2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义即可求.

【详解】

故选：C.

2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.

【详解】依题意可得，分别是关于的一元二次方程的两根，根据韦达定理可得：.

故选：A.

3．下列函数是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.

【详解】函数为非奇非偶函数；函数为非奇非偶函数；

函数为奇函数，函数为偶函数.

故选：D.

4．已知则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可．

【详解】因为，，，所以.

故选：A．

5．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可.

【详解】由得，

因为若，则，反之不成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

即“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义得，再运用二倍角公式解决即可.

【详解】由题得，角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，

所以,

所以，

所以，

故选：A

7．2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米/秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒，则至少约为（结果精确到，参考数据：，）（   ）

A．吨 B．吨 C．吨 D．吨

【答案】B

【分析】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可.

【详解】因为当时，，

所以，

由，

得，

所以，

解得（吨），

即至少约为吨.

故选：B

8．已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可

【详解】令，即,解得,

所以，

当时，由在定义域内单调递减可得，

当时，由二次函数的性质可得,

综上，函数的最大值为，

故选：D

二、多选题

9．下列选项中其值等于的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案．

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D正确．

故选：BD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”

B．若正数满足，则

C．函数的最小正周期是

D．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于

【答案】BCD

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；利用基本不等式可判断B；利用三角函数的周期公式可判断C；利用扇形的弧长公式可判断D.

【详解】命题“”的否定是“”，故A错误；

，当且仅当时，等号成立，故B正确；

函数的最小正周期，故C正确；

半径为1，圆心角为的扇形的弧长为，故D正确.

故选：BCD.

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于轴对称

B．函数在区间上单调递增

C．

D．

【答案】BC

【分析】由函数的定义可判断A；由函数与都是上的增函数可判断B；计算等式的两边进行验证可判断C、D.

【详解】由函数的定义可知，函数的图象不关于轴对称，故A错误；

因为函数与都是上的增函数，则是上的增函数，所以函数在区间上单调递增，故B正确；

，故C正确；

，，故D错误．

故选：BC.

12．已知正实数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】令，得出．选项A，根据换底公式计算即可判断；选项B，结合作差法和换底公式即可判断；选项C、D，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断．

【详解】令，则，可得：，，．

对于A，，故A正确；

对于B，因为，故，

，即；

，即，故B错误．

对于C，，，，

因为，（因为所以等号不成立），

所以，则，即，故C错误；

对于D，，，，

因为，（因为所以等号不成立），

所以，则，即，故D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________.

【答案】

【解析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解.

【详解】设，函数图像经过，

可得，解得，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

14．__________.

【答案】

【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.

【详解】解：.

故答案为：3.

15．若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】由条件（1）可判断函数在上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），即可得解.

【详解】由条件（1）对于任意实数，当时，都有，可得函数在上单调递增，

条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），

故可选一个单调递增的指数函数：．

故答案为：（答案不唯一）．

16．已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据分段函数，得函数图象，求得是所有可能的根，结合图象可的方程恰有2个实数解时的取值范围.

【详解】解：函数，函数图象如下图所示：

方程，若，即；若，得，；

结合图象可知：

当时，方程仅有一个实数解；

当时，方程恰有两个实数解，；

当时，方程恰有三个实数解，，；

当时，方程恰有两个实数解，；

综上，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由交集的定义求解即可；

（2）根据题意列出不等式组求解．

【详解】（1）当时，

因为

所以.

（2），

恒成立，，

，解得：，

故实数的取值范围为.

18．已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)若函数，求的零点.

【答案】(1)

(2)零点为.

【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可；

（2）令，得，解方程即可．

【详解】（1）由题意得，解得.

所以的定义域为.

（2）令

，解得，

故的零点为.

19．（1）已知，求的值；

（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.

已知为第四象限的角，__________.求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意得，所求式子弦化切代入计算即可；

（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得，然后利用两角差的正弦计算即可；选择②：利用结合角的范围求得，然后利用两角差的正弦计算即可.

【详解】（1）由，得，

（2）选择①：，即，

为第四象限的角，，

又，

，

.

选择②：，，

，

为第四象限的角，，

，

.

20．为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产百件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品销售单价为万元/件，且每年生产的产品当年能全部销完．

(1)求全年的利润万元关于年产量百件的函数关系式；

(2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．

【分析】（1）根据题意分为，两种情况，求得函数解析式；

（2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．

【详解】（1）（1）当时，

当时，

则

（2）（2）若，，

则当时，（万元）

若（万元），

当且仅当时“＝”成立．

则当时，（万元）

万元万元，

故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．

21．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案；

（2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.

【详解】（1）由图像可知，周期，

，

因为点在函数图像上，

所以，即，

又，

，

则，即，

因为点在函数图像上，所以，即，

故函数的解析式为.

（2）由题意可得，

设

，当时，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

在区间上单调递减，

令，解得，

因为，所以，则，

故，解得，

所以最大值为.

22．已知函数为奇函数.

(1)利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；

(2)若正数满足，求的最小值；

(3)解不等式.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用函数的奇偶性得出，然后利用函数单调性的定义证明即可；

（2）由已知条件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可；

（3）令，易知是奇函数，且在上单调递增，又，不等式，从而，求解即可．

【详解】（1）函数的定义域是，由题意得，解得：，则，

，为奇函数，故，

任取，且，

则，

因为，且，所以，

所以，故，

所以函数在上单调递增；

（2）因为为奇函数，

所以，又函数在上单调递增，

所以正实数满足，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

（3）令，

因为和都是奇函数，且在上单调递增，所以是奇函数，且在上单调递增.

又，不等式.

从而，解得或.

故不等式的解集为.