2022-2023学年甘肃省临夏州积石中学、民族中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省临夏州积石中学、民族中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数y=ex−x在x=0处的切线的斜率为( )
A. 0B. 1C. 2D. e
2. 已知向量a=(1,2,1)，b=(3,2,2)，且(ka+b)//(a−2b)，则实数k的值为( )
A. −2512B. 2512C. −12D. 12
3. 函数f(x)=lnx−2x2的单调递增区间是( )
A. (−12,12)B. (0,12)
C. (−∞,−12),(12,+∞)D. (12,+∞)
4. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为1的概率为0.1；发送信号1时，接收为1的概率为0.95，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为( )
A. 0.475B. 0.525C. 0.425D. 0.575
5. 在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 3,AA1=1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. 55B. 2 55C. 77D. − 77
6. 函数f(x)=x−f′(π6)csx，则f(π3)=( )
A. π−33B. π−13C. π−3 33D. π− 33
7. 端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则P(B|A)=( )
A. 35B. 313C. 58D. 1328
8. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程f(x)=f′(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=ex−x，h(x)=lnx，φ(x)=2023x+2023的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量a=(1,−1,m)，b=(−2,m−1,2)，则下列结论中正确的是( )
A. 若|a|=2，则m=± 2
B. 若a⊥b，则m=−1
C. 不存在实数λ，使得a=λb
D. 若a⋅b=−1，则a+b=(−1,−2,−2)
10. 已知函数f(x)(x∈[−3,5])的导函数为f′(x)，若f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在(−2,1)上单调递增B. f(x)在(−12,83)上单调递减
C. f(x)在x=−2处取得极小值D. f(x)在x=1处取得极大值
11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的有( )
A. P(B|A1)=511B. P(B)=25
C. 事件B与事件A1相互独立D. A1，A2，A3两两互斥
12. 已知函数f(x)=4x+1x+4,x<0x3−3x−1,x≥0，若函数g(x)=f(x)−m恰有3个零点，则m的取值可能是( )
A. −ln2B. −1C. −2D. −3
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 点(2,3,2)关于x轴的对称点是______ ．
14. 甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为13、14、15，现三人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为______ ．
15. 若函数f(x)=lnx−mx在[1,+∞)上是单调增函数，则m的取值范围是 ．
16. 两个非零向量a，b，定义|a×b|=|a||b|sin.若a=(1,0,1)，b=(0,2,2)，则|a×b|=______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=2AB=2AA1=6，E，F分别是A1D1，A1B1的中点，CG=GE，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
(1)写出C，D1，F，G四点的坐标；
(2)求csD1G>.
18. (本小题12.0分)
求下列函数的导数：
(1)y=(2x+3)2；
(2)y=(1−3x)3；
(3)y=e2x；
(4)y=ln1x．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x3−6x2+9x−2．
(1)求f(x)的极值；
(2)求f(x)在区间[−2,2]上的最大值与最小值．
20. (本小题12.0分)
如图在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2且∠A1AD=∠A1AB=60°，AN=2ND1，点M为BD中点，设AB=a，AD=b，AA1=c；
(1)用向量a，b，c的线性组合表示向量MN；
(2)求MN的长．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=13x3−12ax2，a∈R．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性．
22. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
(1)求证：BC⊥平面ACC1A1；
(2)求二面角B1−CD−C1的正弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：函数y=ex−x的导数为y′=ex−1，
由导数的几何意义，可得：
在x=0处的切线的斜率为e0−1=1−1=0．
故选：A．
求出函数的导数，由导数的几何意义，将x=0代入计算即可得到所求值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：向量a=(1,2,1)，b=(3,2,2)，
则ka+b=(k+3,2k+2,k+2),a−2b=(−5,−2,−3)，
因为(ka+b)//(a−2b)，
则k+3−5=2k+2−2=k+2−3，解得k=−12，
所以实数k的值为−12．
故选：C．
根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答．
本题主要考查空间向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=lnx−2x2的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x−4x=1−4x2x，
令f′(x)>0，可得0所以f(x)的单调递增区间是(0,12).
故选：B．
对f(x)求导，令f′(x)>0，即可求解f(x)的单调递增区间．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：发送信号0和1是等可能的，
则接受信号为1的概率为0.5×0.1+0.5×0.9=0.525．
故选：B．
根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 3,AA1=1，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则A( 3,0,0)，D1(0,0,1)，D(0,0,0)，B1( 3, 3,1)，
AD1=(− 3,0,1)，DB1=( 3, 3,1)，
设异面直线AD1与DB1所成角为θ，
则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为：
csθ=|AD1⋅DB1||AD1|⋅|DB1|=22 7= 77．
故选：C．
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x−f′(π6)csx，
所以f′(x)=1+f′(π6)sinx，
所以f′(π6)=1+12f′(π6)，所以f′(π6)=2，
所以函数f(x)=x−2csx，f(π3)=π3−2csπ3=π−33．
故选：A．
求出函数的导函数，再令x=π6求出f′(π6)，即可得到函数解析式，再代入计算可得．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，共有28种取法，
又事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，
则P(A)=C52+C32C82=1328，P(AB)=C32C82=328，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=313，
故选：B．
根据条件概率与古典概型相关知识可解．
本题考查条件概率与古典概型相关知识，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据“躺平点”定义可得g(a)=g′(a)，又g′(x)=ex−1，
所以ea−a=ea−1，解得a=1，
同理h′(x)=1x，即lnb=1b，
令m(x)=lnx−1x，则m′(x)=1x+1x2>0，即m(x)为(0,+∞)上的单调递增函数，
又m(1)=−1<0,m(e)=1−1e>0，所以m(x)在(1,e)有唯一零点，即b∈(1,e)，
易知φ′(x)=2023，即φ(c)=2023c+2023=φ′(c)=2023，解得c=0，
因此可得b>a>c．
故选：B．
根据“躺平点”新定义，可解得a=1，c=0，利用零点存在定理可得b∈(1,e)，即可得出结论．
本题主要考查函数与方程的应用，导数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的综合应用，涉及了空间向量垂直的充要条件，空间向量的坐标运算，属于基础题．
利用向量模的定义判断选项A;由向量垂直的充要条件判断选项B;利用空间向量共线定理判断选项C;利用向量数量积的坐标表示判断选项D．
【解答】
解：向量a=(1,−1,m)，b=(−2,m−1,2)．
A:若|a|=2，则 12+(−1)2+m2=2，解得m=± 2，故选项A正确；
B:若a⊥b，则−2−m+1+2m=0，解得m=1，故选项B错误；
C:假设存在实数λ，使得a=λb，则1=−2λ−1=λ(m−1)m=2λ，方程组无解，
故不存在实数λ，使得a=λb，故选项C正确；
D:若a⋅b=−1，则−2−m+1+2m=−1，解得m=0，
所以a+b=(−1,−2,2)，故选项D错误．
故选AC．

10.【答案】ACD
【解析】解：由图可知x∈(−2,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故A正确；
当x∈(−12,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,83)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故B错误；
当x∈(−3,−2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(−2,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x=−2处取得极小值，故C正确；
当x∈(−2,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,133)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，故D正确．
故选：ACD．
根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：因为事件A1，A2，A3任意两个都不能同时发生，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；
因为P(A1)=510=12，P(A2)=210=15，P(A3)=310，P(B|A1)=P(BA1)P(A1)=12×51112=511，故A正确；
P(B)=12×511+15×411+310×411=922，B错误；
P(BA1)=12×511=522，∴P(BA1)≠P(A1)P(B)，C错误．
故选：AD．
根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断其他选项．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：g(x)=f(x)−m恰有3个零点，也即y=m与y=f(x)的图象有三个交点，
当x<0时，f′(x)=4(x+12)(x−12)x2，由f′(x)<0得−120得x<−12，
所以f(x)在(−∞,−12)上单调递增，在(−12,0)上单调递减，且f(−12)=0，且x→−∞时，f(x)→−∞，x→0−时，f(x)→−∞；
当x≥0时，f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，f′(x)=0得x=1，或−1(舍)，
由f′(x)<0得00得x>1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(1)=−3，f(0)=−1，x→+∞时，f(x)→+∞，
作出函数y=f(x)与y=m的图象如右：易知当−1故选：AD．
原函数的零点，即为m=f(x)的根，也即y=m与y=f(x)图象交点有三个，利用导数研究它们的单调性、极值情况，画出图象求解．
本题考查函数的零点与函数图象之间的关系，属于中档题．
13.【答案】(2,−3,−2)
【解析】解：因为(2,3,2)关于x轴的对称，
则对称点在x轴的坐标不变，
在y，z轴对应的坐标变为相反数，
所以直接得出对称点为(2,−3,−2)．
故答案为：(2,−3,−2)．
利用对称的性质，直接可得答案．
本题考查空间坐标的对称性，属于基础题．
14.【答案】35
【解析】解：由题可记三人各投篮一次至少有一人命中为事件A，
则P(A−)=(1−13)(1−14)(1−15)=25，所以P(A)=35．
故答案为：35．
记三人各投篮一次至少有一人命中为事件A，分析可先求P(A−)，即可求得结果．
本题考查相互独立事件的概率，属于基础题．
15.【答案】[−1,+∞)
【解析】解：由题意可得，f′(x)=1x+mx2≥0在[1,+∞)上恒成立，
即m≥−x在[1,+∞)上恒成立，
因为y=−x在[1,+∞)上单调递减
所以y=−x的最大值为−1，
所以m≥(−x)max=−1，
即m的取值范围是[−1,+∞)．
故答案为：[−1,+∞)．
由题意可得，f′(x)=1x+mx2≥0在[1,+∞)上恒成立，即m≥−x在[1,+∞)上恒成立，求出y=−x的最大值即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】2 3
【解析】解：设向量a，b的夹角为θ，
∵a=(1,0,1)，b=(0,2,2)，
∴|a|= 2，|b|=2 2，a⋅b=2，
∵csθ=a⋅b|a|⋅|b|=2 2×2 2=12，
∵θ∈[0,π]，
∴sinθ= 32，
∴|a×b|=|a||b|sinθ= 2×2 2× 32=2 3．
故答案为：2 3．
根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．
本题考查了空间向量的坐标运算，解答的关键是熟记向量的数量积公式，是新定义中的基础题．
17.【答案】解：(1)C(3,6,0)，D1(0,6,3)，F(32,0,3)，E(0,3,3)，G(32,92,32)；
(2)CF=(−32,−6,3)，D1G=(32,−32,−32)，
因为CF⋅D1G=−(32)2+(−6)⋅(−32)+3×(−32)=0，所以CF⊥D1G，
故cs=0．
【解析】(1)由已知写出点的坐标即可；
(2)利用向量的夹角公式计算即可．
本题考查空间向量的坐标运算，夹角的计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)y′=2(2x+3)⋅(2x+3)′=4(2x+3)=8x+12，
(2)y′=3(1−3x)2⋅(1−3x)′=−9(1−3x)2，
(3)y′=2e2x；
(4)y=ln1x=−lnx，则y′=−1x．
【解析】根据复合函数的求导法则即可求出．
本题考查了复合函数的求导法则，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=x3−6x2+9x−2，
∴f′(x)=3x2−12x+9=3(x−3)(x−1)，
故f(x)的极大值是f(1)=2，极小值是f(3)=−2；
(2)由(1)知：
即函数f(x)在区间[−2,2]上的最大值为2，最小值为−52．
【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
(2)根据函数的单调性以及极值，结合f(−2)，f(2)的值，求出函数的最值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)连接AM如图所示：
∵AM=AB+BM=AB+12BD=AB+12(BA+AD)=12AB+12AD=12(a+b)，
AN=23AD1=23(AA1+AD)=23(b+c)，
∴MN=AN−AM=23(b+c)−12(a+b)=−12a+16b+23c；
(2)因为平行六面体ABCD−A1B1C1D1，∠A1AD=∠A1AB=60°，
AA1=2，且底面ABCD是边长为1的正方形，
所以|a|=1，|b|=1，|c|=2，a⋅b=0，a⋅c=b⋅c=1×2×cs60°=1，
由(1)知|MN|2=(−12a+16b+23c)2=14|a|2+136|b|2+49|c|2−16a⋅b−23a⋅c+29b⋅c
=14+136+49×4−23+29=5836，∴|MN|= 586．
【解析】(1)根据空间向量基本定理及向量共线定理将MN转化为a，b，c即可；
(2)根据(1)中的结果，两边同时平方，根据向量数量积定义及模的公式计算结果即可．
本题考查了向量的数量积运算，考查向量的线性运算，考查向量的模的计算，属中档题．
21.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=13x3−x2，则f′(x)=x2−2x，∴f′(3)=9−6=3，
又f(3)=9−9=0，∴f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为：y=3(x−3)，即3x−y−9=0．
(2)由题意得：f(x)定义域为R，f′(x)=x2−ax=x(x−a)；
当a=0时，f′(x)=x2≥0，∴f(x)在R上单调递增；
当a<0时，若x∈(−∞,a)∪(0,+∞)，则f′(x)>0；
若x∈(a,0)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；
当a>0时，若x∈(−∞,0)∪(a,+∞)，则f′(x)>0；
若x∈(0,a)，则f′(x)<0；∴f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减；
综上所述：当a=0时，f(x)在R上单调递增；
当a<0时，f(x)在(−∞,a)，(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,0)，(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减．
【解析】(1)由导数几何意义可求得切线斜率f′(3)，结合f(3)=0可得切线方程；
(2)求导后，分别在a=0、a<0和a>0的情况下，根据f′(x)正负得到函数单调性．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：因为底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
所以AC⊥BC，
因为CC1⊥平面，所以CC1⊥BC，
又AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．
(2)以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，D(2,0,1)，
由(1)，CB=(0 , 2 , 0)是平面ACC1A1的一个法向量，
CB1=(0 , 2 , 2)，CD=(2 , 0 , 1)，
设平面B1CD的一个法向量为n=(x , y , z)，则n⋅CB1=2y+2z=0n⋅CD=2x+z=0，
令x=1，则z=−2，y=2，
所以n=(1 ,2 , −2)，
设CB与n的夹角为θ，则csθ=CB⋅n|CB|⋅|n|=42×3=23，
所以sinθ= 1−cs2θ= 53，
所以，二面角B1−CD−C1的正弦值为 53．
【解析】(1)推导出AC⊥BC，CC1⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACC1A1．
(2)以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1−CD−C1的大小．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
x
(−∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值2
单调递减
极小值−2
单调递增
x
−2
(−2,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
+
0
−
f(x)
−52
单调递增
极大值2
单调递减
0