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第27章《相似》——【期末复习】九年级数学下册章节知识点+思维导图+练习学案（人教版）
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这是一份第27章《相似》——【期末复习】九年级数学下册章节知识点+思维导图+练习学案（人教版），文件包含第27章《相似》解析版docx、第27章《相似》原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共64页， 欢迎下载使用。
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知识点1：相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把 称为相似图形(similar figures).
细节剖析：
(1) 相似图形就是指 的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“ ”且“ ”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的 ，我们就说它们是相似多边形．
细节剖析：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果 ，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是 ，简
细节剖析：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
知识点2：相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
细节剖析：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与 ，那么这两个三角形相似.
细节剖析：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形 即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角 那么这两个三角形 .
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的 ， 相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于 ；
相似三角形 的比都等于相似比.
细节剖析：
要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于
（4）相似三角形面积的比等于 。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等， 相等．
（2）相似多边形的周长比等于 ．
（3）相似多边形的面积比等于 ．
知识点3：位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段
细节剖析：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的 ，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为 ，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于
知识点4：黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的 ，这种分割就叫
黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形
为 ．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰 ．
知识点5：射影定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴；
；
（射影定理）；
（等积）．
考点提优练
考点01：黄金分割
1．（2022春•丰台区期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（参考数据：2.12＝4.41，2.22＝4.84，2.32＝5.29，2.42＝5.76）（ ）
A．在0.1到0.3之间B．在0.3到0.5之间
C．在0.5到0.7之间D．在0.7到0.9之间
2．（2021秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋•靖江市期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AC的长度为10cm，则BC的长度为 cm．（结果保留根号）
4．（2022春•旌阳区期末）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此，这个数我们把它叫做黄金分割数．若介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
5．（2021秋•上蔡县月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（gldensectin）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，∴……
任务：
（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；
②连结DA，在DA上截取DE＝DB；
③在AB上截取AC＝AE；
则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 ．
6．（2021秋•汉阳区月考）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取＝1.4，＝1.7，＝2.2）
考点02：平行线分线段成比例
7．（2022秋•上海期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋•泌阳县校级月考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为lcm/s，点Q的速度为2cm/s．当Q到达点C时两点同时停止运动．若此过程中有PQ∥AC．则当PQ∥AC时运动的时间是（ ）
A．2sB．2.4sC．3sD．1s或3s
9．（2022秋•辉县市校级月考）如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝ ．
10．（2022春•余杭区期末）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是 ．
考点03：相似多边形的性质
11．（2022春•芝罘区期末）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
12．（2022•镇海区二模）如图，点E、F、G、H分别在▱ABCD的AD、AB、BC、CD边上，EG∥CD，FH∥AD，EG与FH交于点P，连结BD交FH于点Q，连结BP，设▱AEPF、▱EDHP、▱FPGB、▱PHCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，若▱AEPF∽▱PHCG，则只需知道（ ），就能求△BPQ的面积．
A．S2﹣S1B．S3﹣S1C．S4﹣S1D．S4﹣S3
13．（2021•库尔勒市校级模拟）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形．
（1）仅有对应边成比例的两个四边形 相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）；
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，，求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
14．（2021春•鄂州期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长．
考点04：相似三角形的判定与性质
15．（2022秋•义乌市期中）如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．＝
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
16．（2022秋•海曙区期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的中点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝，则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值（ ）
A．CD取最大值时B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时D．OC⊥AB时
17．（2022秋•李沧区期中）如图，在矩形ABCD中，点E，点F分别是AD边和BC边的中点，BE⊥AC于点M，连接DM，DF，下列四个结论：①CM＝2AM；②S△ABM＝；③△AEB∽△DCA；④DM＝DC，其中正确的结论有 .（只填写序号即可）
18．（2022秋•天桥区期中）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC，连接DE，DF并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH．下列结论：①AG：GB＝1：2；②GH：AC＝2：3；③S△ADG＝S△BGH；④S△DCF：S△DGH＝9：16．其中正确的结论有 （填写所有有正确结论的序号）．
19．（2022秋•西安期中）（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF＝120°，则＝ ．
（2）如图2，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且ED⊥DF，求的值．
20．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．
（1）当x＝3时，求弦PA，PB的长度；
（2）用含有x的代数式表示PD•CD，并求出当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？
21．（2022秋•苏州期中）如图，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD•AC，点D在AC边上，以CD为直径画⊙O与AB交于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD＝DO＝1，求BE的长度．
考点05：相似三角形的应用
22．（2022秋•邓州市期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（ ）
A．4mB．4.5mC．5mD．6m
23．（2022秋•高新区校级月考）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB为（ ）
A．3cmB．3.75cmC．4cmD．4.25cm
24．（2022秋•福田区校级月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长度是（ ）
A．5毫米B．毫米C．毫米D．2毫米
25．（2022•七星关区二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为 m．
26．（2022秋•市中区校级月考）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长MM'＝ 米．
27．（2022秋•通州区校级月考）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为 cm．
28．（2022秋•泌阳县校级月考）延时课上，老师布置任务如下：让王林（AB）站在B点处去观测10m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林身高1.6m，大树高6.4m，请问如何放置平面镜P才能观测到大树的顶端？
29．（2022秋•荔城区校级月考）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN（平面镜大小忽略不计）
30．（2022•碑林区校级模拟）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约30厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本DA边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端M与DA边在一条直线上．这时让木条的一端与点A重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与BC边交于点E．经测量点A到地面的距离为1.2米，笔记本的长AD＝20厘米，宽AB＝14厘米，BE＝8厘米．一位同学从点A的正下方走向树的底部共走了21步，若该同学每一步的长为40厘米，请求出这棵树（MN）的高度．
考点06：作图-相似变换
31．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ．
32．（2018春•济宁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为 ．
33．（2022秋•昌平区期中）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．
34．（2022秋•宽城区校级月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似；
（2）在图②中画一个三角形，使它与△ABC相似（不全等）；
（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使．
考点07：位似变换
35．（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是（ ）
A．16B．9C．6D．4
36．（2022秋•西乡塘区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，且与△OAB的相似比为的位似图形，若点A的坐标为（3，2），则点C的坐标为（ ）
A．（1，）B．（﹣1，﹣）
C．（1，）或（﹣1，﹣）D．（﹣1，）或（1，﹣）
37．（2022•钟楼区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为 ．
38．（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
39．（2022秋•天桥区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，以点O为位似中心，△A1B1C1和△ABC相似比为2：1，在网格中画出新图象△A1B1C1，若每个小正方形边长均为1，请写出A1，B1，C1的坐标．
40．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
考点08：作图-位似变换
41．（2021秋•皇姑区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得
到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（ ）
A．（2，4）B．（4.2）
C．（2，4）或（﹣2，﹣4）D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
42．（2021秋•花都区期末）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 ．
43．（2021•牡丹区三模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 ．
44．（2022秋•西安期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上的三角形），以点O为位似中心，在给定的网格中画△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1位似（A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1），且相似比为1：2．
45．（2022秋•鲤城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在正方形网格中按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似．
（1）在第二象限中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的面积是△ABC的2倍．
（2）在第三象限中画出△A2B2C2，使得以点O为位似中心，△ABC与△A2B2C2位似比为1：2．
（3）在（2）条件下，若P（a，b）为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（ ， ）．
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知识点1：相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把 称为相似图形(similar figures).
细节剖析：
(1) 相似图形就是指 的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“ ”且“ ”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的 ，我们就说它们是相似多边形．
细节剖析：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果 ，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是 ，简
细节剖析：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
知识点2：相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
细节剖析：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与 ，那么这两个三角形相似.
细节剖析：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形 即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角 那么这两个三角形 .
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的 ， 相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于 ；
相似三角形 的比都等于相似比.
细节剖析：
要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于
（4）相似三角形面积的比等于 。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等， 相等．
（2）相似多边形的周长比等于 ．
（3）相似多边形的面积比等于 ．
知识点3：位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段
细节剖析：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的 ，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为 ，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于
知识点4：黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的 ，这种分割就叫
黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形
为 ．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰 ．
知识点5：射影定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴；
；
（射影定理）；
（等积）．
考点提优练
考点01：黄金分割
1．（2022春•丰台区期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（参考数据：2.12＝4.41，2.22＝4.84，2.32＝5.29，2.42＝5.76）（ ）
A．在0.1到0.3之间B．在0.3到0.5之间
C．在0.5到0.7之间D．在0.7到0.9之间
2．（2021秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋•靖江市期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），如果AC的长度为10cm，则BC的长度为 cm．（结果保留根号）
4．（2022春•旌阳区期末）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此，这个数我们把它叫做黄金分割数．若介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
5．（2021秋•上蔡县月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（gldensectin）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段AD上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段，如果AC：CD＝CD：AD，那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设AD＝1，CD＝x，则AC＝1﹣x．
∵AC：CD＝CD：AD，∴……
任务：
（1）请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
（2）如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝AB；
②连结DA，在DA上截取DE＝DB；
③在AB上截取AC＝AE；
则点C即为线段AB黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
（3）已知线段AB＝1，点C，D是线段AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长是 ．
6．（2021秋•汉阳区月考）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取＝1.4，＝1.7，＝2.2）
考点02：平行线分线段成比例
7．（2022秋•上海期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋•泌阳县校级月考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为lcm/s，点Q的速度为2cm/s．当Q到达点C时两点同时停止运动．若此过程中有PQ∥AC．则当PQ∥AC时运动的时间是（ ）
A．2sB．2.4sC．3sD．1s或3s
9．（2022秋•辉县市校级月考）如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝ ．
10．（2022春•余杭区期末）如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是 ．
考点03：相似多边形的性质
11．（2022春•芝罘区期末）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
12．（2022•镇海区二模）如图，点E、F、G、H分别在▱ABCD的AD、AB、BC、CD边上，EG∥CD，FH∥AD，EG与FH交于点P，连结BD交FH于点Q，连结BP，设▱AEPF、▱EDHP、▱FPGB、▱PHCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，若▱AEPF∽▱PHCG，则只需知道（ ），就能求△BPQ的面积．
A．S2﹣S1B．S3﹣S1C．S4﹣S1D．S4﹣S3
13．（2021•库尔勒市校级模拟）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形．
（1）仅有对应边成比例的两个四边形 相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）；
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，，求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
14．（2021春•鄂州期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长．
考点04：相似三角形的判定与性质
15．（2022秋•义乌市期中）如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（ ）
A．＝
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
16．（2022秋•海曙区期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的中点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝，则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值（ ）
A．CD取最大值时B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时D．OC⊥AB时
17．（2022秋•李沧区期中）如图，在矩形ABCD中，点E，点F分别是AD边和BC边的中点，BE⊥AC于点M，连接DM，DF，下列四个结论：①CM＝2AM；②S△ABM＝；③△AEB∽△DCA；④DM＝DC，其中正确的结论有 .（只填写序号即可）
18．（2022秋•天桥区期中）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC，连接DE，DF并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH．下列结论：①AG：GB＝1：2；②GH：AC＝2：3；③S△ADG＝S△BGH；④S△DCF：S△DGH＝9：16．其中正确的结论有 （填写所有有正确结论的序号）．
19．（2022秋•西安期中）（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF＝120°，则＝ ．
（2）如图2，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且ED⊥DF，求的值．
20．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．
（1）当x＝3时，求弦PA，PB的长度；
（2）用含有x的代数式表示PD•CD，并求出当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？
21．（2022秋•苏州期中）如图，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD•AC，点D在AC边上，以CD为直径画⊙O与AB交于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD＝DO＝1，求BE的长度．
考点05：相似三角形的应用
22．（2022秋•邓州市期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（ ）
A．4mB．4.5mC．5mD．6m
23．（2022秋•高新区校级月考）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB为（ ）
A．3cmB．3.75cmC．4cmD．4.25cm
24．（2022秋•福田区校级月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长度是（ ）
A．5毫米B．毫米C．毫米D．2毫米
25．（2022•七星关区二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为 m．
26．（2022秋•市中区校级月考）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长MM'＝ 米．
27．（2022秋•通州区校级月考）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为 cm．
28．（2022秋•泌阳县校级月考）延时课上，老师布置任务如下：让王林（AB）站在B点处去观测10m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林身高1.6m，大树高6.4m，请问如何放置平面镜P才能观测到大树的顶端？
29．（2022秋•荔城区校级月考）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN（平面镜大小忽略不计）
30．（2022•碑林区校级模拟）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约30厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本DA边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端M与DA边在一条直线上．这时让木条的一端与点A重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与BC边交于点E．经测量点A到地面的距离为1.2米，笔记本的长AD＝20厘米，宽AB＝14厘米，BE＝8厘米．一位同学从点A的正下方走向树的底部共走了21步，若该同学每一步的长为40厘米，请求出这棵树（MN）的高度．
考点06：作图-相似变换
31．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ．
32．（2018春•济宁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为 ．
33．（2022秋•昌平区期中）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．
34．（2022秋•宽城区校级月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似；
（2）在图②中画一个三角形，使它与△ABC相似（不全等）；
（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使．
考点07：位似变换
35．（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是（ ）
A．16B．9C．6D．4
36．（2022秋•西乡塘区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，且与△OAB的相似比为的位似图形，若点A的坐标为（3，2），则点C的坐标为（ ）
A．（1，）B．（﹣1，﹣）
C．（1，）或（﹣1，﹣）D．（﹣1，）或（1，﹣）
37．（2022•钟楼区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为 ．
38．（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
39．（2022秋•天桥区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，以点O为位似中心，△A1B1C1和△ABC相似比为2：1，在网格中画出新图象△A1B1C1，若每个小正方形边长均为1，请写出A1，B1，C1的坐标．
40．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．
考点08：作图-位似变换
41．（2021秋•皇姑区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得
到△A'B'O．若点B的坐标为（2，1），则点B'的坐标为（ ）
A．（2，4）B．（4.2）
C．（2，4）或（﹣2，﹣4）D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
42．（2021秋•花都区期末）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为 ．
43．（2021•牡丹区三模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 ．
44．（2022秋•西安期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上的三角形），以点O为位似中心，在给定的网格中画△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1位似（A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1），且相似比为1：2．
45．（2022秋•鲤城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在正方形网格中按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似．
（1）在第二象限中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的面积是△ABC的2倍．
（2）在第三象限中画出△A2B2C2，使得以点O为位似中心，△ABC与△A2B2C2位似比为1：2．
（3）在（2）条件下，若P（a，b）为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为（ ， ）．
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