浙江省杭州市2023年中考数学考前模拟冲刺试题

浙江省杭州市2023年中考数学考前模拟冲刺试题

一、单选题(共10题；共30分)

1．（3分）下列算式计算正确的是（　　）  

A． B．

C． D．﹣5﹣(﹣2) =﹣3

2．（3分）2022年，北京冬奥会成功举办，国家体育总局曾委托国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”统计调查.调查数据显示，截至2021年10月，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人（　　）

A．34.6×107 B．3.46×108 C．0.346×109 D．3.46×109

3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）  

A． B． C． D．

4．（3分）已知点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（　　） 

A．平均数是80分 B．众数是5

C．中位数是80分 D．方差是110

6．（3分）如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为(　　)

A． B． C． D．

7．（3分）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（　　） 

A．-25 B．-24 C．35 D．36

8．（3分）两张长方形纸片按如图所示的方式叠放在一起，则图中相等的角是（　　） 

A． 与  B． 与

C． 与  D．三个角都相等

9．（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

10．（3分）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处．已知AB=，∠B=30°， 则DE的长是（　　）
 

A． B．6 C．4 D．2

二、填空题(共6题；共24分)

11．（4分）计算： 　     　.  

12．（4分）如图， 中， ， 分别在 ， 上， ，若 ，则 　     　. 

13．（4分）若不等式组 有解，则 的取值范围是　     　.

14．（4分）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为　     　 cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 

15．（4分）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　     　． 

16．（4分）如图，点D是中AB边上的点，点E是CD的中点，连接AE、BE，若的面积为8，则阴影部分的面积为　     　．

三、解答题(共7题；共66分)

17．（6分）计算                    

（1）（3分）计算（﹣ ）﹣2﹣16÷（﹣2）3+（π﹣tan60°）0﹣2 cos30°；

（2）（3分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中x满足方程x2+4x﹣5=0．

18．（8分）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

（1）（2分）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 　      　度，并将条形统计图补充完整.

（2）（2分）如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有　     　人.

（3）（4分）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选网名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.

19．（8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点.

（1）（4分）求证：BD＝AE.

（2）（4分）若线段AD＝5，AB＝17，求线段ED的长.

20．（10分）如图，在 中，BD是它的一条对角线，

（1）（3分）求证： ；

（2）（3分）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；

（3）（4分）连接BE，若 ，求 的度数.

21．（10分）某超市经销一种商品，每千克成本为 元.试销发现该种商品每天销售量 （千克）与销售单价 （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示： 

（1）（3分）求 （千克）与 （元/千克）之间的函数表达式.  

（2）（3分）为保证某天获得 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？  

（3）（4分）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？  

22．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

（1）（2分）∠EDC的度数为　     　；

（2）（3分）连接PG，求△APG 的面积的最大值；

（3）（3分）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

（4）（4分）求的最大值．

23．（12分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）（3分）求A、B、C的坐标；

（2）（4分）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）（5分）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2 DQ，求点F的坐标．

答案解析部分

1．【答案】D

【解析】【解答】解：A、32=9，故错误；

B、 ，故错误；

C、 ，故错误；

D、-5-（-2）= -3，故正确.

故答案为：D.

【分析】根据有理数的乘方、乘除法以及加减法的法则进行计算即可.

2．【答案】B

【解析】【解答】解：将数据3.46亿用科学记数法表示为346000000＝3.46×108.

故答案为：B.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.

3．【答案】C

【解析】【解答】解：A. 3 ，故此选项错误；

B. ， 故此选项错误；

C.    故此选项正确；

D. ，故此选项错误.

故答案为：C.

【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断C；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D.

4．【答案】A

【解析】【解答】解：设点P坐标为

点P在第二象限，
∴，

∵点P到x轴的距离为2，到y轴的距离是3

∴

∴

即点P坐标为

故答案为：A.

【分析】根据点坐标的定义及点坐标与象限的关系求解即可。

5．【答案】C

【解析】【解答】解：由折线统计图知，这10个数据为60、70、80、80、80、80、80、90、90、100，

所以这组数据的平均数是 =81（分），
众数是80分，
中位数是 =80（分），

方差为 ×[（60-81）2+（70-81）2+（80-81）2×5+（100-81）2]=639.2，

故答案为：C.

【分析】根据折线统计图得出这10个数据为60、70、80、80、80、80、80、90、90、100，再利用平均数、众数、中位数及方差的定义求解可得.

6．【答案】A

【解析】【解答】解：列表得：

由表格可知，所有等可能的情况数有9种，其中颜色相同的情况有3种，则任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为 .
故答案为：A.

【分析】列出表格，找出总情况数以及任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的情况数，然后利用概率公式进行计算.

7．【答案】D

【解析】【解答】解：∵已知 ， 是方程 的两根

∴ ， ，a+b=3

∴ =0+5+30+1=36.

故答案为：D.

【分析】由一元二次方程的根的定义和根与系数的关系可得：a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，a+b=3，然后用整体的代换计算即可求解.

8．【答案】B

【解析】【解答】解：如图，

∵∠4+∠5=90°，∠6+∠7=90°，∠5=∠6，

∴∠4=∠7．

∵∠1+∠7=180°，∠3+∠4=180°，

∴∠1=∠3．

∵∠8+∠9=90°，∠CAE+∠9=90°，

∴∠8=∠CAE．

∵∠8=180°-∠2，∠CAE=∠1-90°，

∴180°-∠2 =∠1-90°，

∴∠1+∠2=270°，无法说明∠1与∠2相等．

∴图中相等的角是∠1与∠3．

故答案为：B．

【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，以及直角三角形两锐角互余即可求解．

9．【答案】A

【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y

故答案为：A.

 【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”，列出二元一次方程组即可.

10．【答案】C

【解析】【分析】先根据含30°的直角三角形的性质可求得AC的长，再根据折叠的性质可得AE的长，从而可得BE的长，最后再根据含30°的直角三角形的性质即可求得结果.
【解答】∵AB=，∠B=30°
∵∠B=30°

所以
所以DE=BEx=
故选C.
【点评】解题的关键是熟练掌握含30°的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半.

11．【答案】

【解析】【解答】 ；故答案为 .

【分析】根据平方差公式计算即可.

12．【答案】1:2

【解析】【解答】解：∵DE∥BC，

∴AE：AC=AD：AB=1：2，

故答案为：1：2．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到答案．

13．【答案】

【解析】【解答】解： ，

由①得： ，

由②得： 

∵不等式组有解，

∴ ，

解得： ，

故答案为： .

【分析】先解不等式组，再根据题意，“大小小大”列关于 的不等式求解.

14．【答案】2.7

【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E． 

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，

∴BD=OD=2cm，

∴CE=BD=2cm．

在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，

∵tan37°= ≈0.75，∴OE≈2.7cm．

∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．

故答案为2.7．

【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．

15．【答案】4π

【解析】【解答】解：弧CD的长是 = ， 

弧DE的长是： = ，

弧EF的长是： =2π，

则曲线CDEF的长是： + +2π=4π．

故答案为：4π．

【分析】弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．

16．【答案】4

【解析】【解答】解：∵点E是CD的中点，

∴S△ACE=S△ADE，S△BCE=S△BDE，

∴阴影部分的面积=S△ABC=×8=4．

故答案为：4．

【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得阴影部分的面积=S△ABC=×8=4。

17．【答案】（1）解：原式=9+2+1﹣3=9

（2）解：原式= • ﹣ = ﹣ = ，

方程x2+4x﹣5=0，变形得：（x﹣1）（x+5）=0，

解得：x=1或x=﹣5，

经检验x=1不合题意，舍去，

则当x=﹣5时，原式=﹣

【解析】【分析】（1）根据实数的运算性质即可求解。即原式=9+2+1﹣3=9；
（2）根据分式的混合运算法则即可化简，根据分式有意义的条件可求出x的取值范围，再将x的值代入化简的分式即可求解。即原式==；因为分式有意义，所以x+2≠0，x-1≠0，x≠0，解方程x2+4x﹣5=0可得．x=1或x=﹣5，结合分式有意义得x=﹣5，所以原式=.

18．【答案】（1）解：72

全年级总人数为（人），

“良好”的人数为（人），

将条形统计图补充完整，如图所示：

（2）136

（3）解：画树状图，如图所示：

共有个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，

∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）=.

【解析】【解答】解：（1）；

故答案为：；

（2）参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人），

故答案为：136；

【分析】（1）根据百分比之和为1求出优秀所占的比例，然后乘以360°可得优秀所占扇形圆心角的度数，利用较差的人数除以所占的比例求出总人数，然后求出良好的人数，据此可补全条形统计图；
（2）利用良好所占的比例乘以340即可；
（3）画出树状图，找出总情况数以及选中的两名同学恰好是甲、丁的情况数，然后根据概率公式进行计算.

19．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，

∵∠ACD＝∠DCE＝90°，

∴∠ACE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴BD＝AE.

（2）解：∵AD＝5，AB＝17，

∴BD＝17﹣5＝12，

由（1）得AE＝BD＝12，

∵∠EAD＝90°，

∴ED

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，根据等角的余角相等可得∠ACE＝∠BCD，证明△ACE≌△BCD，据此可得结论；
（2）由AD、AB的值可得BD，由全等三角形的性质可得AE＝BD＝12，然后由勾股定理求解即可.

20．【答案】（1）证明： 四边形ABCD是平行四边形，

，

，

（2）解：如图，EF即为所求；

（3）解： BD的垂直平分线为EF，

，

，

，

，

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，然后根据全等三角形的判定定理SSS进行证明；
（2）分别以点D、B为圆心，大于BD一半的长度为半径画弧，两弧在BD的两侧分别相交，过两交点作直线交AD于点E，交BC于点F，该线就是线段BD的垂直平分线；
（3）根据垂直平分线的性质可得BE=DE，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠BDE=25°，由外角的性质可得∠AEB=∠BDE+∠DBE，据此计算.

21．【答案】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（70，40）代入得： 

，

解得： .

∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+180.

（2）由题意得：（x-50）（-2x+180）=600， 

整理得：x2-140x+4800=0，

解得x1=60，x2=80.

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克.

（3）设当天的销售利润为w元，则： 

w=（x-50）（-2x+180）

=-2（x-70）2+800，

∵-2＜0，

∴当x=70时，w最大值=800.

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.

【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；

（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；

（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.

22．【答案】（1）45°

（2）解：如图：连接PG

∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC

∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形

∴DF=EF= ，GF=CF= ，

设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE

∴DE=，EF=

∵Rt△APC，

∴PC=

∴CE=

∵Rt△EFC

∴FC=FG=

∴CG=CF=

∴AG=12-CG=12-=

∴S△APG=

所以当x=6时，S△APG有最大值9．

（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：

∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF

∴△GFD≌△CFE(SAS)

∴DG=CE

∵E是PC的中点

∴PE=CE

∴PE=DG；

∵△GFD≌△CFE

∴∠ECF=∠DGF

∵∠CEF=∠PEG

∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．

（4）解：∵△GFD≌△CFE

∴∠CEF=∠CDH

又∵∠ECF=∠DCH

∴△CEF∽△CDH

∴，即

∴

∵FC= ，CE=，CD=

∴

∴的最大值为．

【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12

∴∠B=∠ACB=45°

∵D、E分别为BC、PC的中点

∴DE∥BP，DE=

∴∠EDC=∠B=45°．

故答案为：45°；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°，由题意可得DE为△BCP的中位线，则DE∥BP，DE=BP，然后根据平行线的性质进行解答；
（2）连接PG，易得△EDF和△GFC是等腰直角三角形，则DF=EF=DE，GF=CF=CG，设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，表示出DE、EF，由勾股定理可得PC、FC，然后表示出CE、CG、AG，根据三角形的面积公式可得S△APG，再利用二次函数的性质进行解答；
（3）易证△GFD≌△CFE，得到DG=CE，根据中点的概念可得PE=CE，则PE=DG，根据全等三角形的性质可得∠ECF=∠DGF，推出∠GHE=∠EFC=90°，据此解答；
（4）根据全等三角形的性质可得∠CEF=∠CDH，证明△CEF∽△CDH，根据相似三角形的性质可得，然后结合不等式的性质进行解答.

23．【答案】（1）解：由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），

令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）

（2）解：方法一：由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，

设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴当m=﹣2时矩形的周长最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，

解得k=1，b=3，

∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= •AM•EM=

方法二：

设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（﹣2﹣t，﹣t2﹣2t+3），

∴矩形PQMN周长为：2PQ+2PM，

∴2PQ+2PM=2（﹣2﹣t﹣t）+2（﹣t2﹣2t+3），

∴2PQ+2PM=﹣2t2﹣8t+2，

∴当t=﹣2时，周长最大，

∴P（﹣2，3），

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴lAC：y=x+3，

∵点E在直线AC上，且EX=PX，

把x=﹣2代入，

∴E（﹣2，1），

∴S△AEM= AM×EM= ×1×1=

（3）解：方法一：∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，

∴N应与原点重合，Q点与C点重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，

∴D（﹣1，4）

∴DQ=DC= ，

∵FG=2 DQ，

∴FG=4，

设F（n，﹣n2﹣2n+3），

则G（n，n+3），

∵点G在点F的上方，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，

解得：n=﹣4或n=1．

∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）

方法二：

∵D为抛物线顶点，∴D（﹣1，4），Q（0，3），

∴DQ= ，

∵FG=2 DQ=2 × =4，

∴t2+3t﹣4=0，

∴t1=﹣4，t2=1，

∴F1（﹣4，﹣5），F2（1，0）

【解析】【分析】方法一：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．（2）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．（3）设F（n，﹣n2﹣2n+3），根据已知若FG=2 DQ，即可求得．

方法二：（1）略．（2）求出P，Q的参数坐标，并得出周长的函数表达式，求出P点，进而求出E点坐标，并求出△AEM的面积．（3）求出D点坐标，并求出DQ长度；再求出F，G的参数坐标，并得到FG的函数表达式，利用FG=DQ，求点F的坐标