全国统考2022高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入学案理含解析打包4套北师大版 学案
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www.ks5u.com5.4 数系的扩充与复数的引入
必备知识预案自诊
知识梳理
1.复数的有关概念
内 容 | 意 义 | 备 注 |
复数 的概念 | 形如 (a∈R,b∈R)的数叫作复数,其中实部为 ,虚部为 | 当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数 |
复数 相等 | a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔ | 实数能比较大小,虚数不能比较大小 |
共轭 复数 | a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)⇔ | 实数a的共轭复数是a本身 |
复平面 | 建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面, 叫作实轴,y轴叫作虚轴 | 实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数 |
复数的 模 | 设对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量的长度叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi| | |z|=|a+bi|=(a,b∈R) |
2.复数的几何意义
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ;
④除法:i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .
(3)复数加、减法的几何意义
若复数z1,z2对应的向量不共线,则复数z1+z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数;复数z1-z2是所对应的复数.
1.(1±i)2=±2i;=i;=-i. 2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+). 5.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环; (2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆. |
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若a∈C,则a2≥0.( )
(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.( )
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.( )
(4)方程x2+x+1=0没有解.( )
(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.( )
2.(2020浙江,2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=( )
A.1+2i B.-2+i
C.1-2i D.-2-i
4.(2020全国2,文2)(1-i)4=( )
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是 .
关键能力学案突破
考点 | 复数的有关概念 |
【例1】(1)(2020全国1,文2)若z=1+2i+i3,则|z|=( )
A.0 B.1 C. D.2
(2)(2020陕西宝鸡三模,文2)已知复数z在复平面内对应的点为(1,m),若iz为纯虚数,则实数m的值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.1或-1
(3)(2019江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .
思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?
解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
对点训练1(1)(2020全国3,理2)复数的虚部是( )
A.- B.- C. D.
(2)(2020福建福州三模,理1)已知纯虚数z满足(1-i)z=2+ai,则实数a=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
考点 | 复数的几何意义 |
【例2】(1)(2019全国1,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
(2)(2020全国2,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= .
思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?
解题心得1.复数z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)=(a,b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
对点训练2(1)设复数z满足|z-i|+|z+i|=4,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
(2)(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为P(x,y),则( )
A.y=x+1 B.y=x
C.y=x+2 D.y=-x
考点 | 复数的代数运算 |
【例3】(1)(2020新高考全国1,2)=( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
(2)(2020江苏南京六校5月联考,2)已知复数z=(a+2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,a为实数,则
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