2023高考数学复习专项训练《空间向量及其运算》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间向量及其运算》，共15页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共14小题，共65分）
1.（5分）如图，在四面体ABCD中，AB=1，AD=23，BC=3，CD=2.∠ABC=∠DCB=π2，则二面角A-BC-D的大小为 ( ).
A. π6B. π3C. 5π3D. 5π6
2.（5分）已知向量a→=(2,3,-4)，b→=(-3,x,y)分别是平面α，β的法向量，若α//β，则( )
A. x=92，y=6B. x=-92，y=6
C. x=-92，y=-6D. x=92，y=-6
（5分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

3.下列各组向量共面的是( )

A. → EF,→ AP,→ BDB. EF→,AP→,AD→
C. → EF,→ AP,→ CDD. → EF,→ AC,→ CD
4.下列各组向量垂直的是( )
A. → AP,→ EFB. → AD,→ EFC. → CD,→ EFD. → BP,→ EF
5.（5分）已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则OB2→等于( )
A. 74B. 25C. 65D. 58
6.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且EC→=2PE→，若AB→=a→,AC→=b→,AP→=c→，则DE→=()
A. 13a→-23b→+23c→B. 13a→+23b→+23c→
C. a→-23b→+23c→D. a→+23b→-23c→
7.（5分）如图，在空间四边形OABC中，点E为线段BC的中点，点F在线段OA上，且OF=2FA，则EF→=( )
A. -34OA→+12OB→-12OC→B. 23OA→-12OB→-12OC→
C. 12OA→-34OB→+12OC→D. 12OA→+34OB→-12OC→
8.（5分）已知向量a→=(2,1,0)，b→=(-1,1,1)，且a→+b→与ka→+b→互相垂直，则k的值是 ()
A. 1B. 12C. -1D. 13
9.（5分）平面α的法向量为a→=(1,2,-2)，平面β的法向量b→=(-2,h,k)，若α//β，则h+k的值为( )
A. -2B. -8C. 0D. -6
10.（5分）已知O-ABC为空间四面体，P为底面ABC上一点，且满足2AP→=xOA→+yOB→+zOC→，则以下等式一定成立的是()
A. x+y+z=1B. x+y+z=0C. x+y+z=-1D. x+y+z=12
11.（5分）在三棱锥P-ABC中，点M为线段BC的中点，AM→=xPA→+yPB→+zPC→，则x+y+z=( )
A. 0B. 12C. 1D. -1
12.（5分）已知平面α内有一点M(1,-1,2)，平面α的一个法向量为n→=(6,-3,6)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A. P(2,3,3)B. P(-2,0,1)
C. P(-4,4,0)D. P(3,-3,4)
13.（5分）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM→=2MC→，PN→=ND→，NM→=xAB→+yAD→+zAP→，则x+y+z=()
A. -23B. 23C. 1D. 56
14.（5分）已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，AB=AC=AD=3，BC=23，点E为CD的中点，点F为BE的中点，若点M、N是空间中的两动点，且MBMF=NBNF=2，MN=2，则AM→⋅AN→=( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
15.（5分）设向量a→=(1,2,λ)，b→=(2,2,-1)，若cs=49，则实数λ的值为____.
16.（5分）如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M为PA的中点，BD→=λBN→.若MN⊥AD，则实数λ=______．
17.（5分）已知a→=(x,3,1)，b→=(4,y,5)，若a→⊥b→，则x2+y2的取值范围为 ______.
18.（5分）与向量(-3,-4,5)反向共线的单位向量是 ______.
19.（5分）已知点A(1,2,1)，B(-1,3,4)，D(1,1,1)，若AP→=2PB→，则|PD→|的值是 ______ ．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
20.（12分）已知a=(1-t,2t-1,0)，b=(2,t,t)，t∈R.
(1)当t=1时，求a.b；
(2)求|a-b|的最小值．
21.（12分）已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5).
(1)若|a→|=3，且a→分别与AB→，AC→垂直，求向量a→的坐标；
(2)若AP→//BC→，且|AP→|=214，求点P的坐标．
22.（12分）已知向量a→=(1,2,3)，b→=(1,0,1)，c→=a→-2b→，d→=ma→-b→，求实数m的值使得
(1)c→⊥d→，
(2)c→//d→．
23.（12分）如图，在四面体OABC中，M为AB的中点，点N在OC上，且ON=13NC.设OA→=a，OB→=b，OC→=c，试用a，b，c表示MN→.
24.（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

(1)求证：EF→,AP→,AD→共面；
(2)求证：EF⊥CD.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
本小题主要考查应用空间向量求二面角，只需求两个平面的法向量所成的角，利用两个向量的夹角公式求解，属基础题.
解：因为，，
所以二面角为向量与所成的角，
，
，
，
因为二面角为锐角，
所以二面角为，
故选B.
2.【答案】B;
【解析】解：向量a→=(2,3,-4)，b→=(-3,x,y)分别是平面α，β的法向量，
∵α//β，∴a→//b→，
∴-32=x3=y-4，
解得x=-92，y=6．
故选：B．
由α//β，得a→//b→，利用向量平行的性质能求出x，y．
此题主要考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B;C;
【解析】
证明：(1)如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2a，BC=2b，PA=2c，
则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，
D(0,2b,0)，P(0,0,2c)，
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E(a,0,0)，F(a,b,c)，
∵EF→=(0,b,c)，AP→=(0,0,2c)，AD→=(0,2b,0)，
∴EF→=12AP→+12AD→，
∴EF→,AP→,AD→共面．
(2)∵CD→=(-2a,0,0)，EF→=(0,b,c)，
∴CD→.EF→=(-2a,0,0)⋅(0,b,c)=0，
∴CD→⊥EF→，∴CD⊥EF.
(1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，BC=2b，PA=2c，求出EF→=(0,b,c)，AP→=(0,0,2c)，AD→=(0,2b,0)，从而EF→=12AP→+12AD→，由此能证明EF→,AP→,AD→共面．
(2)求出CD→=(-2a,0,0)，EF→=(0,b,c)，由CD→.EF→=0，能证明CD⊥EF.
此题主要考查三个向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
4.【答案】B;
【解析】解：∵点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，∴B(3,0,-4)．
则OB2→=(32+0+(-4)2)2=25．
故选：B．
点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，可得B(3,0,-4).再利用模的计算公式即可得出．
该题考查了射影、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：根据向量的线性运算，AD→=BC→=AC→-AB→
AE→=AP→+PE→=AP→+13PC→=AP→+13(AC→-AP→)=23AP→+13AC→，
所以DE→=AB→-23AC→+23AP→=a→-23b→+23c→.
故选：C.
直接利用向量的线性运算求出结果．
此题主要考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：∵在空间四边形OABC中，点E为线段BC的中点，
点F在线段OA上，且OF=2FA，
∴EF→=EB→+BA→+AF→
=-FA→-AB→-BE→
=-13OA→-(OB→-OA→)-12(OC→-OB→)
=23OA→-12OB→-12OC→．
故选：B．
利用向量的三角形法则、线性运算法则即可得出．
该题考查了向量的三角形法则、线性运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查空间向量线性运算、垂直的坐标表示，属于基础题.解：因为向量a→=(2,1,0)，b→=(-1,1,1)，所以a→+b→=(1,2,1)，ka→-b→=(2k+1,k-1,-1).又因为a→+b→与ka→-b→互相垂直，所以(a→+b→)·(ka→-b→)=0，即1×(2k+1)+2×(k-1)+1×(-1)=0，解得k=12.
8.【答案】C;
【解析】解：∵平面α的法向量为a→=(1,2,-2)，
平面β的法向量b→=(-2,h,k)，α//β，
∴a→//b→，
∴-21=h2=k-2，
解得h=-4，k=4，
∴h+k=0．
故选：C．
由α//β，得a→//b→，由此能求出h+k．
该题考查代数式的和的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】B;
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量的基本定理及其应用，空间向量的加减法，属于较易题.由题意，结合AP→=OP→-OA→，
可得OP→=12[(x+2)OA→+yOB→+zOC→]，又P，A，B，C四点共面，故12[(x+2)+y+z]=1，从而得出结果.
【解答】
解：∵2AP→=xOA→+yOB→+zOC→，
又AP→=OP→-OA→，
∴2(OP→-OA→)=xOA→+yOB→+zOC→，
则OP→=12[(x+2)OA→+yOB→+zOC→]，
又P，A，B，C四点共面，
故12[(x+2)+y+z]=1，
解得x+y+z=0，
故选B.
10.【答案】A;
【解析】解：在三棱锥P-ABC中，点M为线段BC的中点，
则AM→=AP→+PM→=-PA→+12(PB→+PC→)=-PA→+12PB→+12PC→，
又AM→=xPA→+yPB→+zPC→，
所以x=-1，y=z=12，
所以x+y+z=0，
故选：A．
由空间向量的线性运算得：AM→=AP→+PM→=-PA→+12(PB→+PC→)=-PA→+12PB→+12PC→，得解．
该题考查了空间向量的线性运算，属简单题．
11.【答案】A;
【解析】
此题主要考查平面的法向量，属于简单题.
先求出MP→，再由MP→.n→=0可以得点P在平面内，由此一一验证可得正确答案.
解：采用逐一验证法，对于选项A，MP→=(1,4,1)，
∴MP→⋅n→=6-12+6=0，
∴MP→⊥n→，
∴点P在平面α内；
同理可得其他三个选项MP→⋅n→≠0，点P不在平面α内．
故选A.
12.【答案】B;
【解析】
此题主要考查空间向量的坐标表示与运算，考查空间向量的基本定理，属中档题.
以A为原点，建立空间直角坐标系，设B(a,0,0)，D(0,b,0)，P(0,0,c)，表示出NM→=(23a,16b,-16c)=23AB→+16AD→-16AP→，即可得x、y、z的值，进而得解.
解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设B(a,0,0)，D(0,b,0)，P(0,0,c)，
因为PM→=2MC→，PN→=ND→，
所以M(23a,23b,13c)，N(0,12b,12c)，
所以NM→=(23a,16b,-16c)=23AB→+16AD→-16AP→，
所以x=23，y=16，z=-16，所以x+y+z=23.
故选B.
13.【答案】B;
【解析】
此题主要考查平面向量数量积的性质及其应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．
由题意画出图形，建立空间直角坐标系，由已知说明点M，N在以(0,0,0)为球心，以1为半径的球上，结合MN=2，得MN为球的直径，则答案可求．

解：设A在底面BCD的投影为O，
∵AB=AC=AD=3，底面BCD为等边三角形，且BC=23，
∴OD=2，AO=5，
建立如图所示空间直角坐标系．

则B(-3,-1,0)，D(0,2,0)，C(3,-1,0)，
又E为CD的中点，∴E(32,12,0)，
点F为BE的中点，F(-34,-14,0)，
设M(x,y,z)，由MBMF=NBNF=2，
得MB=2MF，
x+32+y+12+z2
=2x+342+y+142+z2
∴x2+y2+z2=1，
∴点M在以(0,0,0)为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，
且MN=2，∴MN为球的直径，
则AM→.AN→=(AO→+OM→).(AO→+ON→)
=(AO→+OM→).(AO→-OM→)
=AO2→-OM2→=5-1=4．
故选：B．
14.【答案】2或-1227;
【解析】
此题主要考查了空间向量夹角的求解，属于基础题.利用空间向量夹角的求解公式代入化简，即可求得实数λ的值.

解：∵向量a→=(1,2,λ)，b→=(2,2,-1)，
∴cs\left=2+4-λ3λ2+5=49，
解得λ=2或λ=-1227，
故答案为2或-1227.
15.【答案】4;
【解析】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=2，则A(2,0,0)，D(0,-2,0)，P(0,0,2)，M(22,0,22)，B(0,2,0)，
BD→=(0,-22,0)，设N(0,b,0)，则BN→=(0,b-2,0)，
∵BD→=λBN→，∴-22=λ(b-2)，∴b=2λ-22λ，
∴N(0,2λ-22λ,0)，MN→=(-22,2λ-22λ,-22)，AD→=(-2,-2,0)，
∵MN⊥AD，∴MN→.AD→=1-2λ-4λ=0，
解得实数λ=4．
故答案为：4．
连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
该题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】[1，+∞）;
【解析】解：∵a→=(x,3,1)，b→=(4,y,5)，若a→⊥b→，则a→.b→=4x+3y+5=0，
而x2+y2 表示点(x,y)到原点(0,0)的距离，
故x2+y2 的最小值为原点到直线4x+3y+5=0的距离，为d=|0+0+5|16+9=1，
故x2+y2 的取值范围为[1,+∞),
故答案为：[1,+∞).
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得4x+3y+5=0，再根据两点间的距离公式、点到直线的距离公式，求得x2+y2 的最小值，可得故x2+y2 的范围．
此题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
17.【答案】（3210，225，-22）;
【解析】解：∵向量(-3,-4,5)的模为(-3)2+(-4)2+52=52，
∴与向量(-3,-4,5)反向共线的单位向量是-152(-3,-4,5)，
即与向量(-3,-4,5)反向共线的单位向量是(3210,225,-22).
故答案为：(3210,225,-22).
先求出向量的模，再利用反向共线单位向量的定义求出结果．
此题主要考查两个向量共线的性质，反向单位向量的定义和求法，属于基础题．
18.【答案】773;
【解析】解：设P(x,y,z)，
∴AP→=(x-1,y-2,z-1)．PB→=(-1-x,3-y,4-z)
由AP→=2PB→得点P坐标为P(-13,83,3)，
又D(1,1,1)，
∴|PD→|=773．
设出P点的坐标，根据所给的AP→=2PB→和A、B两点的坐标求出P点的坐标，写出PD→向量的坐标，利用求模的公式得到结果．
认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．空间向量在立体几何中作用不可估量．
19.【答案】解：(1)当t=1时，t=1时，
∴⇀ a.⇀ b=1×2+1×1+0×1=3;
(2)∵⇀ a-⇀ b=(-1-t,t-1,-t)，
∴|a-b|=(-1-t)2+(t-1)2+t2=3t2+2.
∴当t=0时，⇀ |a-⇀ b|有最小值2.;
【解析】此题主要考查了空间向量的数量积计算以及模的计算，属于基础题.
(1)当t=1时，求出向量⇀ a,⇀ b的坐标，求数量积即可;
(2)用t表示|⇀ a-⇀ b|，求最值即可.
20.【答案】解：（1）三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
∴AB→=（-2，-1，3），AC→=（1，-3，2），
设a→=（x，y，z），
∵|a→|=3，且a→分别与AB→、AC→垂直，
∴{x2+y2+z2=3-2x-y+3z=0x-3y+2z=0，解得{x=1y=1z=1或{x=-1y=-1z=-1，
∴a→=（1，1，1）或a→=（-1，-1，-1）．
（2）因为AP→∥BC→，所以可设AP→=λBC→，
因为BC→=（3，-2，-1），所以AP→=（3λ，-2λ，-λ），
又|AP→|=214，所以(3λ)2+(-2λ)2+(-λ)2=214，解得λ=±2，
所以AP→=（6，-4，-2）或AP→=（-6，4，2），
设点P的坐标为（x，y，z），则AP→=（x，y-2，z-3），
所以{x=6y-2=-4z-3=-2或{x=-6y-2=4z-3=2，解得{x=6y=-2z=1或{x=-6y=6z=5，
则点P的坐标为（6，-2，1）或（-6，6，5）．;
【解析】
(1)设a→=(x,y,z)，由|a→|=3，且a→分别与AB→、AC→垂直，列出方程组求解即可．
(2)设AP→=λBC→，求出λ的值，即得AP→=(6,-4,-2)或AP→=(-6,4,2)，再求出点P的坐标．
此题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，属于中档题．
21.【答案】解：（1）∵向量a→=（1，2，3），b→=（1，0，1），
∴c→=a→-2b→=（-1，2，1），
d→=ma→-b→=（m-1，2m，3m-1），
∵c→⊥d→，
∴c→.d→=1-m+4m+3m-1=0，
解得m=0．
（2）∵c→∥d→，
∴-1m-1=22m=13m-1，
∴4m=2，解得m=12．;
【解析】
(1)求出c→=a→-2b→=(-1,2,1)，d→=ma→-b→=(m-1,2m,3m-1)，由c→⊥d→，得c→.d→，由此能求出m．
(2)由c→//d→，能求出实数m的值．
该题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直、平面向量平行性质的合理运用．
22.【答案】解：连接BN，则⇀ MN=⇀ MB+⇀ BN，
因为点M是AB的中点，所以⇀ MB=1 2 ⇀ AB=1 2⇀ OB-⇀ OA=1 2 ⇀ b-1 2 ⇀ a，
又因为ON=1 3NC，所以⇀BN=⇀BO+⇀ON⇀BN=⇀BC+⇀CN⇒⇀BN=-⇀b+⇀ON⇀BN=⇀c-⇀b-3⇀ON⇒⇀ BN=1 4 ⇀ c-⇀ b，
所以⇀ MN=-1 2 ⇀ a-1 2 ⇀ b+1 4 ⇀ c.

;
【解析】
此题主要考查了空间向量的基本定理及应用.利用空间向量的加减法及线性运算计算得结论．
23.【答案】证明：(1)如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，

设AB=2a，BC=2b，PA=2c，
则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，
D(0,2b,0)，P(0,0,2c)，
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E(a,0,0)，F(a,b,c)，
∵EF→=(0,b,c)，AP→=(0,0,2c)，AD→=(0,2b,0)，
∴EF→=12AP→+12AD→，
∴EF→,AP→,AD→共面．
(2)∵CD→=(-2a,0,0)，EF→=(0,b,c)，
∴CD→⋅EF→=(-2a,0,0)⋅(0,b,c)=0，
∴CD→⊥EF→，
∴EF⊥CD.;
【解析】此题主要考查三个空间向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是基础题．
(1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=2a，BC=2b，PA=2c，求出EF→=(0,b,c)，AP→=(0,0,2c)，AD→=(0,2b,0)，从而EF→=12AP→+12AD→，由此能证明EF→,AP→,AD→共面；
(2)求出CD→=(-2a,0,0)，EF→=(0,b,c)，由CD→·EF→=0，能证明EF⊥CD.