北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第五章生活中的轴对称4利用轴对称进行设计——尖子生成长计划6活用“三线合一’’巧解题

4  利用轴对称进行设计

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利用轴对称设计图案

（）图案的设计常常利用对称、倒置、旋转、重复等手段和形式，尤其是利用轴对称的性质“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________”为依据来设计图案．

（）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有__________个．

【答案】（）垂直平分线

（）

【解析】

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考点一：剪纸中的轴对称

1．过新年时，小强家的窗户上贴着如图所示的美丽的剪纸图案，它的对称轴有（    ）条．

A．      B．      C．      D．无数

【答案】C

【解析】

2．如图，把一张正方形纸片对折三次后沿虚线剪下，展开后得到的图形是（    ）．

 A．  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】

3．如图，一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后得到的图形是（    ）．

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】

考点二：设计轴对称图形

4．如图，由个小正方形组成的田字格，的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上能画出与成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有（    ）．

   A． 个      B．个      C．个      D．个

【答案】C

【解析】

5．如图，由小正方形组成的“”形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使宦成为轴对称图形．

【答案】见解析

【解析】解：如图所示．

6．如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以直线为对称轴画出它的另一半．

【答案】略

【解析】

7．如图，草原上有两个居民点，，是一条公路，是一条河流．一汽车从出发，把一批参加社会实践活动的学生送到公路上，再到河边去加水，最后回到．问：怎样安排两个停靠点，，可使行驶的路程最短？（作图回答）（数学思想链接：转化思想）

【答案】见解析

【解析】解：如图所示．

强化训练 综合演练 强化能力

1．（分）永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（    ）．

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】

2．（分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线所在直线对称，那么下列图案中不符合要求的是（    ）．

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】

3．（分）（2016•资阳一模）如图，图乙的图案是由图甲中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（    ）．

A．①②      B．①③    C．①④    D．③⑤

【答案】B

【解析】

4．（分）在如图所示的方格纸上画有条线段，若再画一条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有__________种．

【答案】

【解析】

5．（分）请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）

【答案】见解析

【解析】解：示例：如图所示．

6．（分）将一张正方形的纸沿对角线对折一次后，得到一个等腰直角三角形，沿等腰直角三角形底边上的高对折一次，又得到一等腰直角三角形，再沿着其底边上的高对折一次，共对折了三次后，在中间剪去一个小圆，则展开盾得到的图形有几条对称轴？

【答案】条

【解析】

7．（分）在现实生活中，很多优美的图形都是由几个简单的几何图形组成的，请你用圆、三角形、线段三个几何图形，依照图中的例子设计三个不同的轴对称图案，并赋予它一个合适、有趣的名称．

【答案】见解析

【解析】解：答案不唯一．

8．（分）（拓展提升题）（2016•深圳期末）观察设计．

（）观察如图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征．

（）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能一样）

【答案】见解析

【解析】解：（）示例：所给个四个图案具有的共同特征：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案．

（）示例：

尖子生成长计划6  活用“三线合一’’巧解题

一、利用“三线合一”求角的度数

1．如图，已知房屋顶角，过屋顶的立柱，屋檐．求顶架上的，，，的度数．

【答案】见解析

【解析】解：因为，，，

所以，．

二、利用“三线合一”求线段的长度

2．如图，在中，，，于点，若，且的周长为，求的长．

【答案】见解析

【解析】解：因为的周长，，所以．

因为，所以．

所以．

又因为，，

所以．

三、利用“三线合一”说明线段相等

3．如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线交于点，，垂足为．试说明：．

【答案】见解析

【解析】解：因为，为边上的中线，

所以，即（三线合一）．

因为为的平分线，，，

所以．

四、利用“三线合一”说明角相等

4．如图，是的角平分线，且，交于点．试说明：．

【答案】见解析

【解析】解：因为平分，，

所以垂直平分．

所以．所以．

又因为，

所以．

所以．

五、利用“三线合一”说明垂直平分

5．如图，已知是的角平分线，， 分别是和的高．试说明：垂直平分．

【答案】见解析

【解析】解：因为，，，，

所以≌．

所以．

又因为平方，

所以垂直平分．

六、利用“三线合一”说明角的倍分关系

6．如图，在中，，，垂直平分，，．试说明：．

【答案】见解析

【解析】解：因为垂直平分，所以．

因为，

所以是等腰直角三角形．

所以．

又因为，

所以．

所以．

因为，，所以．

又，所以，

所以，

所以．

因为，所以，

所以．

七、利用“三线合一”说明线段的倍分关系（构造三线法）

7．如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点．试说明：．

【答案】见解析

【解析】解：如图，延长，交于点．

因为平分，，，

所以≌．

所以，．

因为，，，

所以．

又，，

所以≌，

所以．

故．

八、利用“三线合一”说明线段的和差关系（构造三线法）

8．如图，在中，于点，且．试说明：．

【答案】见解析

【解析】解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则，

所以．

因为，所以是边上的中线，即．

又因为，所以．

而，

所以．

过点作于点，

易知≌，

则，故．