2023年中考数学高频考点训练--二次函数 （含答案）

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2023年中考数学高频考点训练--二次函数
一、综合题(共16题；共226分)
1．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
2．如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.

（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由.
（2）当OD=2时，求CP的长.
（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1-S2的最值.
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，抛物线y= a(x-2m)2-m .（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m）．点A关于直线l的对称点为B，作BC⊥x轴于点C，连接PC、PB，与抛物线、x轴分别相交于点D、E，连接DE．将△PBC沿直线PB翻折，得到△PBC′．

（1）该抛物线的解析式为　 　； （用含m的式子表示）；
（2）探究线段DE、BC的关系，并证明你的结论；
（3）直接写出C′点的坐标（用含m的式子表示）．
5．在平面直角坐标系中，已知y=-12x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移1中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为2时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
（3）在2的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
6．如图1，一次函数y=-x-3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于另一点B（1，0）

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，若点D为BC的中点.
①求直线AD的表达式；
②以AC为直径作⊙M交直线AD于点N，求点N的坐标；
（3）如图3，若点E为AB的中点，点F为抛物线上一点，直线EF与AC所夹锐角为α，且tanα= 12 ，求点F的坐标（直接写出坐标）.
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合)．

（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD，BD，DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE＝S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
8．如图，直线y=kx+2与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y=-43x2+bx+2经过点A，B．

（1）求k的值和抛物线的解析式．
（2）M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．
9．已知抛物线y＝﹣ 12 （x+5）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）直接写出点B、C的坐标；（用含m的式子表示）
（2）若抛物线与直线y＝ 12x交于点E、F，且点E、F关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为 258 时，求m的取值范围．
10．如图，直线 y=-x+c 与 x 轴交于点 B(3,0) ，与 y 轴交于点 C ，过点 B ， C 的抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A ．

（1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标；
（2）P 是直线 BC 上方抛物线上一动点， PA 交 BC 于 D ．设 t=PDAD ，请求出 t 的最大值和此时点 P 的坐标．
11．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．
12．如图，已知二次函数 y=ax2-ax-3 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且 AB=5 ，直线 y=kx+b(k>0) 与二次函数的图象交于点M，N（点M在点N的右边），交y轴于点P，交x轴于点Q.

（1）求二次函数的解析式；
（2）若 b=-5 ， S△OPQ=254 ，求直线 MN 的解析式；
（3）若 b=-3k ，直线 AN 与y轴相交于点H，求 CPCH 的取值范围.
13．如图，直线 y=-33x+3 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 y=-13x2+bx+c 经过点A，B两点，与x轴负半轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，∠PBA=15°，求点P的横坐标；
（3）点M在射线AB上，点N在射线AC上，∠BNM=30°，D在坐标平面内，当以B，D，M，N为顶点的四边形为菱形时，直接写出点D的坐标．
14．如图，已知二次函数 y=-38x2+bx+c 的图象与x轴交于点 A,C ，与y轴交于点 B ，直线 y=34x+3 经过点 A,B .

（1）求 b,c 的值；
（2）若点P是直线 AB 上方抛物线的一部分上的动点，过点P作 PF⊥x 轴于点F，交直线AB于点D，求线段 PD 的最大值
（3）在（2）的条件下，连接 CD ，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以 C,D,G,Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由.
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），A点的坐标为（﹣1，0）．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，
求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的
坐标．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A(-2，0)，B(0，4)两点，直线x=3与x轴交于点C.

（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分
1．【答案】（1）解：把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得 9a+15a+c=0c=4 ，解得 a=-16c=4 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ 16 x2+ 56 x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x=3时，y=﹣ 16 ×9+ 56 ×3+4=5，
∴D点坐标为（3，5）
（2）解：在Rt△OBC中，BC= OB2+OC2=32+42 =5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当 CMCO=CNCB 时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即 4-m4=m+15 ，解得m= 169 ，此时M点坐标为（0， 169 ）；
当 CMCB=CNCO 时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即 4-m5=m+14 ，解得m= 119 ，此时M点坐标为（0， 119 ）；
综上所述，M点的坐标为（0， 169 ）或（0， 119 ）
（3）解：连接DN，AD，如图，

∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值= 62+52=61 ，
∴AM+AN的最小值为 61 ．
2．【答案】（1）解： OA=OP ，理由是：
如图1，过 O 作 OG⊥AB 于 G ，过 O 作 OH⊥BC 于 H ，

∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABO=∠CBO ， AB=BC ，
∴OG=OH ，
∵∠OGB=∠GBH=∠BHO=90° ，
∴ 四边形 OGBH 是正方形，
∴BG=BH ， ∠GOH=90° ，
∵∠AOP=∠GOH=90° ，
∴∠AOG=∠POH ，
∴△AGO ≌ △PHO(ASA) ，
∴OA=OP ；
（2）解：如图 2 ，过 O 作 OQ⊥CD 于 Q ，过 O 作 OH⊥BC 于 H ，连接 OC ，

∴∠OQD=90° ，
∵∠ODQ=45° ，
∴△ODQ 是等腰直角三角形，
∵OD=2 ，
∴OQ=DQ=1 ，
∵AD=CD ， ∠ADO=∠CDO ， OD=OD ，
∴△ADO ≌ △CDO(SAS) ，
∴AO=OC=OP ，
∵OH⊥PC ，
∴PH=CH=OQ=1 ，
∴PC=2 ；
（3）解：如图3，连接 OC ，过 O 作 OG⊥BC 于 G ， OH⊥CD 于 H ，

设 OH=x ，则 DH=x ， CH=OG=4-x ， PC=2x ，
由（2）知： △AOD ≌ △COD ，
∴S△AOD=S△COD ，
∴S1-S2=S1-S△COD=S△POC=12⋅PC⋅OG=12⋅2x⋅(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4 ，
当 x=2 时， S1-S2 有最大值是4.
3．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（4，0），
∴OA＝4．
又∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，OB＝1，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣1，0）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
将A（4，0），B（﹣1，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得：
16a+4b+c=0a-b+c=0c=4 ，解得： a=-1b=3c=4 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ 32 ．
以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点H恰好也在抛物线上，
∴GH∥AO，GH＝AO＝4，如图1所示．

∵点G，H都在抛物线上，
∴G，H关于直线x＝ 32 对称，
∴点G的横坐标为 72 ．
∵当x＝ 72 时，y＝﹣x2+3x+4＝ 94 ，
∴点G的坐标为（ 72 ， 94 ）
（3）解：假设存在，设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）．
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），
∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．
分两种情况考虑，如图2所示．

①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2，
即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴点P的坐标为（2，6）；
②当∠PAC＝90°时，CP2＝AP2+AC2，
即m4﹣6m3+10m2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32+32，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m3＝﹣2，m4＝4（舍去），
∴点P的坐标为（﹣2，﹣6）．
综上所述，假设成立，
即存在点P（2，6）或（﹣2，﹣6），使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
4．【答案】（1）y= 1m(x-2m)2-m
（2）解：DE= 12 BC．
理由：又抛物线y= 1m(x-2m)2-m ，可得抛物线的顶点坐标P（ 2m ，-m），
由l：x= 2m ，可得：点B（ 22m ，m），
∴点C（ 22m ，0）．
设直线BP的解析式为y=kx+b，点P（ 2m ，-m）和点B（ 22m ，m）在这条直线上，
得： 2mk+b=-m22mk+b=m ，解得： k=2b=-3m ，
∴直线BP的解析式为：y= 2x -3m，
令y=0， 2x -3m=0，解得：x= 322m ，
∴点D（ 322m ，0）；
设直线CP的解析式为y= k1 x+ b1 ，点P（ 2m ，-m）和点C（ 22m ，0）在这条直线上，
得： 22mk1+b1=02mk1+b1=-m ，解得： k1=22b1=-2m ，
∴直线CP的解析式为：y= 22x -2m；
抛物线与直线CP相交于点E，可得： y=1m(x-2m)2-my=22x-2m ，
解得： x1=322my1=-m2 ， x2=2my2=-m （舍去），
∴点E（ 322m ， -m2 ）；
∵xD=xE ，
∴DE⊥x轴，
∴DE= yD﹣yE = m2 ，BC= yB﹣yC =m=2DE，
即DE= 12 BC；
（3）解：C′（ 423m ， 23m ）．

连接CC′，交直线BP于点F，
∵BC′=BC，∠C′BF=∠CBF，
∴CC′⊥BP，CF=C′F，
设直线BP的解析式为y=kx+b，点B（ 22m ，m），P（ 2 ，-m）在直线上，
∴22mk+b=m2mk+b=-m ，解得： k=2b=-3m ，
∴直线BP的解析式为：y= 2x -3m，
∵CC′⊥BP，
∴设直线CC′的解析式为：y= -22x+b1 ，
∴-22×22m+b1=0 ，解得： b1 =2m，
联立①②，得： y=2x-3my=-22x+2m ，解得： x=523my=m3 ，
∴点F（ 523m ， m3 ），
∴CF= (523m-22m)2+(m3)2 = 33m ，
设点C′的坐标为（a， -22a+2m ），
∴C′F= (523m-a)2+(m3+22a-2m)2 = 33m ，解得：a= 423m ，
∴-22a+2m = 23m ，
∴C′（ 423m ， 23m ）．
5．【答案】（1）【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴c=-1-12×16+4b+c=-1，
解得：b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-12x2+2x-1.
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离2时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵PP′=2，∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，
∵y=-12x2+2x-1=-12x-22+1，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-12x-32+2，
令y=0，则0=-12x-32+2，
解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解y=-12x-32+2y=x-1，得x=1y=0或x=3y=2∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．
（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=22+42=25．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为25．

6．【答案】（1）解：由题意得 A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0) ，
将三点代入解析式： y=ax2+bx+c 中，
得 0=9a-3b+c0=a+b+cc=-3 ，
解得： a=1，b=2，c=-3 ，
∴ 抛物线的解析式为： y=x2+2x-3
（2）解：①∵ D为BC的中点，
∴D(12，-32) ，
设 lAD：y=kx+b，(k≠0) ，
将 A(-3，0)，D(12，-32) 代入其中，
得 0=-3k+b-32=12k+b ，
解得： k=-37，b=-97
∴ 直线AD的表达式为： y=-37x-97 ；
②设 N(x，-37x-97) ，
由题意得 M 为 AC 的中点，
∴M(-32，-32) ，
又 ∵MN 为圆的半径，即 |AC|2=322 ，
∴(x+32)2+(-37x-97+32)2=322 ，
解得： x=1829 ，
∴ N(1829，-4529)
（3）F1(0，-3)，F2(-5，12)，F3(-7+1456，1-14518)，F4(-7-1456，1+14518)
7．【答案】（1）解：A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)．∵OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.
（2）解：过点D作DH⊥x轴于点H，此时S四边形OCDB＝S梯形OCDH＋S△HBD，∵OH＝1，OC＝3，HD＝4，HB＝2，∴S梯形OCDH＝ 12 ·(OC＋HD)·OH＝ 72 ，S△HBD＝ 12 ·HD·HB＝4，∴S四边形OCDB＝ 152 .∴S△OCE＝S四边形OCDB＝ 152 ＝ 12 ·OC·OE，∴OE＝5，∴E(5，0)．∴lDE：y＝x－5.∵DE交抛物线于P，设P(x，y)，∴x2－2x－3＝x－5，解得 x＝2 或x＝1(D点，舍去)，∴xP＝2，代入lDE：y＝x－5，∴P(2，－3)．
（3）解：如图，lBC：y＝x－3.∵F在BC上，∴yF＝xF－3.∵P在抛物线上，∴yP＝x －2xP－3，∴PF＝yF－yP＝xF－3－(x －2xP－3)．∵xP＝xF，∴PF＝－x ＋3xP＝－(xP－ 32 )2＋ 94 (1＜xP＜3)，∴当xP＝ 32 时，线段PF长度最大，最大值为 94 .
8．【答案】（1）解：把A(3，0)代入y=kx+2，得0=3k+2，
∴解得k=-23，
∴直线AB的解析式为y=-23x+2，
∴B(0，2)，
把A(3，0)分别代入y=-43x2+bx+2，
解得b=103，
∴抛物线的解析式为y=-43x2+103x+2，
（2）解：∵M(m，0)，
∴P(m，-23m+2)，N(m，-43m2+103m+2)，
有两种情况：
①当点N在点P的上方时，PN=(-43m2+103m+2)-(-23m+2)=-43m2+4m ，
∵四边形OBNP为平行四边形，
∴PN=OB=2，即-43m2+4m=2，
解得m=3±32，
②当点N在点P的下方时，PN=(-23m+2)-(-43m2+103m+2)=43m2-4m，
同理，43m2-4m=2，
解得m=3±152，
综上所述，m的值为3±32或3±152．
9．【答案】（1）解：y＝﹣ 12 （x+5）（x﹣m），令x＝0，则y＝ 5m2 ，
令y＝0，则x＝﹣5或m，
故：B（m，0），C（0， 52m ）
（2）解：设点E，F的坐标分别为（a， a2 ），（﹣a， -a2 ）， 代入 y=12(x+5)(x-m)=-12x2+12(m-5)x+52m ， 得 -12a2+12(m-5)a+52m=a2-12a2+12(m-5)a+52m=-a2 ，
解得：（m﹣5）a＝a，
∵a≠0，
∴m＝6，
∴抛物线的解析式为 y=12x2+12x+15
（3）解：依题意得A（﹣5，0），C（0， 52m ），
由m＞0，设过A，C两点的一次函数解析式是y＝kx+b，
将A，C代入，得 -5k+b=0,b=52m.
解得 k=12m,b=52m,
∴过A，C两点的一次函数解析式是 y=12mx=52m ，
设点P（t，0），则﹣5≤t≤m（m＞0），
∴M（t， -12t2+12(m-5)t+52m ），N（t， 12mt=52m ）．
①当﹣5≤t≤0时，
∴MN＝ -12t2+12(m-5)t+52m-(12mt+52m) ＝ -12t2-52t ， ∵-120 ， ∴该二次函数图象开口向上， 又对称轴是直线 t=-52 ，
∴当0＜t≤m时，MN的长随t的增大而增大，
∴当t＝m时，MN的长最大，此时MN＝ 12m2+52m ，
∵线段MN长的最大值为 258 ，
∴12m2+52m≤258 ， 整理得： (m+52)2≤504 ，
由图象可得： -5-522 ≤m≤ -5+522
∵m＞0，
∴m的取值范围是0＜m≤ -5+522
10．【答案】（1）解： ∵ 直线 y=-x+c 与 x 轴交于点 B(3,0) ，与 y 轴交于点 C ，
∴-3+c=0 ，解得 c=3 ，
∴C(0,3) ，
∵ 抛物线经过 B ， C ，
∴ -9+3b+c=0c=3 ，解得 b=2c=3 ，
∴ 抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3 ，
令 y=0 ，得到 -x2+2x+3=0 ，解得 x=-1 或3，
∴A(-1,0) ；
（2）解：如图1， 过点 P 作 PG ∥ x 轴交直线 BC 于点 G ，设 P(m,-m2+2m+3) ，

∵PG ∥ x 轴，
∴△ PDG ∽△ ADB ，
∴PDAD=PGAB ，
∵P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，
∴0