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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度 （含答案）
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这是一份2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度 （含答案），共43页。试卷主要包含了我们规定，已知，如图，抛物线经过，两点，把B，C代入中，得等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度
1． 对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P的坐标为(a＋，ka＋b)（k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1＋，2×1＋4)，即P′(3，6).
(1) ① 点P(－1，－2)的“2属派生点”P′的坐标为_______________
② 若点P的“k属派生点”为P′(3，3)，请写出一个符合条件的点P的坐标_____________
(2) 若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为____________
(3) 如图，点Q的坐标为(0，)，点A在函数（x＜0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”．当线段BQ最短时，求B点坐标.
2．我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数” 就是反比例函数.
（1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点.
① 求这个“奇特函数”的解析式；
② 把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标．
3．已知：一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．
4．如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是 四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时和之间的关系式；若不可能，说明理由；
（3）设P（，），Q（，）（）是函数图象上的任意两点，，，试判断，的大小关系，并说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．
(1)求m的值；
(2)求平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．
6．如图，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，D为直线BC上方抛物线上一动点，E在CB上，∠DEC＝90°
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，F为AB的中点，连接CF，CD，当△CDE中有一个角与∠CFO相等时，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）如图1，请求出A、B两点的坐标；
（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)上一动点.
①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；
②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足ÐFBA=ÐEBA，当线段EF运动时，ÐFGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tanÐFGO的值；若变化，请说明理由.
8．已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N．
(1)求点D的坐标.
(2)求点M的坐标(用含a的代数式表示).
(3)当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值．
9．如图，抛物线经过，两点．
求抛物线的函数表达式；
求抛物线的顶点坐标，直接写出当时，x的取值范围；
设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点，点A在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为（0，﹣3），且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为yp的取值范围，若没有，请说明理由．
12．如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
求此抛物线的解析式；
已知点在第四象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标．
在的条件下，连接，问在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
14．如图，抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
15．抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;
（3）在（2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
16．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，8），点D是抛物线上的动点，直线AD与y轴交于点K．
（1）填空：c=；
（2）若点D的横坐标为2，连接OD、CD、AC，以AC为直径作⊙M，试判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．
（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．
18．如图1，抛物线经过A（1，0），B（7，0），D（0，） 三点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使S△ABM =S△ABC，若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P.
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出∠APB的度数；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长.
参考答案：
1．（1）①；②（1，2）（答案不唯一）；（2）；（3）.
【解析】解：(1)①当a=−1，b=−2，k=2时，
a+=−1+=−2,ka+b=2×(−1)−2=−4.
∴点P(−1,−2)的“2属派生点”P′的坐标为(−2,−4).
故答案为(−2,−4).
②由题可得：
∴ka+b=3k=3.
∴k=1.
∴a+b=3.
∴b=3−a.
当a=1时,b=2,此时点P的坐标为(1,2).
故答案为(1,2)（答案不唯一）.
说明：只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可．
(2)∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a>0.
∴点P的坐标为(a,0),点P′的坐标为(a,ka).
∴PP′⊥OP.
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′.
∴a=±ka.
∵a>0，
∴k=±1.
故答案为±1.
（3）设点B的坐标为(m,n)，
∵点A是点B的“属派生点”，
∴点A的坐标为(m+,m+n)，
∵点A在函数(x<0)的图象上，
∴(m+) (m+n)=且m+<0.
整理得：(m+)2=4.
∵m+<0，
∴m+=−2.
∴n=m+
∴点B的坐标为(m,m+).
过点B作BH⊥OQ,垂足为H,如图所示．
∵点Q的坐标为(0,)，
∴,,
∵4>0，
∴当m=时,BQ2最小，即BQ最小．
此时
∴当线段BQ最短时,B点坐标为．
2．（1），是 “奇特函数”；（2）①；②或或或.
【解析】试题分析：（1）根据题意列式并化为，根据定义作出判断.
（2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式.
②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.
试题解析：（1）根据题意，得，
∵，∴ .∴ .
根据定义，是 “奇特函数”.
（2）①由题意得，.
易得直线OB解析式为，直线CD解析式为 ，
由解得 .∴点E（3，1）.
将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得 ，解得 .
∴这个“奇特函数”的解析式为.
②∵可化为 ，
∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到 .
∴关于点（6，2）对称.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.
∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.
由勾股定理得，.
设点P到EB的距离为m，
∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，
∴.
由直线OB解析式为,则向上平移单位过点P
∴点P在平行于EB的直线上.
∵点P在上，
∴或 .
解得.
∴点P的坐标为或或 或.
考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.
3．（1），B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）10．
【解析】试题分析：（1）把点A的坐标代入，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，求得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．证明△AHM∽△EHA，再根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB．
试题解析：（1）把A（4，2）代入，得k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为，解方程组，得：或，∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为，则有，解得m=，∴直线AP的解析式为，解方程组，得：或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=（﹣2×+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为，则有，解得：，∴直线BC的解析式为．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD·CT+OD·BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．
考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．
4．（1）平行；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）由直线和与反比例函数的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出，两边平方得，整理后得，根据，则，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数图象上的任意两点，得到，，求出得到，即可得到结果．
试题解析：（1）∵直线和与反比例函数的图象关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
（2）∵正比例函数与反比例函数的图象在第一象限相交于A，
∴，解得（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将带入得，
故A点的坐标为，同理则B点坐标为，
又∵OA=OB，∴，两边平方得：，
整理后得，∵，所以，即；
∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，
得到：
∴，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
考点：反比例函数综合题．
5．(1)；
(2)5个单位长度；
(3)，
【分析】（1）过点作轴，易得为等腰直角三角形，即可得解；
（2）根据平移规则，点横坐标为，设，根据点E在反比例函数的图象上，求出的值，即可得解；
（3）的周长，为定长，则当的值最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点坐标，即可得解．
【解析】（1）解：过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，即：；
（2）解：将沿y轴向下平移得到，点B的对应点为E，
∴点横坐标为，设，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴；
∴平移的距离为：；
（3）解：∵的周长，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，如图，
则：，根据平移规则，可得：，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长．
【点评】本题考查坐标与图形，以及坐标系下的平移，轴对称，同时考查了反比例函数图象上的点的特征，以及一次函数与坐标轴的交点．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
6．（1）y＝；（2）；（3）或.
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案.
【解析】解：（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）设直线BC的解析是为y＝kx+b，，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（a，﹣a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
如图1，
M（a，﹣a+3），
DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∴DE＝DM
∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是，
（3）假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
∴OF＝，tan∠CFO＝＝2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，
如图2
，
①若∠DCE＝∠CFO，
∴tan∠DCE＝＝2，
∴BG＝10，
∵△GBH∽BCO，
∴，
∴GH＝8，BH＝6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CG的解析式为y＝x+3，
∴，
解得x＝，或x＝0（舍）．
②若∠CDE＝∠CFO，
同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，
∴G（，2），
同理可得，直线CG的解析是为y＝﹣x+3，
∴，
解得x＝或x＝0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似三角形的性质表示线段之间的关系，从而构建一元二次方程；理解坐标与图形性质．
7．（1）A(1,0)、B(3,0)；（2）①，②不会变化，4.
【分析】（1）令y=kx2-4kx+3k=0，求得x1=1,x2=3,故A（1,0）B（3,0）
（2）①过点 E作 EK ^ x轴于点k ，设 E(m, m2-4m+3)，易证DBKE ∽ DBHN , DAKE ∽ DAOM ，则，故,，求出NH = m -1, MO = -m + 3得；②过点 E 作 EN ^ x轴于点N，作FH ^ x轴于点H过点 E
作 EM ^ FH , 交 FH 的延长线于点 M，设 F (n,2n2 - 8n + 6), E(a,2a2 - 8a + 6)当n > 3 时，不能满足ÐFBA = ÐEBA ,当 n < 1，由DFHB ∽ DENB，则，
故，得：n + a = 2 ，
= 8 - 2(n + a) = 4为定值，即tan ÐFGO 的值不变.
【解析】解：（1）令y=kx2-4kx+3k=0，求得x1=1,x2=3,故A（1,0）B（3,0）
（2）① y = x2-4x+3 ，如图 1 过点 E作 EK ^ x轴于点k ，
∵KE∥HN∥x轴，∴DBKE ∽ DBHN, DAKE ∽ DAOM ，设 E(m, m2-4m+3)
，即：,
得： NH = m -1, MO = -m + 3
②不会变化．如图 2 过点 E 作 EN ^ x轴于点N，作FH ^ x轴于点H过点 E
作 EM ^ FH , 交 FH 的延长线于点 M，
设 F (n,2n2 - 8n + 6), E(a,2a2 - 8a + 6)当n > 3 时，
不能满足ÐFBA = ÐEBA ,
当 n < 1，ÐFBA=ÐEBA，∴DFHB ∽ DENB，则，
，
得： n + a = 2
，
= 8 - 2(n + a) = 4
综上可知：当点 F 和 E 在抛物线上运动时， tan ÐFGO 的值不会发生变化， 且tan ÐFGO = 4
【点评】此题主要考查二次函数综合题，解题的关键是熟知二次函数的性质与相似三角形的判定与性质.
8．（1）D（2,2）；（2）；（3）
【分析】(1)令x=0求出A的坐标，根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线，根据点A与点D关于对称轴对称，确定D点坐标.
(2)根据点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，即可求得M点的坐标.
（3）根据点A、B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式，求直线OD的解析式，进而求出交点N的坐标，得到ON的长.过A点作AE⊥OD，可证△AOE为等腰直角三角形，根据OA=2，可求得AE、OE的长，表示出EN的长.根据tan∠OMB=tan∠ONA，得到比例式，代入数值即可求得a的值.
【解析】（1）当x=0时，，
∴A点的坐标为（0,2）
∵
∴顶点B的坐标为：（1,2-a），对称轴为x= 1，
∵点A与点D关于对称轴对称
∴D点的坐标为：（2，2）
（2）设直线BD的解析式为：y=kx+b
把B（1,2-a）D（2，2）代入得：
，解得：
∴直线BD的解析式为：y=ax+2-2a
当y=0时，ax+2-2a=0，解得：x=
∴M点的坐标为：
（3）由D(2，2)可得：直线OD解析式为：y=x
设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(0，2)B（1,2-a）可得：
解得：
∴直线AB的解析式为y= -ax+2
联立成方程组： ，解得：
∴N点的坐标为：（）
ON=（）
过A点作AE⊥OD于E点，则△AOE为等腰直角三角形.
∵OA=2
∴OE=AE=，EN=ON-OE=（）-=)
∵M，C(1,0)， B（1,2-a）
∴MC=，BE=2-a
∵∠OMB=∠ONA
∴tan∠OMB=tan∠ONA
∴，即
解得：a=或
∵抛物线开口向下，故a<0，
∴ a=舍去，
【点评】本题是一道二次函数与一次函数及三角函数综合题，掌握并灵活应用二次函数与一次函数的图象与性质，以及构建直角三角形借助点的坐标使用相等角的三角函数是解题的关键.
9．（1）（2）（3）
【分析】根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可得答案；
根据余角的性质，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据解方程组，可得H点坐标．
【解析】将，两点代入抛物线中，可得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为：；
抛物线的解析式为：．
所以抛物线的顶点坐标为，
当时，x的取值范围为：；
存在点H满足，
由知M点的坐标为
如图：作交x轴于点，作轴于点N，
，，
．
，
∽，
，
，
，
解得，
点坐标为
直线MK的解析式为，
，
把代入，化简得．
，
，，将代入，
解得，
直线MK与抛物线有两个交点M、H，
抛物线上存在点H，满足，
此时点H的坐标为
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用抛物线的解析式和二次函数的性质是解题关键，利用相似三角形的判定与性质得出是解题关键，解方程组是此题的难点．
10．（1）；（2）；（3）6
【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后代入二次函数的解析式，解方程组即可；
(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y），则x＞0，y＜0．求出S△ABC．根据S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF解方程解得到x的值，从而得到D的坐标；
(3)连接AD，过D作DM⊥x轴于M．先求出直线CD的解析式为y=－x+2，得到CO=OR=2，则∠ORC=45°．再证明∠AQD=45°．通过勾股定理的逆定理得到AC2+AD2= DC2，即有∠CAD=90°，从而有△AQD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到AQ=AD．通过证明△QAN≌△ADM，得到NA，QN的长，进而得到ON=4，即可得到N（－4，0），则P点横坐标为x=-4，代入二次函数即可得到y的值，从而得到结论．
【解析】（1）在中，令y=0，解得：x=4，∴B(4，0)，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)．把B(4，0)，C(0，2)代入中，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：．
(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y）．
∵D在第四象限，∴x＞0，y＜0．
∵B（4，0），C(0，2)，∴CE=OB=4，CO=BE=FG=2，EF=BG=x-4，DF=DG+FG=2-y，S△ABC=AB×OC=×（4+1）×2=5．
S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF=，化简得：x+2y=－1．
∵D（x，y）在二次函数上，∴，化简得：，∴（x－5）（x+1）=0，∴x=5或x=－1（舍去）．
当x=5时，y==－3，∴D（5，－3）．
(3)如图，连接AD，过D作DM⊥x轴于M．设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，2），D（5，－3）代入得到：，解得：，∴直线CD的解析式为y=－x+2，令y=0，解得：x=2，∴R(2，0)，∴CO=OR=2，∴∠ORC=45°．
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°，∴∠ACO=∠OAD，∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°，∴∠AQD=45°．
∵AC2=12+22=5，AD2=(5+1)2+32=45，DC2=52+(2+3)2=50，∴AC2+AD2=5+45=50= DC2，∴∠CAD=90°，∴∠QAD=90°．
∵∠AQD=45°，∴△AQD是等腰直角三角形，∴AQ=AD．
∵∠QAD=90°，∴∠NAQ+∠DAM=90°．
∵∠NAQ+∠AQN=90°，∴∠AQN=∠MAD．在△QAN和△ADM中，∵∠AQN=∠MAD，∠QNA=∠AMD=90°，AQ=AD，∴△QAN≌△ADM，∴NA=DM=3，QN=AM=6，∴ON=4，∴N（－4，0）．设P（x，y）．
∵QP∥y轴，∴P点横坐标为x=-4，∴y==－12，∴PN=12，∴PQ=PN-QN=12－6=6．
【点评】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求函数解析式，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质．综合性强，难度较大．
11．（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，D（﹣1，﹣4）；（2）P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）当﹣＜yP＜且yP≠0时，∠OPC是钝角．
【分析】（1）先求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用同角的余角相等，判断出∠COP=∠CPQ，进而求出PQ，即可得出结论；
（3）借助（2）的结论和图形，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵B（0，﹣3），∴OB=3．
∵OB=OC，∴OC=3，∴C（0，﹣3），∴，∴，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设P（﹣1，p）．
∵∠COP+∠OPQ=90°，∠CPQ+∠OPQ=90°，∴∠COP=∠CPQ，∴tan∠COP=tan∠CPQ．在Rt△QOP中，tan∠COP=．在Rt△CPQ中，tan∠CPQ=，∴，∴PQ2=CQ×OQ=2（此处可以用射影定理，也可以判断出△CPQ∽△POQ）．
∵PQ＞0，∴PQ=，∴p=或p=﹣，∴P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
（3）存在这样的点P，理由：如图，由（2）知，yP=时，∠OPC=90°．
∵yP=0时，∠OPC是平角，∴当﹣＜yP＜且yP≠0时，∠OPC是钝角．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，同角的余角相等，求出PQ是解答本题的关键．
12． ；点关于直线对称的点；存在．，或．
【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，-3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx-3a中，列方程组求a、b的值即可；
（2）将点D（m，-m-1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；
（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB=∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，
分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．
【解析】将、代入抛物线中，
得，
解得，
∴；
将点代入中，得
，
解得或，
∵点在第四象限，
∴，
∵直线解析式为，
∴，，，
∴点关于直线对称的点；
存在．
过点作轴，垂足为，交直线于点（如图），
∵，
∴，
又∵轴，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
设与相交于点，
易求解析式为：，
由，得到关于的方程，解方程后，得；
于是，点坐标为：；
于是解析式为：，
令方程中，，则，
所以，点坐标为：，
∴，或．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．
13．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）点P的坐标为（1，）或（2，1）；（3）存在，理由见解析．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，
设点P（x，﹣ x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），
∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，
∴S△PBC=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，
又∵S△PBC=1，
∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，
∴∠BAC=45°，
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，
解得：x=（负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．
14．（1）抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；（2）（0，1）；（3）（-，）.
【解析】此题是二次函数的综合题，求解析式、求点的坐标是函数中基本题型，要求学生熟练、准确的解题．
解：（1）抛物线经过，两点，
解得
抛物线的解析式为．
（2）点在抛物线上，，
即，或．
点在第一象限，点的坐标为．
由（1）知．
设点关于直线的对称点为点．
，，且，
，
15．（1）
（2）（0，-1）
（3）（1,0）（9,0）
【分析】（1）将A（−1，0）、C（0，−3）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，列方程组求a、b的值即可；
（2）将点D（m，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；
（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．
【解析】解：（1）将A（−1，0）、C（0，−3）代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，
得 ，
解得
∴y＝x2−2x−3；
（2）将点D（m，−m−1）代入y＝x2−2x−3中，得
m2−2m−3＝−m−1，
解得m＝2或−1，
∵点D（m，−m−1）在第四象限，
∴D（2，−3），
∵直线BC解析式为y＝x−3，
∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3−2＝1，
∴点D关于直线BC对称的点D'（0，−1）；
（3）存在．满足条件的点P有两个．
①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，
∵直线BD解析式为y＝3x−9，
∵直线CP过点C，
∴直线CP的解析式为y＝3x−3，
∴点P坐标（1，0），
②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，
∴∠P′CB＝∠D′BC，
根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，
∴∠P′CB＝∠CBD，
∵直线BD′的解析式为
∵直线CP′过点C，
∴直线CP′解析式为，
∴P′坐标为（9，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．
16．(1)y=x2+x﹣5；(2)E点坐标为（﹣2，﹣5）；(3)存在满足条件的点P，其横坐标为或
．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）当S△ABE=S△ABC时，可知E点和C点的纵坐标相同，可求得E点坐标；（3）在△CAE中，过E作ED⊥AC于点D，可求得ED和AD的长度，设出点P坐标，过P作PQ⊥x轴于点Q，由条件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
【解析】（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；
（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，
∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，
当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），
∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；
（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，m2+m﹣5），
如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，
则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，
∴AD=AC﹣DC=﹣=4，
当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴，即=，
∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），
当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．
考点：二次函数综合题．
17．（1）8；（2）点D在⊙M上．理由见试题解析；（3）D的坐标为（2，4）或（）．
【解析】试题分析：（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，计算即可求得c的值；
（2）点D与⊙M上，理由：由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，进一步得到点D的坐标为（2，4），根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标为（﹣6，0），根据待定系数法可求直线AD的解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点K的坐标为（0，3），在Rt△AOK中，根据三角函数得到tan∠KAO，作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，在Rt△CED中，根据三角函数得到tan∠ECD，tan∠ECD==，可得∠KAO=∠ECD，进一步得到∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，可得点D在⊙M上．
（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时；ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，进行讨论，可求符合条件的点D的坐标．
试题解析：（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，得c=8．
故答案为8；
（2）点D与⊙M上，
理由如下：由（1）得：c=8，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，
当x=2时，y=﹣×22﹣×2+8=4，∴点D的坐标为（2，4），
在y=﹣x2﹣x+8中，令y=0，则﹣x2﹣x+8=0，
解得：x1=﹣6，x2=，∴点A的坐标为（﹣6，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），又∵直线过点A（﹣6，0）和点D（2，4），
∴，解得：，∴直线AD的解析式为y=x+3．
令x=0，则y=3，∴点K的坐标为（0，3）．
在Rt△AOK中，tan∠KAO=，
作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，
在Rt△CED中，tan∠ECD，
∴tan∠KAO=tan∠ECD，
即∠KAO=∠ECD
∵∠KAO+∠AKO=90°，
又∵∠AKO=∠CKD，
∴∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，
∴点D在⊙M上．
（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时，由（2）中可知：tan∠ECD=，
在Rt△OED中，tan∠EOD=，∴tan∠ECD=tan∠EOD，∠ECD=∠EOD，CD=OD，
∵∠AOC=90°，∴点O在⊙M上．在⊙M中，=，∠CAD=∠DAB，即∠BAC=2∠BAD，
∴点D（2，4）符合题意．
ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，
设直线AD'上的任意一点为（m，n），则点（m，n）关于x轴的对称点（m，﹣n）在直线AD上，
把点（m，﹣n）代入直线AD的解析式y=x+3，得：﹣n=m+3，n=﹣m﹣3，即y=﹣x﹣3，
联立得：﹣x﹣3=﹣x2﹣x+8，
整理得：5x2+8x﹣132=0，
解得：x1=﹣6，x2=，
∴点D(，-）．
综上，符合条件的点D的坐标为（2，4）或(，-）．
【考点】二次函数综合题．
18．（1）抛物线的解析式为y=x2-2x+．（2）M1（9，4），M2（-1，4）．（3）①AF=BE，∠APB=120°．
【解析】试题分析：（1）先设出抛物线的解析式，然后将已知点的坐标代入求解即可；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．先求得三角形ABC的面积，从而得到△ABM的面积，依据三角形的面积公式可求得点M的纵坐标为4，由点M在抛物线可知可知y=4，从而可求得对应的x的值，于是得到点M的坐标；
（3）①先证明依据SAS△BEC≌△AFB，由全等三角形的性质可得到AF=BE，接下来证明∠FAB+∠ABP=∠ABC，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB的度数；②如图3所示：设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．依据圆的内角四边形的性质和圆周角定理可求得∠AMB的长，接下来，依据等腰三角形三线合一的性质可得到AG=3，∠AMG=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后依据扇形的弧长公式求解即可；如图4所示：当AE=BF时．依据SAS可证明△AEB≌△BAF，从而得到∠PAB=∠PBA，故此可知点P在AB的垂直平分线上，最后依据特殊锐角三角函数求得CN的长即可．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+．
∵将点A、B的坐标代入得：，解得：a=，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+．
（2）存在点M使得S△AMB=S△ABC．
如图1所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=60°．
∴CK=3．
∴S△ABC=AB•CK=×6×3=9．
∴S△ABM=×9=12．
设M（x，x2-2x+）．
∴AB•|yM|=12，即×6×（x2-2x+）=12．
解得x1=9，x2=-1．
∴M1（9，4），M2（-1，4）．
（3）①AF=BE，∠APB=120°．
理由：如图2所示；
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中
，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°=120°．
②如图3所示：当CE=FB时．
∵由①可知：∠APB=120°，
∴点P的运动轨迹是一条弧．
设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵∠APB=120°，
∴∠AHB=60°．
∴∠AMB=120°．
∵AM=MB，MG⊥AB，
∴AG=BG=3，∠AMG=∠BMG=60°．
∴，即．
∴AM=2．
∴点P运动的路径=．
如图4所示：当AE=BF时．
∵在△ABE和△BAF中
，
∴△ABE≌△BAF．
∴AF=EB，∠FAB=∠EBA．
∴AP=BP．
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴点P运动的路线=NC=3．
∴点P经过的路径长为或3．
考点：二次函数综合题．
2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度
1． 对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P的坐标为(a＋，ka＋b)（k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1＋，2×1＋4)，即P′(3，6).
(1) ① 点P(－1，－2)的“2属派生点”P′的坐标为_______________
② 若点P的“k属派生点”为P′(3，3)，请写出一个符合条件的点P的坐标_____________
(2) 若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为____________
(3) 如图，点Q的坐标为(0，)，点A在函数（x＜0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”．当线段BQ最短时，求B点坐标.
2．我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数” 就是反比例函数.
（1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；
（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点.
① 求这个“奇特函数”的解析式；
② 把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标．
3．已知：一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．
4．如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是 四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时和之间的关系式；若不可能，说明理由；
（3）设P（，），Q（，）（）是函数图象上的任意两点，，，试判断，的大小关系，并说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．
(1)求m的值；
(2)求平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．
6．如图，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，D为直线BC上方抛物线上一动点，E在CB上，∠DEC＝90°
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，F为AB的中点，连接CF，CD，当△CDE中有一个角与∠CFO相等时，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）如图1，请求出A、B两点的坐标；
（2）点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)上一动点.
①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；
②如图3，若k=2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足ÐFBA=ÐEBA，当线段EF运动时，ÐFGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tanÐFGO的值；若变化，请说明理由.
8．已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N．
(1)求点D的坐标.
(2)求点M的坐标(用含a的代数式表示).
(3)当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值．
9．如图，抛物线经过，两点．
求抛物线的函数表达式；
求抛物线的顶点坐标，直接写出当时，x的取值范围；
设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点，点A在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为（0，﹣3），且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为yp的取值范围，若没有，请说明理由．
12．如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
求此抛物线的解析式；
已知点在第四象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标．
在的条件下，连接，问在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
14．如图，抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
15．抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;
（3）在（2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
16．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，8），点D是抛物线上的动点，直线AD与y轴交于点K．
（1）填空：c=；
（2）若点D的横坐标为2，连接OD、CD、AC，以AC为直径作⊙M，试判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．
（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．
18．如图1，抛物线经过A（1，0），B（7，0），D（0，） 三点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使S△ABM =S△ABC，若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P.
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出∠APB的度数；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长.
参考答案：
1．（1）①；②（1，2）（答案不唯一）；（2）；（3）.
【解析】解：(1)①当a=−1，b=−2，k=2时，
a+=−1+=−2,ka+b=2×(−1)−2=−4.
∴点P(−1,−2)的“2属派生点”P′的坐标为(−2,−4).
故答案为(−2,−4).
②由题可得：
∴ka+b=3k=3.
∴k=1.
∴a+b=3.
∴b=3−a.
当a=1时,b=2,此时点P的坐标为(1,2).
故答案为(1,2)（答案不唯一）.
说明：只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可．
(2)∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a>0.
∴点P的坐标为(a,0),点P′的坐标为(a,ka).
∴PP′⊥OP.
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′.
∴a=±ka.
∵a>0，
∴k=±1.
故答案为±1.
（3）设点B的坐标为(m,n)，
∵点A是点B的“属派生点”，
∴点A的坐标为(m+,m+n)，
∵点A在函数(x<0)的图象上，
∴(m+) (m+n)=且m+<0.
整理得：(m+)2=4.
∵m+<0，
∴m+=−2.
∴n=m+
∴点B的坐标为(m,m+).
过点B作BH⊥OQ,垂足为H,如图所示．
∵点Q的坐标为(0,)，
∴,,
∵4>0，
∴当m=时,BQ2最小，即BQ最小．
此时
∴当线段BQ最短时,B点坐标为．
2．（1），是 “奇特函数”；（2）①；②或或或.
【解析】试题分析：（1）根据题意列式并化为，根据定义作出判断.
（2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式.
②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.
试题解析：（1）根据题意，得，
∵，∴ .∴ .
根据定义，是 “奇特函数”.
（2）①由题意得，.
易得直线OB解析式为，直线CD解析式为 ，
由解得 .∴点E（3，1）.
将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得 ，解得 .
∴这个“奇特函数”的解析式为.
②∵可化为 ，
∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到 .
∴关于点（6，2）对称.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.
∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.
由勾股定理得，.
设点P到EB的距离为m，
∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，
∴.
由直线OB解析式为,则向上平移单位过点P
∴点P在平行于EB的直线上.
∵点P在上，
∴或 .
解得.
∴点P的坐标为或或 或.
考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.
3．（1），B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）10．
【解析】试题分析：（1）把点A的坐标代入，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，求得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．证明△AHM∽△EHA，再根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB．
试题解析：（1）把A（4，2）代入，得k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为，解方程组，得：或，∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为，则有，解得m=，∴直线AP的解析式为，解方程组，得：或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=（﹣2×+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为，则有，解得：，∴直线BC的解析式为．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD·CT+OD·BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．
考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．
4．（1）平行；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）由直线和与反比例函数的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出，两边平方得，整理后得，根据，则，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数图象上的任意两点，得到，，求出得到，即可得到结果．
试题解析：（1）∵直线和与反比例函数的图象关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
（2）∵正比例函数与反比例函数的图象在第一象限相交于A，
∴，解得（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将带入得，
故A点的坐标为，同理则B点坐标为，
又∵OA=OB，∴，两边平方得：，
整理后得，∵，所以，即；
∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，
得到：
∴，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
考点：反比例函数综合题．
5．(1)；
(2)5个单位长度；
(3)，
【分析】（1）过点作轴，易得为等腰直角三角形，即可得解；
（2）根据平移规则，点横坐标为，设，根据点E在反比例函数的图象上，求出的值，即可得解；
（3）的周长，为定长，则当的值最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点坐标，即可得解．
【解析】（1）解：过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，即：；
（2）解：将沿y轴向下平移得到，点B的对应点为E，
∴点横坐标为，设，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴；
∴平移的距离为：；
（3）解：∵的周长，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，如图，
则：，根据平移规则，可得：，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长．
【点评】本题考查坐标与图形，以及坐标系下的平移，轴对称，同时考查了反比例函数图象上的点的特征，以及一次函数与坐标轴的交点．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
6．（1）y＝；（2）；（3）或.
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案.
【解析】解：（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）设直线BC的解析是为y＝kx+b，，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（a，﹣a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
如图1，
M（a，﹣a+3），
DM＝（﹣a2+a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∴DE＝DM
∴DE＝﹣a2+a＝﹣（a﹣2）2+，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是，
（3）假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
∴OF＝，tan∠CFO＝＝2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，
如图2
，
①若∠DCE＝∠CFO，
∴tan∠DCE＝＝2，
∴BG＝10，
∵△GBH∽BCO，
∴，
∴GH＝8，BH＝6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CG的解析式为y＝x+3，
∴，
解得x＝，或x＝0（舍）．
②若∠CDE＝∠CFO，
同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，
∴G（，2），
同理可得，直线CG的解析是为y＝﹣x+3，
∴，
解得x＝或x＝0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似三角形的性质表示线段之间的关系，从而构建一元二次方程；理解坐标与图形性质．
7．（1）A(1,0)、B(3,0)；（2）①，②不会变化，4.
【分析】（1）令y=kx2-4kx+3k=0，求得x1=1,x2=3,故A（1,0）B（3,0）
（2）①过点 E作 EK ^ x轴于点k ，设 E(m, m2-4m+3)，易证DBKE ∽ DBHN , DAKE ∽ DAOM ，则，故,，求出NH = m -1, MO = -m + 3得；②过点 E 作 EN ^ x轴于点N，作FH ^ x轴于点H过点 E
作 EM ^ FH , 交 FH 的延长线于点 M，设 F (n,2n2 - 8n + 6), E(a,2a2 - 8a + 6)当n > 3 时，不能满足ÐFBA = ÐEBA ,当 n < 1，由DFHB ∽ DENB，则，
故，得：n + a = 2 ，
= 8 - 2(n + a) = 4为定值，即tan ÐFGO 的值不变.
【解析】解：（1）令y=kx2-4kx+3k=0，求得x1=1,x2=3,故A（1,0）B（3,0）
（2）① y = x2-4x+3 ，如图 1 过点 E作 EK ^ x轴于点k ，
∵KE∥HN∥x轴，∴DBKE ∽ DBHN, DAKE ∽ DAOM ，设 E(m, m2-4m+3)
，即：,
得： NH = m -1, MO = -m + 3
②不会变化．如图 2 过点 E 作 EN ^ x轴于点N，作FH ^ x轴于点H过点 E
作 EM ^ FH , 交 FH 的延长线于点 M，
设 F (n,2n2 - 8n + 6), E(a,2a2 - 8a + 6)当n > 3 时，
不能满足ÐFBA = ÐEBA ,
当 n < 1，ÐFBA=ÐEBA，∴DFHB ∽ DENB，则，
，
得： n + a = 2
，
= 8 - 2(n + a) = 4
综上可知：当点 F 和 E 在抛物线上运动时， tan ÐFGO 的值不会发生变化， 且tan ÐFGO = 4
【点评】此题主要考查二次函数综合题，解题的关键是熟知二次函数的性质与相似三角形的判定与性质.
8．（1）D（2,2）；（2）；（3）
【分析】(1)令x=0求出A的坐标，根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线，根据点A与点D关于对称轴对称，确定D点坐标.
(2)根据点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，即可求得M点的坐标.
（3）根据点A、B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式，求直线OD的解析式，进而求出交点N的坐标，得到ON的长.过A点作AE⊥OD，可证△AOE为等腰直角三角形，根据OA=2，可求得AE、OE的长，表示出EN的长.根据tan∠OMB=tan∠ONA，得到比例式，代入数值即可求得a的值.
【解析】（1）当x=0时，，
∴A点的坐标为（0,2）
∵
∴顶点B的坐标为：（1,2-a），对称轴为x= 1，
∵点A与点D关于对称轴对称
∴D点的坐标为：（2，2）
（2）设直线BD的解析式为：y=kx+b
把B（1,2-a）D（2，2）代入得：
，解得：
∴直线BD的解析式为：y=ax+2-2a
当y=0时，ax+2-2a=0，解得：x=
∴M点的坐标为：
（3）由D(2，2)可得：直线OD解析式为：y=x
设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(0，2)B（1,2-a）可得：
解得：
∴直线AB的解析式为y= -ax+2
联立成方程组： ，解得：
∴N点的坐标为：（）
ON=（）
过A点作AE⊥OD于E点，则△AOE为等腰直角三角形.
∵OA=2
∴OE=AE=，EN=ON-OE=（）-=)
∵M，C(1,0)， B（1,2-a）
∴MC=，BE=2-a
∵∠OMB=∠ONA
∴tan∠OMB=tan∠ONA
∴，即
解得：a=或
∵抛物线开口向下，故a<0，
∴ a=舍去，
【点评】本题是一道二次函数与一次函数及三角函数综合题，掌握并灵活应用二次函数与一次函数的图象与性质，以及构建直角三角形借助点的坐标使用相等角的三角函数是解题的关键.
9．（1）（2）（3）
【分析】根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可得答案；
根据余角的性质，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据解方程组，可得H点坐标．
【解析】将，两点代入抛物线中，可得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为：；
抛物线的解析式为：．
所以抛物线的顶点坐标为，
当时，x的取值范围为：；
存在点H满足，
由知M点的坐标为
如图：作交x轴于点，作轴于点N，
，，
．
，
∽，
，
，
，
解得，
点坐标为
直线MK的解析式为，
，
把代入，化简得．
，
，，将代入，
解得，
直线MK与抛物线有两个交点M、H，
抛物线上存在点H，满足，
此时点H的坐标为
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用抛物线的解析式和二次函数的性质是解题关键，利用相似三角形的判定与性质得出是解题关键，解方程组是此题的难点．
10．（1）；（2）；（3）6
【分析】（1）先求出B、C的坐标，然后代入二次函数的解析式，解方程组即可；
(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y），则x＞0，y＜0．求出S△ABC．根据S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF解方程解得到x的值，从而得到D的坐标；
(3)连接AD，过D作DM⊥x轴于M．先求出直线CD的解析式为y=－x+2，得到CO=OR=2，则∠ORC=45°．再证明∠AQD=45°．通过勾股定理的逆定理得到AC2+AD2= DC2，即有∠CAD=90°，从而有△AQD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到AQ=AD．通过证明△QAN≌△ADM，得到NA，QN的长，进而得到ON=4，即可得到N（－4，0），则P点横坐标为x=-4，代入二次函数即可得到y的值，从而得到结论．
【解析】（1）在中，令y=0，解得：x=4，∴B(4，0)，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)．把B(4，0)，C(0，2)代入中，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：．
(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y）．
∵D在第四象限，∴x＞0，y＜0．
∵B（4，0），C(0，2)，∴CE=OB=4，CO=BE=FG=2，EF=BG=x-4，DF=DG+FG=2-y，S△ABC=AB×OC=×（4+1）×2=5．
S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF=，化简得：x+2y=－1．
∵D（x，y）在二次函数上，∴，化简得：，∴（x－5）（x+1）=0，∴x=5或x=－1（舍去）．
当x=5时，y==－3，∴D（5，－3）．
(3)如图，连接AD，过D作DM⊥x轴于M．设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，2），D（5，－3）代入得到：，解得：，∴直线CD的解析式为y=－x+2，令y=0，解得：x=2，∴R(2，0)，∴CO=OR=2，∴∠ORC=45°．
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°，∴∠ACO=∠OAD，∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°，∴∠AQD=45°．
∵AC2=12+22=5，AD2=(5+1)2+32=45，DC2=52+(2+3)2=50，∴AC2+AD2=5+45=50= DC2，∴∠CAD=90°，∴∠QAD=90°．
∵∠AQD=45°，∴△AQD是等腰直角三角形，∴AQ=AD．
∵∠QAD=90°，∴∠NAQ+∠DAM=90°．
∵∠NAQ+∠AQN=90°，∴∠AQN=∠MAD．在△QAN和△ADM中，∵∠AQN=∠MAD，∠QNA=∠AMD=90°，AQ=AD，∴△QAN≌△ADM，∴NA=DM=3，QN=AM=6，∴ON=4，∴N（－4，0）．设P（x，y）．
∵QP∥y轴，∴P点横坐标为x=-4，∴y==－12，∴PN=12，∴PQ=PN-QN=12－6=6．
【点评】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求函数解析式，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质．综合性强，难度较大．
11．（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，D（﹣1，﹣4）；（2）P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）当﹣＜yP＜且yP≠0时，∠OPC是钝角．
【分析】（1）先求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用同角的余角相等，判断出∠COP=∠CPQ，进而求出PQ，即可得出结论；
（3）借助（2）的结论和图形，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵B（0，﹣3），∴OB=3．
∵OB=OC，∴OC=3，∴C（0，﹣3），∴，∴，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设P（﹣1，p）．
∵∠COP+∠OPQ=90°，∠CPQ+∠OPQ=90°，∴∠COP=∠CPQ，∴tan∠COP=tan∠CPQ．在Rt△QOP中，tan∠COP=．在Rt△CPQ中，tan∠CPQ=，∴，∴PQ2=CQ×OQ=2（此处可以用射影定理，也可以判断出△CPQ∽△POQ）．
∵PQ＞0，∴PQ=，∴p=或p=﹣，∴P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
（3）存在这样的点P，理由：如图，由（2）知，yP=时，∠OPC=90°．
∵yP=0时，∠OPC是平角，∴当﹣＜yP＜且yP≠0时，∠OPC是钝角．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，同角的余角相等，求出PQ是解答本题的关键．
12． ；点关于直线对称的点；存在．，或．
【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，-3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx-3a中，列方程组求a、b的值即可；
（2）将点D（m，-m-1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；
（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB=∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，
分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．
【解析】将、代入抛物线中，
得，
解得，
∴；
将点代入中，得
，
解得或，
∵点在第四象限，
∴，
∵直线解析式为，
∴，，，
∴点关于直线对称的点；
存在．
过点作轴，垂足为，交直线于点（如图），
∵，
∴，
又∵轴，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
设与相交于点，
易求解析式为：，
由，得到关于的方程，解方程后，得；
于是，点坐标为：；
于是解析式为：，
令方程中，，则，
所以，点坐标为：，
∴，或．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．
13．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）点P的坐标为（1，）或（2，1）；（3）存在，理由见解析．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，
设点P（x，﹣ x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），
∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，
∴S△PBC=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，
又∵S△PBC=1，
∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，
∴∠BAC=45°，
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，
解得：x=（负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．
14．（1）抛物线的解析式为y=-x2+3x+4；（2）（0，1）；（3）（-，）.
【解析】此题是二次函数的综合题，求解析式、求点的坐标是函数中基本题型，要求学生熟练、准确的解题．
解：（1）抛物线经过，两点，
解得
抛物线的解析式为．
（2）点在抛物线上，，
即，或．
点在第一象限，点的坐标为．
由（1）知．
设点关于直线的对称点为点．
，，且，
，
15．（1）
（2）（0，-1）
（3）（1,0）（9,0）
【分析】（1）将A（−1，0）、C（0，−3）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，列方程组求a、b的值即可；
（2）将点D（m，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；
（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．
【解析】解：（1）将A（−1，0）、C（0，−3）代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，
得 ，
解得
∴y＝x2−2x−3；
（2）将点D（m，−m−1）代入y＝x2−2x−3中，得
m2−2m−3＝−m−1，
解得m＝2或−1，
∵点D（m，−m−1）在第四象限，
∴D（2，−3），
∵直线BC解析式为y＝x−3，
∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3−2＝1，
∴点D关于直线BC对称的点D'（0，−1）；
（3）存在．满足条件的点P有两个．
①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，
∵直线BD解析式为y＝3x−9，
∵直线CP过点C，
∴直线CP的解析式为y＝3x−3，
∴点P坐标（1，0），
②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，
∴∠P′CB＝∠D′BC，
根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，
∴∠P′CB＝∠CBD，
∵直线BD′的解析式为
∵直线CP′过点C，
∴直线CP′解析式为，
∴P′坐标为（9，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．
16．(1)y=x2+x﹣5；(2)E点坐标为（﹣2，﹣5）；(3)存在满足条件的点P，其横坐标为或
．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）当S△ABE=S△ABC时，可知E点和C点的纵坐标相同，可求得E点坐标；（3）在△CAE中，过E作ED⊥AC于点D，可求得ED和AD的长度，设出点P坐标，过P作PQ⊥x轴于点Q，由条件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
【解析】（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；
（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，
∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，
当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），
∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；
（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，m2+m﹣5），
如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，
则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，
∴AD=AC﹣DC=﹣=4，
当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴，即=，
∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），
当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．
考点：二次函数综合题．
17．（1）8；（2）点D在⊙M上．理由见试题解析；（3）D的坐标为（2，4）或（）．
【解析】试题分析：（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，计算即可求得c的值；
（2）点D与⊙M上，理由：由（1）得抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，进一步得到点D的坐标为（2，4），根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标为（﹣6，0），根据待定系数法可求直线AD的解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点K的坐标为（0，3），在Rt△AOK中，根据三角函数得到tan∠KAO，作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，在Rt△CED中，根据三角函数得到tan∠ECD，tan∠ECD==，可得∠KAO=∠ECD，进一步得到∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，可得点D在⊙M上．
（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时；ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，进行讨论，可求符合条件的点D的坐标．
试题解析：（1）把C（0，8）代入抛物线y=﹣x2﹣x+c，得c=8．
故答案为8；
（2）点D与⊙M上，
理由如下：由（1）得：c=8，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+8，
当x=2时，y=﹣×22﹣×2+8=4，∴点D的坐标为（2，4），
在y=﹣x2﹣x+8中，令y=0，则﹣x2﹣x+8=0，
解得：x1=﹣6，x2=，∴点A的坐标为（﹣6，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），又∵直线过点A（﹣6，0）和点D（2，4），
∴，解得：，∴直线AD的解析式为y=x+3．
令x=0，则y=3，∴点K的坐标为（0，3）．
在Rt△AOK中，tan∠KAO=，
作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8﹣4=4，
在Rt△CED中，tan∠ECD，
∴tan∠KAO=tan∠ECD，
即∠KAO=∠ECD
∵∠KAO+∠AKO=90°，
又∵∠AKO=∠CKD，
∴∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，
∴点D在⊙M上．
（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时，由（2）中可知：tan∠ECD=，
在Rt△OED中，tan∠EOD=，∴tan∠ECD=tan∠EOD，∠ECD=∠EOD，CD=OD，
∵∠AOC=90°，∴点O在⊙M上．在⊙M中，=，∠CAD=∠DAB，即∠BAC=2∠BAD，
∴点D（2，4）符合题意．
ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，
设直线AD'上的任意一点为（m，n），则点（m，n）关于x轴的对称点（m，﹣n）在直线AD上，
把点（m，﹣n）代入直线AD的解析式y=x+3，得：﹣n=m+3，n=﹣m﹣3，即y=﹣x﹣3，
联立得：﹣x﹣3=﹣x2﹣x+8，
整理得：5x2+8x﹣132=0，
解得：x1=﹣6，x2=，
∴点D(，-）．
综上，符合条件的点D的坐标为（2，4）或(，-）．
【考点】二次函数综合题．
18．（1）抛物线的解析式为y=x2-2x+．（2）M1（9，4），M2（-1，4）．（3）①AF=BE，∠APB=120°．
【解析】试题分析：（1）先设出抛物线的解析式，然后将已知点的坐标代入求解即可；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．先求得三角形ABC的面积，从而得到△ABM的面积，依据三角形的面积公式可求得点M的纵坐标为4，由点M在抛物线可知可知y=4，从而可求得对应的x的值，于是得到点M的坐标；
（3）①先证明依据SAS△BEC≌△AFB，由全等三角形的性质可得到AF=BE，接下来证明∠FAB+∠ABP=∠ABC，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB的度数；②如图3所示：设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．依据圆的内角四边形的性质和圆周角定理可求得∠AMB的长，接下来，依据等腰三角形三线合一的性质可得到AG=3，∠AMG=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后依据扇形的弧长公式求解即可；如图4所示：当AE=BF时．依据SAS可证明△AEB≌△BAF，从而得到∠PAB=∠PBA，故此可知点P在AB的垂直平分线上，最后依据特殊锐角三角函数求得CN的长即可．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+．
∵将点A、B的坐标代入得：，解得：a=，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+．
（2）存在点M使得S△AMB=S△ABC．
如图1所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=60°．
∴CK=3．
∴S△ABC=AB•CK=×6×3=9．
∴S△ABM=×9=12．
设M（x，x2-2x+）．
∴AB•|yM|=12，即×6×（x2-2x+）=12．
解得x1=9，x2=-1．
∴M1（9，4），M2（-1，4）．
（3）①AF=BE，∠APB=120°．
理由：如图2所示；
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中
，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°=120°．
②如图3所示：当CE=FB时．
∵由①可知：∠APB=120°，
∴点P的运动轨迹是一条弧．
设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵∠APB=120°，
∴∠AHB=60°．
∴∠AMB=120°．
∵AM=MB，MG⊥AB，
∴AG=BG=3，∠AMG=∠BMG=60°．
∴，即．
∴AM=2．
∴点P运动的路径=．
如图4所示：当AE=BF时．
∵在△ABE和△BAF中
，
∴△ABE≌△BAF．
∴AF=EB，∠FAB=∠EBA．
∴AP=BP．
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴点P运动的路线=NC=3．
∴点P经过的路径长为或3．
考点：二次函数综合题．
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