2022-2023学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是(    )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2. 某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：

第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是(    )
A. 0.58 B. 0.61 C. 0.62 D. 0.627
3. 已知直线a与平面α满足a/​/α，直线b⊂α，下列结论正确的是(    )
A. a与b无公点 B. a与b异面 C. a/​/b D. a⊥b
4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面向上”，事件B=“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是(    )
A. A⊆B B. A=B C. 相互独立 D. 互斥
5. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是A1C1的中点，则异面直线AO与BC1的夹角为(    )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6. 已知数据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为5和4，则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的平均数和方差分别为(    )
A. 9，8 B. 9，16 C. 19，15 D. 20，16
7. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器分类的方法，最早见于《周礼⋅春宫⋅大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，则这“两音”同为打击乐器的概率为(    )
A. 15 B. 310 C. 25 D. 35
8. 四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据下列四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(    )
A. 平均数为2，方差为4 B. 平均数为3，众数为2
C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为0.16
二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(    )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
10. 已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是(    )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α/​/β
B. 若m⊥α，m⊥β，则α/​/β
C. 若m/​/α，n/​/β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
11. 下列结论正确是(    )
A. 已知一次试验事件A发生的概率为0.9，则重复做10次试验，事件A可能一次也没发生
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现偶数点”，B=“出现1点或2点”，则事件A与B相互独立
C. 小明在上学的路上要经过4个路口，假设每个路口是否遇到红灯相互独立，且每个路口遇到红灯的概率都是23，则小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为23
D. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，若A与B不独立，则P(A∪B)≠P(A)+P(B)
12. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是线段PB的中点，F是线段BC上的动点，则以下结论正确的是(    )


A. 平面AEF⊥平面PAB
B. 直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为 2
C. 二面角B−AE−F余弦值的最小值为 33
D. 线段BC上不存在点F，使得PD/​/平面AEF

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第1列和第2列的数字开始，由左到右依次选取两个数字(作为个体的编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，继续向右选取两个数字，那么选出来的第4个个体的编号为______ ．
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481

14. 向一个目标射击两次，用y表示“命中目标”，n表示“没有命中目标”，则该试验的样本空间W= ______ ；若每次命中目标的概率都为0.6，且每次射击结果互不影响，则事件“恰有一次命中目标”的概率为______ ．
15. 某校高一年级的学生有300人，其中男生180人，女生120人.为了解该校高一年级学生的身高信息，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得男生样本的平均数为x−=170(单位：cm)，方差为s12=14，女生样本的平均数为y−=160(单位：cm)，方差为s22=24，根据上述数据，估计该校高一年级学生身高的平均数为______ ；方差为______ ．
16. 在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=2，三棱锥P−ABC外接球的表面积为16π，则二面角P−BC−A正切值的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
甲、乙两台机床同时生产某种零件，科研部门随机抽取了它们10天中生产的产品，统计其每天生产的次品数分别为：
甲
0
2
1
0
3
0
2
1
2
4
乙
2
1
1
2
1
0
2
1
3
2
(1)计算这10天中甲、乙机床次品数的平均数和方差；
(2)从计算结果看，哪台机床的性能更好？
18. (本小题10.0分)
已知甲袋中装有3个红球、2个白球，乙袋中装有2个红球、4个白球，这些球除颜色外没有其它差异，现从甲、乙两袋中各随机抽取一球．
(1)求所抽取的两球都是红球的概率；
(2)求所抽取的两球至少有一个红球的概率．
19. (本小题10.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=AB，D，E分别是AB1，A1C的中点．
(1)求证：DE/​/平面ABC；
(2)求证：AB1⊥A1C.

20. (本小题10.0分)
2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查.已知该市这样的社区有240个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．
(1)根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第75%分位数；
(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数；
(3)市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．

21. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=6，将△BCD沿直线BD折起至△PBD，点E在线段AB上．
(1)若PE⊥平面ABD，求BE的长；
(2)过点P作平面ABD的垂线，垂足为O，在△BCD折起过程中，点O在△ABD内部(包含边界)，求直线AB与平面PBD所成角正弦值的取值范围．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度．
故选：D．
利用数字特征的含义求解即可．
本题主要考查了平均数、中位数和众数的定义，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适，即0.61．
故选：B．
利用频率和概率的关系求解即可．
本题考查概率的应用，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：因为a/​/α，所以直线a与面α无交点，又因为直线b⊂α，所以直线a，b无交点．
故选：A．
由题意可知直线a与面α无交点，进而可得a，b无交点．
本题考查线面的位置关系，判断线线的位置关系，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：A={正正，正反}，B={正反，反反}，
故A不是B的子集，故A错误；
事件A=“第一枚硬币正面向上”，事件B=“第二枚硬币反面向上”，
则A≠B，B错误；
P(AB)=14，P(A)=P(B)=12，则P(AB)=P(A)P(B)，
故A与B为相互独立事件，故C正确；
AB可以同时发生，A与B不为互斥事件，故D错误．
故选：C．
根据已知条件，结合互斥事件，相互独立事件的定义，即可依次求解．
本题主要考查互斥事件，相互独立事件的定义，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：连接AD1，D1O，
 
因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB/​/C1D1，AB=C1D，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1/​/BC1，
所以∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角，
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则AD1=2 2，D1O= 2，AO= A1A2+A1O2= 6，
故AD12=D1O2+AO2，即D1O⊥AO，则0°s22，∴s1>s2，C错误．
D选项，x6>x5，x2>x1，∴x6−x1>x5−x2，D正确．
故选：BD．
根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．

10.【答案】BD 
【解析】解：若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则当m与n相交时，α/​/β，否则，α与β不一定平行，故A错误；
若m⊥α，m⊥β，则α/​/β，故B正确；
若m/​/α，n/​/β，α⊥β，则m与n的位置关系有三种：平行、相交或异面，故C错误；
若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m//β，又n⊥β，∴m⊥n，故D正确．
故选：BD．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

11.【答案】AB 
【解析】解：对于选项A：对于重复做10次试验，事件A发生的次数为0，1，2，…10，
所以可能一次也没发生，故A正确；
对于选项B：事件A=“出现偶数点”，B=“出现2点或4点或6点”，事件AB=“出现2点”，
可得P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16，
因为P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与B相互独立，故B正确；
对于选项C：小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为(1−23)×(1−23)×23=227，故C错误；
对于选项D：因为P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，
若A与B互斥(满足A与B不独立)，则P(AB)=0，
此时P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D错误．
故选：AB．
根据随机事件的概率，结合独立事件和互斥事件逐项分析判断．
本题考查概率的应用，属于中档题．

12.【答案】ABC 
【解析】解：对于A，因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC．
因为ABCD为正方形，
所以AB⊥BC，
又PA⋂AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
因为AE⊂平面PAB，
所以AE⊥BC．
因为PA=AB，E为线段PB的中点，
所以AE⊥PB，
又因为PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC．
又因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，故A正确；
对于B，由选项A可知BC⊥平面PAB，
所以∠FEB为直线EF与平面PAB所成角，则0