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2023年四川省内江市市中区全安中学中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年四川省内江市市中区全安中学中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，B卷等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省内江市市中区全安中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（3分）可燃冰学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×1011吨 B．1000×108吨 C．10×1010吨 D．1×103吨
3．（3分）下列几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．任意一个六边形的外角和等于720°
C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同
D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．a4•a5＝a20 B．a2+2a3＝2a5
C．a4÷a＝a3 D．（﹣a2b3）2＝a4b9
7．（3分）函数y＝的自变量的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞0 D．x＞﹣1且x≠0
8．（3分）一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．（3分）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．4＜a≤5 B．8＜a≤10 C．8≤a＜10 D．a≤8或a＞10
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝ ．
14．（5分）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
15．（5分）已知2x+y＝10xy，则代数式的值为 ．
16．（5分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
18．（9分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：AE＝AD．
19．（9分）为了贯彻“减负增效”精神，某校掌握2022～2023学年度九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了2022～2023学年度九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有 人；
（2）图2中α是 度，并将图1补充完整；
（3）请估算该校2022～2023学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）中随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或画树状图的方法求出选中小亮的概率．
20．（9分）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）
21．（10分）如图，正比例函数y1＝kx与反比例函数y＝（x＞0）交于点A（2，3），AB⊥x轴于点B，平移直线y1＝kx使其经过点B，得到直线y2，y2与y轴交于点C，与y＝交于点D．
（1）求正比例函数y1＝kx及反比例函数y＝的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）求△ACD的面积．
四、B卷（共60分）填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）已知b＝﹣1，则ab＝ ．
23．（6分）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是 ．
24．（6分）已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，延长NF交DC于点H，当EF⊥AD时，的值为 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价与去年同期相比降价500元，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元．
（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
27．（12分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若tan∠F＝，求cos∠ACB的值．
28．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2023年四川省内江市市中区全安中学中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【解答】解：﹣的绝对值为．
故选：C．
2．（3分）可燃冰学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×1011吨 B．1000×108吨 C．10×1010吨 D．1×103吨
【解答】解：将1000亿用科学记数法可表示为1×1011．
故选：A．
3．（3分）下列几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、圆锥的主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、圆柱的主视图为矩形，故本选项符合题意；
C、三棱柱的主视图为矩形中间有1条竖线，故本选项不符合题意；
D、球的主视图为圆，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．任意一个六边形的外角和等于720°
C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同
D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；
B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；
C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件；
D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件；
故选：D．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．a4•a5＝a20 B．a2+2a3＝2a5
C．a4÷a＝a3 D．（﹣a2b3）2＝a4b9
【解答】解：A、a4•a5＝a9，故选项A不符合题意；
B、a2与2a3不是同类项，不能合并成一项，故选项B不符合题意；
C、a4÷a＝a3，故选项C符合题意；
D、（﹣a2b3）2＝a4b6，故选项D不符合题意．
故选：C．
7．（3分）函数y＝的自变量的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞0 D．x＞﹣1且x≠0
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：x+1≥0，
∴x≥﹣1，
根据分式有意义的条件得：x≠0，
∴自变量的取值范围为x≥﹣1且x≠0，
故选：B．
8．（3分）一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
当三角形的三边为5，2，2时，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；
故选：C．
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝110°，
∴∠A＝70°，
∵∠BOD＝2∠A＝140°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD＝180°，
∴∠OBD＝20°，
故选：B．
11．（3分）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．4＜a≤5 B．8＜a≤10 C．8≤a＜10 D．a≤8或a＞10
【解答】解：，
解①得：x≥2，
解②得：x＜，
故不等式组的解集为：2≤x＜，
∵关于x的不等式组恰有三个整数解，
∴4＜≤5，
解得：8＜a≤10．
故选：B．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以（1）正确；
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，
∴b＝﹣4a，
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，
∵a＜0，
∴4a+c﹣2b＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）不正确；
∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；
∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣﹣2|＝，|﹣2|＝，
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；
当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝ 3（x﹣2y）2 ．
【解答】解：3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2．
故答案为：3（x﹣2y）2．
14．（5分）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、菱形，概率是；
故答案为：．
15．（5分）已知2x+y＝10xy，则代数式的值为 ．
【解答】解：∵2x+y＝10xy，
∴＝＝＝，
故答案为：．
16．（5分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝ 2 ．
【解答】解：设E（a，），
∵BE＝4CE，
∴B（5a，），
∵四边形ODBE的面积＝S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△AOD，
∴5a•﹣k﹣k＝8，解得k＝2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
【解答】解：
＝2+4﹣4×+1
＝2+4﹣2+1
＝5．
18．（9分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：AE＝AD．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形；
（2）连接BE
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°
∵DC＝EF，
∴EB＝DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE＝AD．
19．（9分）为了贯彻“减负增效”精神，某校掌握2022～2023学年度九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了2022～2023学年度九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有 40 人；
（2）图2中α是 54 度，并将图1补充完整；
（3）请估算该校2022～2023学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的有 330 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）中随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或画树状图的方法求出选中小亮的概率．
【解答】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）×360°＝54°，
40×35%＝14（人）；
补充图形如图：
故答案为：54；
（3）600×＝330（人），
故答案为：330；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，
∴P（A）＝＝．
20．（9分）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，
由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
21．（10分）如图，正比例函数y1＝kx与反比例函数y＝（x＞0）交于点A（2，3），AB⊥x轴于点B，平移直线y1＝kx使其经过点B，得到直线y2，y2与y轴交于点C，与y＝交于点D．
（1）求正比例函数y1＝kx及反比例函数y＝的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）求△ACD的面积．
【解答】解：（1）将点A（2，3）分别代入y1＝kx、得3＝2k、，
解得k＝，m＝6，
∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y1＝x、；
（2）∵y2由y1平移得到，所以设y2＝x+b，
∵AB⊥x轴，∴B（2，0），将其代入y2＝x+b得b＝﹣3，
∴y2＝x﹣3，
由题意得：解得：，（舍去），
∴点D坐标为（，）；
（3）连接OD，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，则DE＝1+，
把x＝0代入y2＝x﹣3得，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）
∵直线y1∥y2，
∴S△ACD＝S△OCD＝OC•DE＝×3×（）＝．
答：△ACD的面积为．
四、B卷（共60分）填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）已知b＝﹣1，则ab＝ ．
【解答】解：由题意得：3a﹣12≥0，8﹣2a≥0
解得：a≥4，a≤4
∴a＝4
∴b＝﹣1
∴ab＝4﹣1＝
故答案为：
23．（6分）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是 （2023，2） ．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……，
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝4×505......3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故答案为：（2023，2）．
24．（6分）已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是 14
【解答】解：，
①×2+②，得x+y＝5，则y＝5﹣x③，
①+2×②，得x+z＝4，则z＝4﹣x④，
把③④代入x2+y2+z2得，
x2+（5﹣x）2+（4﹣x）2
＝3x2﹣18x+41
＝3（x﹣3）2+14，
∴x2+y2+z2的最小值是14，
故答案为14．
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，延长NF交DC于点H，当EF⊥AD时，的值为 ．
【解答】解：如图，由翻折不变性可知：∠A＝∠E，
∴tanA＝tanE＝＝，
∴可以假设：DM＝4k，DE＝3k，则EM＝5k，AD＝EF＝CD＝9k．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠DFH+∠EFN＝180°，∠B＝∠EFN，
∴∠A＝∠DFH，
∵EF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴∠A+∠HDF＝90°，
∴∠HDF+∠DFH＝90°，
∴tan∠DFH＝tanA＝＝，设FH＝3x，则DH＝4x
在Rt△DHF中，DF＝EF﹣DE＝6k，根据勾股定理得，DH2+FH2＝DF2，
∴16x2+9x2＝36k2，
∴x＝k
∴DH＝k，
∴CH＝9k﹣k＝k，
∴＝＝．
故答案为．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价与去年同期相比降价500元，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元．
（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，
，
解得，x＝2500，
经检验，x＝2500是原分式方程的解，
答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元；
（2）设电器城购进A种型号的彩电a台，
，
解得，≤a≤10，
∵a为整数，
∴a＝7，8，9，10，
即共有4种进货方案，
方案一：购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台，
方案二：购进A种型号的彩电8台，B种型号彩电12台，
方案三：购进A种型号的彩电9台，B种型号彩电11台，
方案四：购进A种型号的彩电10台，B种型号彩电10台；
（3）设获得利润为w元，
w＝（2500﹣500﹣1800）a+（1800﹣1500）（20﹣a）＝﹣100a+6000，
∵a＝7，8，9，10，
∴当a＝7时，w取得最大值，此时w＝5300，
答：在这批彩电全部卖出的前提下，购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台才能使电器城获利最大，最大利润是5300元．
27．（12分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若tan∠F＝，求cos∠ACB的值．
【解答】解：（1）如图，
连接OA，
∵PD⊥AB，
∴OP垂直平分AB，
∴PA＝PB，OA＝OB，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP＝∠OBP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OQP＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴BP与⊙O相切，
（2）EF，OD，OP间的数量关系为EF2＝4OD×OP，
理由：∵∠OAP＝90°，AD⊥OP，
∴OA2＝OD×OP，
∵OA＝EF，
∴OD×OP＝EF2，
∴EF2＝4OD×OP，
（3）∵tanF＝，
设BD＝a，
∴FD＝2a，AD＝a，DE＝a，EF＝a，
∴OD＝a，
∴AC＝a，
∵BC＝EF＝a
∴cos∠ACB＝＝＝．
28．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：
（1）∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为x＝1．
∴﹣＝1，b＝2．
∵OB＝OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，解得c＝3或c＝0（舍去），
∴c＝3；
（2）设点F的坐标为（0，m）．
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝﹣2x+6．
∵点F在BE上，
∴m＝﹣2×2+6＝2，即点F的坐标为（0，2）；
（3）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN＝S△APM，
∴（n+1）（3﹣n）＝（﹣n2+2n+3）•QR，
∴QR＝1．
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，﹣n2+4n），R点的坐标为（n，﹣n2+4n），N点的坐标为（n，﹣n2+2n+3）．
∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，
∴n＝时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（ ，）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，﹣n2+4）．
同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，
∴n＝时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（，）．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）．
2023年四川省内江市市中区全安中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（3分）可燃冰学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×1011吨 B．1000×108吨 C．10×1010吨 D．1×103吨
3．（3分）下列几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．任意一个六边形的外角和等于720°
C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同
D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．a4•a5＝a20 B．a2+2a3＝2a5
C．a4÷a＝a3 D．（﹣a2b3）2＝a4b9
7．（3分）函数y＝的自变量的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞0 D．x＞﹣1且x≠0
8．（3分）一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．（3分）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．4＜a≤5 B．8＜a≤10 C．8≤a＜10 D．a≤8或a＞10
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝ ．
14．（5分）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
15．（5分）已知2x+y＝10xy，则代数式的值为 ．
16．（5分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
18．（9分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：AE＝AD．
19．（9分）为了贯彻“减负增效”精神，某校掌握2022～2023学年度九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了2022～2023学年度九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有 人；
（2）图2中α是 度，并将图1补充完整；
（3）请估算该校2022～2023学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）中随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或画树状图的方法求出选中小亮的概率．
20．（9分）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）
21．（10分）如图，正比例函数y1＝kx与反比例函数y＝（x＞0）交于点A（2，3），AB⊥x轴于点B，平移直线y1＝kx使其经过点B，得到直线y2，y2与y轴交于点C，与y＝交于点D．
（1）求正比例函数y1＝kx及反比例函数y＝的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）求△ACD的面积．
四、B卷（共60分）填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）已知b＝﹣1，则ab＝ ．
23．（6分）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是 ．
24．（6分）已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，延长NF交DC于点H，当EF⊥AD时，的值为 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价与去年同期相比降价500元，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元．
（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
27．（12分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若tan∠F＝，求cos∠ACB的值．
28．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2023年四川省内江市市中区全安中学中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
【解答】解：﹣的绝对值为．
故选：C．
2．（3分）可燃冰学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（ ）
A．1×1011吨 B．1000×108吨 C．10×1010吨 D．1×103吨
【解答】解：将1000亿用科学记数法可表示为1×1011．
故选：A．
3．（3分）下列几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、圆锥的主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、圆柱的主视图为矩形，故本选项符合题意；
C、三棱柱的主视图为矩形中间有1条竖线，故本选项不符合题意；
D、球的主视图为圆，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．任意一个六边形的外角和等于720°
C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同
D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；
B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；
C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件；
D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件；
故选：D．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．a4•a5＝a20 B．a2+2a3＝2a5
C．a4÷a＝a3 D．（﹣a2b3）2＝a4b9
【解答】解：A、a4•a5＝a9，故选项A不符合题意；
B、a2与2a3不是同类项，不能合并成一项，故选项B不符合题意；
C、a4÷a＝a3，故选项C符合题意；
D、（﹣a2b3）2＝a4b6，故选项D不符合题意．
故选：C．
7．（3分）函数y＝的自变量的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞0 D．x＞﹣1且x≠0
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：x+1≥0，
∴x≥﹣1，
根据分式有意义的条件得：x≠0，
∴自变量的取值范围为x≥﹣1且x≠0，
故选：B．
8．（3分）一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
当三角形的三边为5，2，2时，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；
故选：C．
10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝110°，
∴∠A＝70°，
∵∠BOD＝2∠A＝140°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD＝180°，
∴∠OBD＝20°，
故选：B．
11．（3分）若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．4＜a≤5 B．8＜a≤10 C．8≤a＜10 D．a≤8或a＞10
【解答】解：，
解①得：x≥2，
解②得：x＜，
故不等式组的解集为：2≤x＜，
∵关于x的不等式组恰有三个整数解，
∴4＜≤5，
解得：8＜a≤10．
故选：B．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以（1）正确；
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，
∴b＝﹣4a，
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，
∵a＜0，
∴4a+c﹣2b＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）不正确；
∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；
∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣﹣2|＝，|﹣2|＝，
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；
当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝ 3（x﹣2y）2 ．
【解答】解：3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2．
故答案为：3（x﹣2y）2．
14．（5分）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、菱形，概率是；
故答案为：．
15．（5分）已知2x+y＝10xy，则代数式的值为 ．
【解答】解：∵2x+y＝10xy，
∴＝＝＝，
故答案为：．
16．（5分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝ 2 ．
【解答】解：设E（a，），
∵BE＝4CE，
∴B（5a，），
∵四边形ODBE的面积＝S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△AOD，
∴5a•﹣k﹣k＝8，解得k＝2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
【解答】解：
＝2+4﹣4×+1
＝2+4﹣2+1
＝5．
18．（9分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：AE＝AD．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形；
（2）连接BE
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°
∵DC＝EF，
∴EB＝DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE＝AD．
19．（9分）为了贯彻“减负增效”精神，某校掌握2022～2023学年度九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了2022～2023学年度九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有 40 人；
（2）图2中α是 54 度，并将图1补充完整；
（3）请估算该校2022～2023学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的有 330 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）中随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或画树状图的方法求出选中小亮的概率．
【解答】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）×360°＝54°，
40×35%＝14（人）；
补充图形如图：
故答案为：54；
（3）600×＝330（人），
故答案为：330；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，
∴P（A）＝＝．
20．（9分）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，
由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
21．（10分）如图，正比例函数y1＝kx与反比例函数y＝（x＞0）交于点A（2，3），AB⊥x轴于点B，平移直线y1＝kx使其经过点B，得到直线y2，y2与y轴交于点C，与y＝交于点D．
（1）求正比例函数y1＝kx及反比例函数y＝的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）求△ACD的面积．
【解答】解：（1）将点A（2，3）分别代入y1＝kx、得3＝2k、，
解得k＝，m＝6，
∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y1＝x、；
（2）∵y2由y1平移得到，所以设y2＝x+b，
∵AB⊥x轴，∴B（2，0），将其代入y2＝x+b得b＝﹣3，
∴y2＝x﹣3，
由题意得：解得：，（舍去），
∴点D坐标为（，）；
（3）连接OD，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，则DE＝1+，
把x＝0代入y2＝x﹣3得，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）
∵直线y1∥y2，
∴S△ACD＝S△OCD＝OC•DE＝×3×（）＝．
答：△ACD的面积为．
四、B卷（共60分）填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）已知b＝﹣1，则ab＝ ．
【解答】解：由题意得：3a﹣12≥0，8﹣2a≥0
解得：a≥4，a≤4
∴a＝4
∴b＝﹣1
∴ab＝4﹣1＝
故答案为：
23．（6分）如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是 （2023，2） ．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……，
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），
∵2023÷4＝4×505......3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故答案为：（2023，2）．
24．（6分）已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是 14
【解答】解：，
①×2+②，得x+y＝5，则y＝5﹣x③，
①+2×②，得x+z＝4，则z＝4﹣x④，
把③④代入x2+y2+z2得，
x2+（5﹣x）2+（4﹣x）2
＝3x2﹣18x+41
＝3（x﹣3）2+14，
∴x2+y2+z2的最小值是14，
故答案为14．
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，延长NF交DC于点H，当EF⊥AD时，的值为 ．
【解答】解：如图，由翻折不变性可知：∠A＝∠E，
∴tanA＝tanE＝＝，
∴可以假设：DM＝4k，DE＝3k，则EM＝5k，AD＝EF＝CD＝9k．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠DFH+∠EFN＝180°，∠B＝∠EFN，
∴∠A＝∠DFH，
∵EF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴∠A+∠HDF＝90°，
∴∠HDF+∠DFH＝90°，
∴tan∠DFH＝tanA＝＝，设FH＝3x，则DH＝4x
在Rt△DHF中，DF＝EF﹣DE＝6k，根据勾股定理得，DH2+FH2＝DF2，
∴16x2+9x2＝36k2，
∴x＝k
∴DH＝k，
∴CH＝9k﹣k＝k，
∴＝＝．
故答案为．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价与去年同期相比降价500元，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元．
（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，
，
解得，x＝2500，
经检验，x＝2500是原分式方程的解，
答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元；
（2）设电器城购进A种型号的彩电a台，
，
解得，≤a≤10，
∵a为整数，
∴a＝7，8，9，10，
即共有4种进货方案，
方案一：购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台，
方案二：购进A种型号的彩电8台，B种型号彩电12台，
方案三：购进A种型号的彩电9台，B种型号彩电11台，
方案四：购进A种型号的彩电10台，B种型号彩电10台；
（3）设获得利润为w元，
w＝（2500﹣500﹣1800）a+（1800﹣1500）（20﹣a）＝﹣100a+6000，
∵a＝7，8，9，10，
∴当a＝7时，w取得最大值，此时w＝5300，
答：在这批彩电全部卖出的前提下，购进A种型号的彩电7台，B种型号彩电13台才能使电器城获利最大，最大利润是5300元．
27．（12分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若tan∠F＝，求cos∠ACB的值．
【解答】解：（1）如图，
连接OA，
∵PD⊥AB，
∴OP垂直平分AB，
∴PA＝PB，OA＝OB，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP＝∠OBP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OQP＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴BP与⊙O相切，
（2）EF，OD，OP间的数量关系为EF2＝4OD×OP，
理由：∵∠OAP＝90°，AD⊥OP，
∴OA2＝OD×OP，
∵OA＝EF，
∴OD×OP＝EF2，
∴EF2＝4OD×OP，
（3）∵tanF＝，
设BD＝a，
∴FD＝2a，AD＝a，DE＝a，EF＝a，
∴OD＝a，
∴AC＝a，
∵BC＝EF＝a
∴cos∠ACB＝＝＝．
28．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：
（1）∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为x＝1．
∴﹣＝1，b＝2．
∵OB＝OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，解得c＝3或c＝0（舍去），
∴c＝3；
（2）设点F的坐标为（0，m）．
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝﹣2x+6．
∵点F在BE上，
∴m＝﹣2×2+6＝2，即点F的坐标为（0，2）；
（3）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN＝S△APM，
∴（n+1）（3﹣n）＝（﹣n2+2n+3）•QR，
∴QR＝1．
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，﹣n2+4n），R点的坐标为（n，﹣n2+4n），N点的坐标为（n，﹣n2+2n+3）．
∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，
∴n＝时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（ ，）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，﹣n2+4）．
同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，
∴n＝时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（，）．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）．
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