2020年四川省遂宁市中考数学试卷

　　____2020年四川省遂宁市中考数学试卷

一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．)

1．(2020·遂宁中考)－5的相反数是(A)

A．5    B．－5    C．    D．－

2．(2020·遂宁中考)已知某种新型感冒病毒的直径为0.000 000 823 m，将0.000 000 823用科学记数法表示为(B)

A．8.23×10－6    B．8.23×10－7

C．8.23×106    D．8.23×107

3．(2020·遂宁中考)下列计算正确的是(D)

A．7ab－5a＝2b    B．＝a2＋

C．(－3a2b)2＝6a4b2    D．3a2b÷b＝3a2

4．(2020·遂宁中考)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)

A．等边三角形    B．平行四边形

C．矩形    D．正五边形

5．(2020·遂宁中考)函数y＝中，自变量x的取值范围是(D)

A．x＞－2    B．x≥－2

C．x＞－2且x≠1    D．x≥－2且x≠1

6．(2020·遂宁中考)关于x的分式方程－＝1有增根，则m的值(D)

A．m＝2    B．m＝1    C．m＝3    D．m＝－3

7．(2020·遂宁中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为(C)

A．    B．    C．    D．

8．(2020·遂宁中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论不正确的是(C)

A．b2＞4ac

B．abc＞0

C．a－c＜0

D．am2＋bm≥a－b(m为任意实数)

9．(2020·遂宁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为(B)

A．4－    B．2－    C．2－π    D．1－

10．(2020·遂宁中考)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：

①∠AED＋∠EAC＋∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE＝AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE·EF＝EQ·DE.

其中正确的结论有(B)

A．5个    B．4个    C．3个    D．2个

二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

11．(2020·遂宁中考)下列各数3.141 592 6，，1.212 212 221…，，2－π，－2 020，中，无理数的个数有3个．

12．(2020·遂宁中考)一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是4．

13．(2020·遂宁中考)已知一个正多边形的内角和为1 440°，则它的一个外角的度数为36°.

14．(2020·遂宁中考)若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是1＜m≤4．

15．(2020·遂宁中考)如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若＋＋＋…＋＝(n为正整数)，则n的值为4 039．

三、计算或解答题(本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(2020·遂宁中考)计算：－2sin 30°－|1－|＋－(π－2 020)0.

解：原式＝2－2×－(－1)＋4－1

＝2－1－＋1＋4－1

＝3＋.

17．(2020·遂宁中考)先化简，(－x－2)÷，然后从－2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．

解：原式＝·

＝·

＝·

＝－·

＝－(x－3)

＝－x＋3.

∵x≠±2，∴可取x＝1.

则原式＝－1＋3＝2.

18．(2020·遂宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.

(1)求证：△BDE≌△FAE；

(2)求证：四边形ADCF为矩形．

证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.

∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.

又∵∠AEF＝∠DEB，

∴△BDE≌△FAE(AAS)；

(2)由(1)可知，AF＝BD.

∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.

∵AF∥CD，∴四边形ADCF为平行四边形．

∵AB＝AC，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.

∴四边形ADCF为矩形．

19．(2020·遂宁中考)在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60 m，已知1号楼的高度为20 m，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．(结果精确到0.1)

(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，tan 67°≈2.36)

解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N.

由题意得，EC＝20 m，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝BD＝EM＝NF，AB＝60 m，

∴AM＝AB－MB＝60－20＝40(m).

在Rt△AEM中，

∵tan ∠AEM＝，

∴EM＝＝≈≈16.9(m).

在Rt△AFN中，

∵tan ∠AFN＝，

∴AN＝FN·tan 40°＝16.9×tan 40°≈14.2(m).

∴FD＝NB＝AB－AN＝60－14.2＝45.8(m).

答：2号楼的高度约为45.8 m．

20．(2020·遂宁中考)新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．

(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元？

(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？

解：(1)设A、B两种花苗的单价分别是x元、y元，

则解得

答：A、B两种花苗的单价分别是20元、30元；

(2)设购买B花苗x盆，则购买A花苗(12－x)盆，设总费用为w元，

由题意得，w＝20(12－x)＋(30－x)x＝－x2＋10x＋240＝－(x－5)2＋265(0≤x≤12).

∵－1＜0，故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265；当x＝12时，w的最小值为216.

故本次购买至少准备216元，最多准备265元．

21．(2020·遂宁中考)阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1(a1≠0，a1、b1、c1是常数)与y＝a2x2＋b2x＋c2(a2≠0，a2、b2、c2是常数)满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2－3x＋1的旋转函数，小明是这样思考的：由函数y＝2x2－3x＋1可知，a1＝2，b1＝－3，c1＝1，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

(1)写出函数y＝x2－4x＋3的旋转函数；

(2)若函数y＝5x2＋(m－1)x＋n与y＝－5x2－nx－3互为旋转函数，求(m＋n)2 020的值；

(3)已知函数y＝2(x－1)(x＋3)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2(x－1)(x＋3)互为“旋转函数”．

(1)解：由y＝x2－4x＋3函数可知，a1＝1，b1＝－4，c1＝3，

∵a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，

∴a2＝－1，b2＝－4，c2＝－3.

∴函数y＝x2－4x＋3的旋转函数为y＝－x2－4x－3；

(2)解：∵y＝5x2＋(m－1)x＋n与y＝－5x2－nx－3互为旋转函数，

∴解得.

∴(m＋n)2 020＝(－2＋3)2 020＝1；

(3)证明：当x＝0时，y＝2(x－1)(x＋3)＝－6，

∴点C的坐标为(0，－6).

当y＝0时，2(x－1)(x＋3)＝0，

解得x1＝1，x2＝－3.

∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(－3，0).

∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，

∴A1(－1，0)，B1(3，0)，C1(0，6).

设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，

将C1(0，6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，解得a＝－2.

∴过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝－2(x＋1)(x－3)，即y＝－2x2＋4x＋6.

∵y＝2(x－1)(x＋3)＝2x2＋4x－6，

∴a1＝2，b1＝4，c1＝－6，a2＝－2，b2＝4，c2＝6.

∴a1＋a2＝2＋(－2)＝0，b1＝b2＝4，c1＋c2＝(－6)＋6＝0.

∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2(x－1)(x＋3)互为“旋转函数”．

22．(2020·遂宁中考)端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如下两幅不完整统计图：

(1)本次参加抽样调查的居民有________人；

(2)喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为________°.根据题中信息补全条形统计图；

(3)若该居民小区有6 000人，请你估计爱吃D种粽子的有________人；

(4)若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．

解：(1)600；[240÷40%＝600(人)，

∴本次参加抽样调查的居民有600人．]

(2)72；补全条形统计图如图所示；[喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60(人)，

喜欢C种口味粽子的人数为600－180－60－240＝120(人)，

∴喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×＝72°.]

(3)2 400；[6 000×40%＝2 400，

∴估计爱吃D种粽子的有2400人。]

(4)画树状图为：

由图可知，共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，

∴P他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的＝＝.

23．(2020·遂宁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)，连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y＝(k≠0)于D、E两点，连结CE，交x轴于点F.

(1)求双曲线y＝(k≠0)和直线DE的解析式．

(2)求△DEC的面积．

解：∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)，

∴OA＝2，OB＝1.

作DM⊥y轴于点M.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠OAB＋∠DAM＝90°.

∵∠OAB＋∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO.

在△AOB和△DMA中，

∴△AOB≌△DMA(AAS).

∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2.∴D(2，3).

∵双曲线y＝(k≠0)经过点D，∴k＝2×3＝6.∴双曲线为y＝.

设直线DE的解析式为y＝mx＋n，

把B(1，0)，D(2，3)代入得解得

∴直线DE的解析式为y＝3x－3；

(2)连接AC，交BD于点N.

∵四边形ABCD是正方形，

∴BD垂直平分AC，AC＝BD.

解得或

∴E(－1，－6).

∴DE＝＝3.又∵DB＝＝，

∴CN＝BD＝.

∴S△DEC＝DE·CN＝×3＝.

24．(2020·遂宁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q(EP不是直径)，点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．

(1)求证：BC是⊙O的切线．

(2)求证：＝.

(3)若sin ∠ABC＝，AC＝15，求四边形CHQE的面积．

(1)证明：连接OE，OP，

∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP.∴PB＝BE.

∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO(SSS).∴∠BEO＝∠BPO.

∵BP为⊙O的切线，∴∠BPO＝90°.∴∠BEO＝90°.∴OE⊥BC.

∴BC是⊙O的切线；

(2)证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE.

∴∠CAE＝∠OEA.

∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO.∴∠CAE＝∠EAO.

∴＝；

(3)解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，∴EP⊥AB.

∵CG⊥AB，∴CG∥EP.

∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE.∴∠CAE＝∠AEO.

∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO.∴∠CAE＝∠EAO.

∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE(AAS).∴CE＝QE.

∵∠AEC＋∠CAE＝∠EAQ＋∠AHG＝90°，∴∠CEH＝∠AHG.

∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH.∴CH＝CE.∴CH＝EQ.

∴四边形CHQE是平行四边形．

∵CH＝CE，∴四边形CHQE是菱形．

∵sin ∠ABC＝sin ∠ACG＝＝，AC＝15，∴AG＝9.∴CG＝＝12.

∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15.∴QG＝6.

∵HQ2＝HG2＋QG2，∴HQ2＝(12－HQ)2＋62.解得HQ＝.∴CH＝HQ＝.

∴四边形CHQE的面积＝CH·GQ＝×6＝45.

25．(2020·遂宁中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1∶2两部分，求点E的坐标；

(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上一动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3).

将点C(0，6)代入，

∴6＝a(0－1)(0－3).∴a＝2.

∴抛物线解析式为y＝2(x－1)(x－3)＝2x2－8x＋6；

(2)∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，∴顶点M的坐标为(2，－2).

∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N(2，2).

设直线AN的解析式为y＝kx＋b，

由题意可得解得

∴直线AN的解析式为y＝2x－2.

联立方程组解得或

∴点D(4，6).

∴S△ABD＝×2×6＝6.

设点E(m，2m－2)，

∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，

∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，即×2×(2m－2)＝2或×2×(2m－2)＝4.

∴m＝2或3.

∴点E(2，2)或(3，4)；

(3)若AD为平行四边形的边，

∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD＝PQ.

∴xD－xA＝xP－xQ或xD－xA＝xQ－xP.

∴xP＝4－1＋2＝5或xP＝2－4＋1＝－1.

∴点P坐标为(5，16)或(－1，16)；

若AD为平行四边形的对角线，

∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

∴AD与PQ互相平分．

∴＝.

∴xP＝3.

∴点P坐标为(3，0).

综上所述：当点P坐标为(5，16)或(－1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．