浙江省温州市十校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省温州市十校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角( )
A.B.C.D.
2．复数的共轭复数是( )
A.B.C.D.
3．如图,是斜二测画法画出的水平放置的的直观图,是的中点,且轴,轴,,,那么( )
A.B.C.D.
4．已知两个非零向量,的夹角为,且,则( )
A.3B.C.2D.
5．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动,标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上,测得每根羽毛在球托之外的长为,球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面,测得顶璃所围成圆的直径是,底部所围成圆的直径是,据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为( )
A.B.C.D.
6．将顶点在原点,始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后,交单位圆于点,则的值为( )
A.B.C.D.
7．已知向量,均为单位向量,且,向量满足,则的最大值为( )
A.B.C.D.4
8．已知,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设数,则下列关于复数的说法正确的是( )
A.B.C.D.
10．下列各式的值为1的是( )
A.B.
C.D.
11．已知直线a与b异面,则( )
A.存在无数个平面与a,b都平行B.存在唯一的平面a,使a,b与都相交
C.存在唯一的平面,使,且D.存在平面,,使,,且
12．设函数,已知在有且仅有5个零点,下述四个结论中正确的是( )
A.在有且仅有2个最小值点B.在有且仅有3个最大值点C.在单调递增D.的取值范围是
三、填空题
13．，是平面内两个不共线的向量，且，，若，则实数__________.
14．已知点,,,,则向量在方向上的投影向量为___________．
15．已知a,,复数,,且,若,则的最小值为____________．
16．在中,若,,则的周长的最大值为__________．
四、解答题
17．已知：复数,其中i为虚数单位．
(1)求z及;
(2)若,求实数a,b的值．
18．已知函数．
(1)求最小正周期和对称轴;
(2)当时,求函数的最小值和最大值．
19．如图,直三棱柱的体积为4,的面积为．
(1)求点A到面的距离;
(2)若为等腰直角三角形,且,求三棱锥内切球的表面积．
20．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
(1)求A;
(2)设,当的值最大时,求的面积．
21．如图,我市有一条从正南方向通过市中心O后向北偏东的OB方向的公路,现要修建一条地铁L,在、上各设一站A,B,地铁线在部分为直线段,现要求市中心O到的距离为.
(1)若,求O,B之间的距离;
(2)求A,B之间距离最小值．
22．如图,在正六边形中,,H为上一点,且,,交于点G．
(1)当时,试用,表示;
(2)求的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
所以,
所以,
又,
所以．
故选：D．
2．答案：B
解析：求复数 的共轭复数, 即实部相同, 虚 部互为相反数,
,所以 的共轭复数为
综上所述, 本题正确答案为B
3．答案：B
解析：根据题意,把直观图还原出原平面图形为等腰三角形,如图所示：
其中,,
所以原平面图形的面积为,选项B正确;
因为是,,所以选项A错误;
,选项C错误;
中,,且,所以,选项D错误．
故选：B．
4．答案：B
解析：非零向量,的夹角为,且,
,可得,
,
,
．
故选：B．
5．答案：C
解析：将圆台补成圆锥,如图所示：
则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差,
设小圆锥母线长为x,则大圆锥母线长为,由相似得,解得,
所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为．
故选：C．
6．答案：A
解析：点在单位圆上,
则,解得,
锐角,
则,
所以,
故,,
．
故选：A．
7．答案：D
解析：已知向量,均为单位向量,且,
不妨设,,,
,,且,
设,,,
,
的最大值为4．
故选：D．
8．答案：C
解析：设,则当时,,
在上是减函数,
在上,,
,,排除BD,
,
,排除A．
故选：C．
9．答案：AC
解析：,
,,故A正确;B错误;
,
,故C正确,D错误．
故选：AC．
10．答案：BD
解析：A：原式,A不符合题意;
B：原式,B符合题意;
C：原式,C不符合题意;
D：原式,D符合题意．
故选：BD．
11．答案：ACD
解析：根据题意,依次分析选项：
对于A,可取不在两条异面直线上的点A,过点A分别作与两条异面直线平行的相交直线,可得一个平面与两条异面直线都平行,
由此可以作无数个与该平面平行的平面,满足同时与直线a,b都平行,A正确;
对于B,存在无数个平面a,使a,b与都相交,B错误;
对于C,过直线a上任意一点,作一条直线,使与b平行,由直线a与唯一确定的平面,满足,且,C正确;
对于D,过直线a上任意一点,作一条直线,使与b平行,由直线a与可以唯一确定的平面,
反之,过直线b上任意一点,作一条直线,使与a平行,由直线b与可以唯一确定的平面,符合题意,D正确．
故选：ACD．
12．答案：BCD
解析：由于,,
而在有且仅有5个零点,
所以,解得,故D正确;
因此只有满足,,的x是在上的最大值点,共3个,故B正确;
满足,的x是在上的最小值点,
但当接近时,,也是一个最小值点,此时有3个最小值点,故A错误;
当时,则有,
所以是单调递增的,故C正确．
故选：BCD．
13．答案：
解析：因为，所以，使得成立，所以，即.因为，不共线，所以（否则，不妨设，则，与，不共线矛盾），解得.故答案为.
14．答案：
解析：点,,,,
,,
,,,
向量在方向上的投影向量为.
故答案为：.
15．答案：
解析：,,
则,解得,
,当时,取得最小值．
故答案为：．
16．答案：
解析：由可得,
两边同乘得,,两边同加得,,
即,又,
则,
设角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且,
由正弦定理得,
时,取得最大值,此时周长最大值为．
故答案为：．
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)复数,其中i为虚数单位,
．
(2),即,
,
．
18．答案：(1)
(2)取得最大值为1
解析：(1)因为函数,
所以的最小正周期为;
令,,解得,;
所以的对称轴方程是;
(2)当时,,;
所以,
所以时,取得最小值为-2,
时,取得最大值为1．
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)已知直三棱柱的体积为4,的面积为,
则,
又,且的面积为,
设点A到面的距离为h,
则,
即,
即点A到面的距离为;
(2)已知为等腰直角三角形,且,
又直三棱柱的体积为4,
则,
则,
设三棱柱内切球的半径为r,
则,
则,
即,
则三棱锥内切球的表面积为．
20．答案：(1)
(2)
解析：(1),
在中,由正弦定理得,
,
即,
,,
,即,
,即,
,解得;
(2)由(1)得,,
在中,由正弦定理得,
即,,
其中,
当时,取得最大值,此时,
,,
,又,
则的面积．
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)过O作于点E,如图所示：
市中心O到AB的距离为,即,
,,,,
又,则,
在中,由正弦定理得,即,解得,
故O,B之间的距离为;
(2)设,,则,,
,
又,,
,当时,的最大值为,
的最小值为,
故A,B之间距离最小值为．
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由正六边形性质可知,,
因为,所以,
所以,
(2)记,,,
则,①,
将代入①整理得,
因为F、G、H共线,所以,即,
又,
,,
所以,
将代入上式整理可得,
令,则,,
由对勾函数可知,当在区间上单调递减,
所以当时,取得最大值6;当时,取得最小值4．
所以的取值范围为．