单调增；当时，，即单调减，

∴当时，.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：令用t表示m、n，构造，利用导数求最值.

12．D

【分析】画出函数的大致图象，令，方程有5个不同的实数解，转化为根的分布问题，分情况讨论即可.

【详解】函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，

令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.

当在，上各有一个实数解时，设，则解得；

当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；

当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

故选：D.

13．60

【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得结果.

【详解】，

令，得，故展开式中的常数项为．

故答案为：60.

14．

【分析】根据双曲线的定义可求得，再根据离心率求得，再根据的关系求得，即可得解.

【详解】解：因为双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，

所以，则，

又，所以，

所以，

所以双曲线C的标准方程为.

故答案为：.

15．

【分析】由题意画出图形，求出其外接球的半径，然后分别求出多面体的体积及其外接球的体积，即得答案．

【详解】如图，，分别为三棱柱上、下底面的中心，为的中点，

连接，，则为三棱柱外接球的球心，为外接球的半径，

在直角三角形中，求得，．

，

．

又．

．

故答案为：

【点睛】本题主要考查几何体体积的计算，考查几何体的外接球问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16．①②③

【分析】对进行恒等变换得，①由函数的奇偶性判断；②由周期的定义判断；③利用辅助角公式，再讨论函数的值域；④由函数的单调性判断

【详解】.

对①，易得为偶函数，①正确；

对②，，②正确；

对③，当时，，，，

，，，③正确；

对④，由③的分析可得在上单调递减，④不正确.

故答案为：①②③

17．（1），猜想；（2）.

【分析】（1）根据递推关系代入即可得解，根据特征猜想公式；

（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）解，

猜想

（2）由（1）

……..①

……..②，由①-②得

，

所以

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据独立事件概率公式直接求解即可；

（2）首先确定所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，由数学期望公式可求得，由可解不等式求得结果.

【详解】（1）设“这五名学生中恰有四名学生通过实验考核”为事件，

则.

（2）由题意知：的可能取值为，

则，

，

，

，

，

，

，

解得：，又，的取值范围为.

19．(1)证明见解析；

(2)是定值，定值为24．

【分析】（1）作，垂足为，连接，证明平面可得结论成立；

（2）类似点的形成得出点，平面与与平面和平面都垂直，过作交线的垂线，得其为平面的垂线，在中证明为定值，然后由棱锥体积公式计算可得．

【详解】（1）作，垂足为，连接，

因为，，，所以，

所以，即，

，平面，所以平面，

又平面，所以；

（2）实际上是由原正六边形中对角线折叠过来的，同理原正六边形中对角线折叠之后形成，如图，同理有平面，

又在平面和平面上，所以平面与平面和平面都垂直，

平面与平面和平面的交线分别是，

因此在平面内过作，作，分别是垂足，

则平面，平面，

因为正六边形的边长为4，所以，又，所以，所以，即是等腰直角三角形，

则，都是等腰直角三角形，是矩形，

，，所以，

，，

．

20．（1）1；（2）4.

【分析】（1）设，，代入抛物线方程得到，，再由线段的中点在直线上，得出，代入斜率公式求解即可；

（2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，得出，用韦达定理，代入 求解即可.

【详解】（1）设，，因为在抛物线上，且的中点在直线上，则，，，

所以直线的斜率；

（2）∵直线经过抛物线的焦点，∴直线的方程为

由消去得，

由韦达定理，，

∵直线与抛物线交于点，

∴点的坐标为，

∴，，

∴.

【点睛】方法点睛：

1、求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定理。

2、定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的。

21．（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导函数，，再分时，时，时三种情况讨论到函数的符号，从而可得出答案；

（2），要证，即证，设，根据函数的单调性求出函数的最值，即可得证.

【详解】解：（1），，

令，

当即时，，在上单调递增；

当即或时，

①当时，，.在上单调递增；

②当时，令，，

综上：当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，

在上单调递减.

（2）由（1）知时有两个极值点，，且，，

不妨设，

，

要证，即证，

即即证，

设，由（1）知当时，在上单调递增，，则在上单调递减，

.原式得证.

22．(1)；

(2).

【分析】（1）利用同角的三角函数关系式，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可；

（2）利用代入法，结合三角形面积公式进行求解即可.

(1)

曲线的普通方程为，

因为，，

所以的极坐标方程为；

(2)

因为直线与，分别交于A，B两点，

所以将代入得，

将代入得，

则.

且点到直线l的距离，

所以的面积.

23．4；.

【分析】（1）根据，结合基本不等式即可求得最小值；

（2）由可得，利用“1”的代换结合基本不等式即可求得最小值.

【详解】（1）因为，．且，

则

，

当且仅当，

即，或，时取等号.

即的最小值为.

（2）因为，所以，

，

当且仅当，即时取等号.

即的最小值为.

故答案为：4；.