2022-2023学年陕西省安康市高一下学期开学摸底考试数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省安康市高一下学期开学摸底考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求出集合，再与集合求并集即可.

【详解】不等式等价于，

∵在区间上单调递增，∴，即，

又∵，∴.

故选：A.

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】特称命题的否定：将存在改为任意并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.

故选：D

3．（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角差的正弦公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果．

【详解】由两角差的正弦公式得，

故选C．

【点睛】本题考查两角差的正弦公式求值，要熟悉两角和与差的正、余弦公式的结构，根据代数式的结构选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题．

4．设是定义域为R的偶函数，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和，从而得到，即的周期为，从而利用函数周期和奇偶性求出.

【详解】因为是定义域为R的偶函数，

所以，

故，

所以的周期为，

故.

故选：C

5．设扇形的周长为，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】设扇形半径为，由周长求出弧长为，根据扇形面积公式求出面积最大时的值，并由此算出圆心角的弧度数，或使用基本不等式利用半径的二倍与弧长的和为定值结合扇形面积公式进行求解.

【详解】方法一：

设扇形的半径为（），则扇形的弧长（），

扇形的面积，（），

由二次函数知识，当（满足）时，扇形的面积取最大值，

此时，扇形的弧长，扇形圆心角的弧度数.

方法二：

设设扇形的半径为，弧长为（，），则扇形的周长，

由基本不等式，

扇形的面积，当且仅当时取等号，

此时，扇形的圆心角的弧度数.

故选：B.

6．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别根据指数函数，对数函数和余弦函数的单调性求出取值范围即可判断.

【详解】由指数函数的单调性可知：；

由对数函数的单调性可知：；

由余弦函数的单调性可知：，

故选：.

7．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】直接利用二倍角的正弦公式换化简，再利用齐次式进行弦切互化，得出，即可求出，即可判断充分条件和必要条件.

【详解】解：，

则或，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.

8．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ）

A．10 B．14 C．16 D．18

【答案】B

【分析】在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像与函数，根据图像可知两函数交点个数且图像都关于直线对称，然后利用图象关键点估算得到所有交点的对数，由对称性即可得到所有点的横坐标之和.

【详解】易知函数与的图象都关于直线对称，函数的周期，

当时，，

当时，，作出两函数的大致图象如图所示，

由图可知两函数图象共有7对关于直线的对称点，且每对交点的横坐标之和为2，

故所有交点的横坐标之和为14.

故选：B

二、多选题

9．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对A、B：利用作差法分析判断；对C、D：根据基本不等式分析判断.

【详解】对A、B：∵，则，

∴，即，，A、B正确；

对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；

对D：∵，则，

∴，D正确.

故选：ABD.

10．下列函数在区间上存在唯一零点的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，求出函数的零点、利用零点存在性定理判断即可作答.

【详解】的解为在区间上没有零点，故A错误；

在上为增函数，且在区间上存在唯一零点，故B正确；

在上为增函数，且在区间上存在唯一零点，故C正确；

在上为减函数，且在区间上存在唯一零点，故D正确.

故选：BCD

11．已知函数，则（    ）

A．的值域为 B．是上的增函数

C．是上的奇函数 D．的解集为

【答案】ABC

【分析】由在上单调递增，可得在的单调性、值域，再将代入可得的奇偶性，再解不等式，可知错误.

【详解】由在上单调递增，在上单调递减，

可得函数在上单调递增，正确；

且，正确；

又，正确；

，即，即，错误.

故选.

12．已知函数，则（    ）

A．是奇函数 B．的最小值是2

C．的最小正周期是 D．在单调递减

【答案】AC

【分析】先将函数化简整理，根据正弦函数的周期和奇偶性即可判断选项；取特殊值代入即可判断选项；根据正弦函数的单调性即可判断选项.

【详解】的定义域为关于原点对称，

，是奇函数，且最小正周期是，所以选项正确；

取，则，故选项错误；

因为由的图象和性质易得在先减后增，故选项错误.

故选：.

三、填空题

13．的值为_______

【答案】

【分析】直接按照诱导公式转化计算即可．

【详解】tan300°=tan（300°﹣360°）=tan（﹣60°）=﹣tan60°=

故答案为：

【点睛】本题考查诱导公式的应用：求值．一般采用“大角化小角，负角化正角”的思路进行转化．

14．函数单调减区间为______．

【答案】

【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数单调性求解单调递减区间即可.

【详解】解：函数的定义域满足，解得或，

又函数在上单调递减，在上单调递增，

函数在上单调递增，

由复合函数单调性可得：函数单调减区间为.

故答案为：.

15．将函数的图象先向右平移个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则的一个可能取值为_________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】化简函数、的解析式，并求出平移后的函数解析式，可得出关于的等式，由此可得结果.

【详解】因为，

将函数的图象先向右平移个单位，可得到函数的图象，

再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，可得到函数的图象，

因为，

所以，，可得，

故的一个可能取值为.

故答案为：（答案不唯一）.

16．已知两条直线和与函数的图象从左至右相交与点与函数的图象从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时,的最小值为_________.

【答案】

【分析】设出的横坐标,根据线和与函数的图象相交的情况,列出等式,进而求得各点横坐标,列出,化简,利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】解:不妨设各点的横坐标分别为,

则有

,

解得

所以,

当且仅当,即时取等,

所以的最小值为.

故答案为:

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求出.

(2)根据对数的运算性质即可求得.

【详解】（1）；

（2）.

18．已知幂函数为偶函数

(1)求幂函数的解析式；

(2)若函数在上单调，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据幂函数和偶函数的定义可求结果；

（2）先求解的解析式，结合二次函数知识可得实数的取值范围.

【详解】（1）依题意有：，

解得或；

又函数为偶函数，则，

所以.

（2）；

由题知：或，

所以或.

19．函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式;

(2)若函数在区间有5个零点,求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据图象可得,将代入解析式,结合即可得出解析式;

(2)由(1)的解析式,对相位进行换元,则函数在区间有5个零点即即在区间有5个零点,根据的图象,列出不等式求出范围即可.

【详解】（1）解:因为由图象可知

且有所以,

因为图象过点所以

即解得,

因为所以故.

（2）由(1)知,

因为所以,

由函数在区间上有5个零点,

即在区间有5个零点,

由的图象知,只需即可,

解得,故.

20．已知函数是定义在上的奇函数，当

(1)求函数的解析式;

(2)解不等式

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由是奇函数，，以及，求解即可；

（2）转化为，结合函数单调性以及函数定义域，列出不等式求解即可.

【详解】（1）由题意当时，，

故

又是奇函数，所以，所以

（2）

又是奇函数，所以

由都为上的增函数，故在上递增，

又是奇函数，，

故是上的增函数

不等式的解集为

21．已知.

(1)求的值；

(2)求角的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由求得，再由倍角公式求得并根据的范围取舍；

（2）由的范围求出的范围，分别求出，的值，利用，代入计算即可求出，然后结合的范围求出.

【详解】（1），

解得或，

；

（2）

由 得，

.

,

，.

22．已知函数（）的图象相邻两对称轴间的距离为.

(1)求函数的最大值及其单调递增区间；

(2)是否存在实数满足：，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，单调递增区间为，.

(2)存在，.

【详解】（1）由已知，

∵函数的图象相邻两对称轴间的距离为，

设的最小正周期为，∵，∴，∴，

∴，

∴当（），即（）时，的最大值，

令，，

解得，，

∴的单调递增区间为，.

（2）由第（1）问知，，

只需判断是否存在实数满足：，，

令，∵易知在上单调递增，∴当时，，

∴，

∴只需判断否存在实数满足：，，

即在上恒成立.

令，其对称轴方程为，当时，

①若，即，在区间上单调递增，

的最小值为，令，解得，

∴此时；

②若，即，在区间上单调递减，区间上单调递增，

的最小值为，令，解得，

∴此时；

③若，即，在区间上单调递减，

的最小值为，令，解得，

∴此时，

综上所述，当时，在上恒成立.

∴存在实数满足：，.