2023年四川省内江市威远中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省内江市威远中学中考数学一模试卷

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下面的图形是用数学家的名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 费马螺线

4.  科学家在实验中检测出新型冠状病毒直径约为米．将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列调查适合做抽样调查的是(    )

A. 对校园的卫生死角进行调查
B. 对全国中学生目前的视力状况进行调查
C. 对九班学生观看冬奥会比赛时间进行调查
D. 审核中考学生作文的错别字

7.  如图是某个几何体的展开图，该几何体是(    )

A. 三棱锥
B. 三棱柱
C. 圆柱
D. 圆锥

8.  在我校“英语课本剧”表演比赛中，初二年级的名学生参赛成绩统计如图所示．对于这名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是(    )

A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

9.  如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若关于的分式方程的解为负数，且关于的一元一次不等式组无解，则满足条件的整数的值之和是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，从一个边长为的正六边形铁皮上剪出一个扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点、、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

13.  分解因式：______．

14.  函数的自变量的取值范围是______ ．

15.  一个圆锥高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为______．

16.  如图．反比例函数的图象经过，两点．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接连接交于点，若，四边形的面积为则的值为______．

17.  计算：
 

18.  如图，是平行四边形的一条对角线，是的中点，连接并延长交的延长线于．
求证：．
当时，求证：四边形是矩形．

19.  为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成图的条形统计图和图的扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
求参加比赛的学生共有多少名？并补全图的条形统计图．
在图扇形统计图中，的值为______，表示“等级”的扇形的圆心角为______度；
组委会决定从本次比赛获得等级的学生中，选出名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知等级学生中男生有名，请用列表法或画树状图法求出所选名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

 

20.  如图所示，某人通过定滑轮拉动静止在水平面上的箱子，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角为，拉动一段距离后，绳与水平面间的夹角为，绳子的自由端竖直向下移动了米，求箱子移动的距离．绳子伸缩不计参考数据：，，
 

21.  为预防流感，某学校对教室进行“熏药消毒”已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量与时间之间的关系如图所示即图中线段和双曲线在点及其右侧的部分，根据图象所示信息，解答下列问题：
写出从药物释放开始，与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
据测定，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

22.  已知，则______．

23.  若二次函数均为常数，的图象与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是______．

24.  如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为______ ．

25.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去则点的横坐标为______．

26.  已知平面直角坐标系中，点和直线其中，不全为，则点到直线的距离可用公式来计算．
例如：求点到直线的距离，因为直线可化为，其中，，，所以点到直线的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
求点到直线的距离；
在的条件下，的半径，判断与直线的位置关系，若相交，设其弦长为，求的值；若不相交，说明理由．

27.  如图，已知是的外接圆，于点，交于点，连接、，的角平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、．
判断与的位置关系并说明理由；
求证：；
若的半径为，，求阴影部分的面积．

28.  综合与探究
如图，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点，，与轴的另一交点为，顶点为．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
连接，，求点到的距离；
为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故的相反数是：．
故选：．
直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、整式的乘法运算即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则、整式的乘法运算，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，由题意得，，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，则．
本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：对校园的卫生死角进行调查，适合做全面调查，故本选项不合题意；
B.对全国中学生目前的视力状况进行调查，适合做抽样调查，故本选项符合题意；
C.对九班学生观看冬奥会比赛时间进行调查，适合做全面调查，故本选项不合题意；
D.审核中考学生作文的错别字，适合做全面调查，故本选项不合题意．
故选：．
根据全面调查和抽样调查的概念判断即可．
本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．其二，调查过程带有破坏性．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
 

7.【答案】 

【解析】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：．
通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
众数是；
故A正确；
平均数是；
故B错误；
共有个数，
中位数是第、个数的平均数，
中位数是；
故C错误；
方差为，
故D错误．
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，
为的切线，是的直径，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
故选：．
利用垂径定理的推论和圆的切线的性质定理可以得到，利用圆周角定理可得，利用已知条件可求得的度数，最后利用平行线的性质即可求得结论．
本题主要考查了切线的性质定理，圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的分式方程可化为，即，
解得，，
由于是分式方程的增根，
是方程的根，即，
，
又分式方程的解为负数，即，
，
即，且，
由于无解，即无解，

，
，且，
满足条件的整数的值之和是，
故选：．
根据分式方程的解为负数以及分式方程的增根可得出，且，由不等式组无解可得出，进而确定的取值范围，再求满足条件的整数的和即可．
本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解以及求解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法以及分式方程的增根是正确解答的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：正六边形的边长为，
，，
，
，，
，
，
弧的长为，
设圆锥的底面半径为，
则，
即，
故选：．
根据正六边形的性质可求出，，进而求出阴影部分扇形的半径和圆心角的度数，利用弧长公式求出弧的长，再根据圆的周长公式求出底面半径．
本题考查正六边形，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：在上，在直线上，
，，
；
同理：，，
；
，，
；
，
．





．
故选：．
利用解析式求得，，，，，进而求得线段，，，将所求结果代入算式，利用题干中的方法解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，数字变化的规律，利用题干中的规律解答是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

15.【答案】 

【解析】解：这个圆锥的底面圆的半径，
所以这个圆锥的侧面积．
故答案为：．
先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】 

【解析】解：轴，轴，
，
∽，
，
，
，
四边形的面积为，
的面积为，
点在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
先证明∽，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和，可知的面积为，由于反比例函数图象特征可知的值．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
；
，
是等腰三角形，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，进一步可得，可证≌，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证；
根据等腰三角形的性质可得，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】根据题意得：人，
参赛学生共人，
则等级人数为人．
补全条形图如下：

   
列表如下：

所有等可能的结果有种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有种，
则恰好是一名男生和一名女生． 

【解析】

【分析】
此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，由各等级人数之和等于总人数求出等级人数可补全条形图；
根据等级的人数求得等级扇形圆心角的度数，由等级人数及总人数可求得的值；
列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】
解：见答案；
等级的百分比为，即，
表示“等级”的扇形的圆心角为，
故答案为，．
见答案．  

20.【答案】解：由题意得：比长米，
设米，则米，
在中，，
则米，
同理可得，米，
，
解得：，
米，
米，米，
米，
答：箱子移动约米． 

【解析】根据正弦的定义用表示出，列出方程，解方程求出，再根据正切的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：设反比例函数解析式为．
把代入得，，
，
反比例函数的解析式为．
将代入得，
，
．
设正比例函数解析式为．
把代入得，，
，
正比例函数的解析式为．
综上所述，从药物释放开始，与之间的函数关系式为．
令，
．
令，
．
．
答：从消毒开始，至少在内，师生不能进入教室． 

【解析】时，反比例函数的函数值为观察函数图象，可知点的纵坐标是线段过原点，它的图象是正比例函数图象的一部分；
当函数图象在直线及其上方时，药物对人体有害．
本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法求函数的解析式是解决此题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
．
．
．
．
，
．
故答案为．
先求已知的倒数等于，化简后两边平方得，再把所求式子的倒数求出结果为，最终结果算出．
考查分式值的计算，解题的关键是先求倒数．
 

23.【答案】， 

【解析】解：抛物线是由抛物线向左平移个单位所得，
抛物线与轴交点坐标为，，
方程的解是：，．
故答案为：，．
由抛物线是由抛物线向左平移个单位所得，从而可得平移后抛物线与轴交点坐标，进而求解．
本题考查抛物线与轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象平移规律．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，
点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，

，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故答案为．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、
直线的关系式为，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得、、都是等腰直角三角形，
设，则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得，
点的横坐标为，
设，则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得，
点的横坐标为；
设，则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得，
点的横坐标为；
同理可得点的横坐标为；
点的横坐标为；
点的横坐标为；

点的横坐标为；
故答案为：．
根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为，同理，则点，求出点的横坐标为，
同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案．
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提．
 

26.【答案】解：可变形为，则其中，，，
由公式得，点到直线的距离，
点到直线的距离为；

如图，

由可知：圆心到直线的距离，
圆的半径，
，
直线与相交，两交点记作，，
连接，过点作于，
则，
在中，，，根据勾股定理得，，
弦长． 

【解析】此题时一次函数综合题，主要考查了新定义，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，理解和运用新定义是解本题的关键．
直接利用新定义点到直线的距离公式求解，即可得出结论；
利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断出直线与相切，再利用垂径定理得出，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
 

27.【答案】解：相切，理由如下：
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线，
即与的位置关系为相切；
证明：如图，连接，

，
，
，
是的平分线，
，
，，
，
；
解：如图，连接，，过点作于，

四边形为矩形，
，
的半径为，即，
，
，
四边形是平行四边形，
，为的半径，
，
四边形为菱形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
又，
为等边三角形，，，
，
在中，，
在中，，



． 

【解析】利用平行线的性质得，即可说明是的切线；
连接，由垂径定理知，得，再利用三角形外角的性质可得，即可证明结论；
连接，，过点作于，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得四边形为菱形，则为等边三角形，则，代入计算即可．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，扇形面积等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
 

28.【答案】解：直线与轴，轴分别交于，两点，
令，，即点；
令，则，
解得，即点，
将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
，
顶点
过点作与直线交于点，

当时，，点，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
又，
．
如图，

设存在，过作，设，
，，
由与相似，
，
，
解得，，
由抛物线的对称性得另一种情况，
如图，当点为时，与相似，不变．
或． 

【解析】求出直线与轴，轴的交点代入即可求抛物线的解析式及顶点的坐标；
过点作与直线交于点，求出的长用分割法求出的面积，再求出从而求得到的距离；
为等腰直角三角形，为等腰直角三角形求出的坐标．
此题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，利用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积及利用相似三角形求边的关系从而求出坐标，熟练利用相关知识是解决本题的关键．