2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）（解析版）

这是一份2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）（解析版），共26页。试卷主要包含了集合M={x|y=lg，若复数z满足，将函数f，已知双曲线C，设函数f等内容，欢迎下载使用。

2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）
　
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）}，N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，则{1，3，5，7}=（　　）
A．∁R（M∩N） B．（∁RM）∩N C．（∁RM）∩（∁RN） D．M∩（∁RN）
2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i，则|z|=（　　）
A． B． C．3 D．2
3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位，所得的图象其中的一条对称轴方程为（　　）
A．x=0 B．x= C．x= D．x=
4．已知等差数列{an}，Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=an2+4n+a﹣4（a∈R），记数列{}的前n项和为Tn，则T10=（　　）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，若输出的s=86，则判断框内的正整数n的所有可能的值为（　　）

A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，9
6．已知夹角为的两个向量，，，向量满足（）•（）=0，则||的取值范围为（　　）
A．[1，] B．[0，2] C．[1，] D．[0，2]
7．若实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P（﹣，）处取得最小值，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤0
8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，P为左支上一点，|PF1|=a，P0与P关于原点对称，且=0．则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x
9．设函数f（x）=，其中对∀x1，x2∈（﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（0）=1，若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）的解集为D，且2e∈D（e为自然对数的底数），则a的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．e D．2e
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则正视图中x的值为（　　）

A． B．2 C． D．
11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且对于任意的正整数n≥2， +=1，设数列{bn}满足bn=asin，其前4n项和为T4n，则满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，+∞） D．[，+∞）
　
二．填空题：本大题共4小题．每小题5分．
13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1=3，an+1=2Sn（n≥1），则Sn=_______．
14．已知α∈（0，），若cos（α+）=，则tan（2α+）=_______．
15．已知点A、F分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点和左焦点，若AF与圆O：x2+y2=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为_______．
16．将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：
（x2+x+1）0=1
（x2+x+1）1=x2+x+1
（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1
（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为_______．

　
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．
（1）若△BCD的面积为，求线段CD的长；
（2）若DE=，求角A的值．

18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．
（I）求证：AB⊥B1C；
（Ⅱ）若AB=B1C=2，BC=，求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．

19．2015年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对“全面二胎”的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表：
居民编号


28

















问卷得分
36
52
78
70
16
100
72
78
100
24
40
78
78
80
94
55
77
73
58
55
（注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高）
（Ⅰ）列出该地得分为100分的居民编号；
（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图，试通过茎叶图中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎”的赞同程度（不要求算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅲ）将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度”．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民“持赞同态度”居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．
（i）求每次抽取1人，抽到“持赞同态度”居民的概率；
（ii）若设被抽到的4人“持赞同态度”的人数为ξ．每次抽取结果相互独立，求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．

20．已知点M是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点P是抛物线C1上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C2，（x一1）2+y2=1，且|MC2|=3|OM|为坐标原点．
（I）求抛物线C1的标准方程；
（Ⅱ）求△APB面积的最小值．
21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2，g（x）=lnx﹣bx，且曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若m、n是函数g（x）的两个不同零点，求证：f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数的底数）．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC和AD相交于点F．
（I）求证：AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．
（I）当a=1时，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）当a=3时，若f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
　

2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）
参考答案与试题解析
　
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）}，N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，则{1，3，5，7}=（　　）
A．∁R（M∩N） B．（∁RM）∩N C．（∁RM）∩（∁RN） D．M∩（∁RN）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简集合M，根据N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，和{1，3，5，7}可得答案．
【解答】解：∵x2﹣8x＞0，解得x＜0或x＞8，
∴M=（﹣∞，0）∪（8，+∞），
∴∁RM=[0，8]，
∵N={x|x=2n﹣1，n∈Z}，
∴（∁RM）∩N={1，3，5，7}．
故选：B．
　
2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i，则|z|=（　　）
A． B． C．3 D．2
【考点】复数求模．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算求得，再由求得答案．
【解答】解：由（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i，
得=，
∴．
故选：C．
　
3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位，所得的图象其中的一条对称轴方程为（　　）
A．x=0 B．x= C．x= D．x=
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用两角差的正弦函数公式可求f（x）=2sin（2x﹣），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+），利用正弦函数的对称性即可得解．
【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），
将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+），
由2x+=kπ+，k∈Z，
可得所得的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z，
当k=0时，可知函数g（x）图象关于直线x=对称．
故选：B．
　
4．已知等差数列{an}，Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=an2+4n+a﹣4（a∈R），记数列{}的前n项和为Tn，则T10=（　　）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】由等差数列{an}的前n项和的性质及其Sn=an2+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，a=4．于是Sn=4n2+4n. = ．利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：由等差数列{an}的前n项和的性质及其Sn=an2+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，解得a=4．
∴Sn=4n2+4n．
∴=．
∴T10=+…+
==．
故选：D．
　
5．执行如图所示的程序框图，若输出的s=86，则判断框内的正整数n的所有可能的值为（　　）

A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，9
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得
s=1，k=0
执行循环体，s=2，k=2
不满足条件2＞n，执行循环体，s=6，k=4
不满足条件4＞n，执行循环体，s=22，k=6
不满足条件6＞n，执行循环体，s=86，k=8
此时，应该满足条件8＞n，执行循环体，退出循环，输出s的值为86，
所以，判断框内n的值满足条件：6≤n＜8，
则判断框内的正整数n的所有可能的值为6，7．
故选：B．
　
6．已知夹角为的两个向量，，，向量满足（）•（）=0，则||的取值范围为（　　）
A．[1，] B．[0，2] C．[1，] D．[0，2]
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=2，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值，进而得到所求范围．
【解答】解：由题意可得•=0，
可得|+|==2，
（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）
=||2﹣||•|+|cos＜+，＞=0，
即为||=2cos＜+，＞，
当cos＜+，＞=1即+，同向时，
||的最大值是2．
则||的取值范围为[0，2]．
故选：B．
　
7．若实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P（﹣，）处取得最小值，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤0
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，化z=ax+y为y=﹣ax+z，从而可得﹣a＜﹣1，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
z=ax+y可化为y=﹣ax+z，
∵z=ax+y仅在点P（﹣，）处取得最小值，
∴﹣a＜﹣1，
∴a＞1，
故选：B．
　
8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，P为左支上一点，|PF1|=a，P0与P关于原点对称，且=0．则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的边角关系进行求解即可．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，
则由对称性知，|P0F2|=|PF1|=a，
则|P0F1|﹣|P0F2|=2a，
即|P0F1|=3a，
∵=0，∴P0F1⊥PF1，即P0F1⊥P0F2，
则4c2=（3a）2+a2=10a2=4（a2+b2）
即3a2=4b2，
则，即=，
即双曲线的渐近线方程为y=x，
故选：C．

　
9．设函数f（x）=，其中对∀x1，x2∈（﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（0）=1，若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）的解集为D，且2e∈D（e为自然对数的底数），则a的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．e D．2e
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的单调性的定义可得g（x）在（﹣∞，0]内单调递增，根据题意作出函数f（x）的简图，利用树形结合的思想即可求出．
【解答】解：对∀x1，x2∈（﹣∞，0]，且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1），
∴[g（x2）﹣g（x1）]（x2﹣x1）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，0]内单调递增，
根据题意作出函数f（x）的简图，如图所述，
令f（x）≤1，由f（x）的图象可知x≤e，
若f（x﹣a）≤1，则x≤e+a，
∴D=（﹣∞，e+a]，
又2e∈D，
∴2e≤a+e，
∴a≥e，则a的最小值是e，
故选：C．

　
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则正视图中x的值为（　　）

A． B．2 C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分，画出直观图求出几何体的棱，结合几何体的体积和柱体的体积公式列出方程，求出x即可．
【解答】解：根据三视图知几何体是：
直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分，直观图如图所示：
其中AB=x，且BC=2，长方体底面的宽是，
∵该几何体的体积为，
∴=，解得x=，
故选：D．

　
11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且对于任意的正整数n≥2， +=1，设数列{bn}满足bn=asin，其前4n项和为T4n，则满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】数列递推式．
【分析】先由递推公式得到数列{an}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，再求出bn，分别计算前4项和，5﹣8项和，9﹣12项和，找到规律得到T4n递减，当n=2时，满足，问题得以解决．
【解答】解：由题意可得，当n=2时， +=1，
∴=1，
即a22﹣a2﹣6=0，
解得a2=3或a2=﹣2（舍去），
当n≥2， +=1，
∴2（Sn+1）+Sn﹣1•an=an（Sn+1），
∴2（Sn+1）+（Sn﹣an）an=an（Sn+1），
∴2Sn+2=an2+an，
当n≥3时，2Sn﹣1+2=an﹣12+an﹣1，
两式相减得2an=an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1，
∴an+an﹣1=an2﹣an﹣12，
∵正项数列{an}，
∴an﹣an﹣1=1，（n≥3），
∵a2﹣a1=1，
∴数列{an}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，
∴an=2+（n﹣1）=n+1，
∴bn=（n+1）2sin，
∴当n=1时，sin=1，n=2时，sinπ=0，n=3时，sin=﹣1，n=4时，sin2π=0，
∴b1+b2+b3+b4=4+0﹣16+0=﹣12，
b5+b6+b7+b8=36+0﹣64+0=﹣28，
b9+b10+b11+b12=102+0﹣122+0=﹣44，
…
b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+bn=（4n﹣2）2﹣（4n）2=﹣2（8n﹣2）=4﹣16n＜0，
∴T4n递减，
当n=2时，满足，
故选：B
　
12．若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，+∞） D．[，+∞）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：设公切线与f（x）=x2+1的图象切于点（x1，），
与曲线C：g（x）=aex+1切于点（x2，），
∴2x1===，
化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2，
∵2x1=，且a＞0，∴x1＞0，则2x2=x1+2＞2，即x2＞1，
由2x1=得a==，
设h（x）=（x＞1），则h′（x）=，
∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
∴h（x）max=h（2）=，
∴实数a的取值范围为（0，]，
故选：A．
　
二．填空题：本大题共4小题．每小题5分．
13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1=3，an+1=2Sn（n≥1），则Sn=3n．
【考点】数列递推式．
【分析】由an+1=2Sn（n≥1），可得Sn+1﹣Sn=2Sn，即Sn+1=3Sn利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵an+1=2Sn（n≥1），∴Sn+1﹣Sn=2Sn，即Sn+1=3Sn，
∴数列{Sn}是等比数列，首项为S1=3，公比为q=3，
∴Sn=3•3n﹣1=3n．
故答案为：3n．
　
14．已知α∈（0，），若cos（α+）=，则tan（2α+）=．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由同角三角函数关系得sin（α+）=，由二倍角公式得tan[2（α+）]=，由两角差的正切公式得结果．
【解答】解：∵cos（α+）=，α∈（0，），
∵cos2（α+）+sin2（α+）=1，α+∈（，）
∴sin（α+）=，
∴tan（α+）=，
∴tan[2（α+）]= =，
∴tan（2α+）=tan（2α+﹣）=tan[2（α+）﹣]=．
　
15．已知点A、F分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点和左焦点，若AF与圆O：x2+y2=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为=1．
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
【分析】如图所示，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：|OT|2=|TF||AT|，解得m．又|OT|=2，可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2，即可得出．
【解答】解：如图所示，设|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．
由△AOT∽△OFT，可得：|OT|2=|TF||AT|，
∴4=2m2，解得m=．
又|OT|=2，∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．
∴a2=b2+c2=18．
∴椭圆C的标准方程为=1．
故答案为： =1．

　
16．将三项式（x2+x+1）n展开，当n=0，1，2，3，…时，得到以下等式：
（x2+x+1）0=1
（x2+x+1）1=x2+x+1
（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1
（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为1．

【考点】归纳推理．
【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值．
【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x7项的系数为30+45a=75，
所以a=1．
故答案为：1．
　
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．
（1）若△BCD的面积为，求线段CD的长；
（2）若DE=，求角A的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）先根据三角形的内角A，B，C成等差数列，求出B的度数，再根据三角的面积公式求出BD，再根据余弦定理即可求出，
（2）根据垂直平分线的性质得到AC=2AE=，再根据正弦定理，即可求出答案．
【解答】解：（1）三角形的内角A，B，C成等差数列，
则有2B=A+C．又A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵△BCD的面积为，a=2
∴BD•BC•sin60°=，
∴BD=，
由余弦定理，CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=，
∴CD=，
（2）∵线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点，DE=，
∴AE=，
∴AC=2AE=2×=，
由正弦定理可得=，
即=，
∴cosA=，
∵0＜A＜180°，
∴A=45°
　
18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．
（I）求证：AB⊥B1C；
（Ⅱ）若AB=B1C=2，BC=，求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）取AB中点，连接OC，OB1，证明AB⊥平面OCB1，即可证明．AB⊥B1C；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，然后求正弦值即可．
【解答】解：（1）∵四边形AA1B1B是菱形，且∠ABB1=60°．
∴△ABB1是等边三角形，
取AB中点，连接OC，OB1，则AB⊥OB1，
∵CA=CB，∴AB⊥OC，
∵OC∩OB1=O，OB1，OC⊂平面OB1C，
∴AB⊥平面OCB1，∴AB⊥B1C；
（2）∵△ABB1是等边三角形，AB=2，∴OB1=，
∵在△ABC中，AB=2，BC=AC=，O为AB的中点，
∴OC=1，
∵B1C=2，0B1=，∴OB12+OC2=B1C2，
∴OB1⊥OC，
∵OB1⊥AB，
∴OB1⊥平面ABC，
以O为坐标原点，OB，OC，OB1的方向为x，y，z轴的正向，建立如图所示的坐标系，
可得A（﹣1，0，0），B1（0，0，），B（1，0，0），C（0，1，0），
则=+=+=（﹣1，1，），则C（﹣1，1，），
=（1，0，），=（0，1，），
则平面BAB1的一个法向量为=（0，1，0），
设=（x，y，z）为平面AB1C1的法向量，
则： •=x+z=0， •=y+z=0，
令z=﹣1，则x=y=，
可得=（，，﹣1），
故cos＜，＞==，
则sin＜，＞==，
即二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值是．

　
19．2015年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对“全面二胎”的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表：
居民编号


28

















问卷得分
36
52
78
70
16
100
72
78
100
24
40
78
78
80
94
55
77
73
58
55
（注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高）
（Ⅰ）列出该地得分为100分的居民编号；
（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图，试通过茎叶图中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎”的赞同程度（不要求算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅲ）将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度”．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民“持赞同态度”居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．
（i）求每次抽取1人，抽到“持赞同态度”居民的概率；
（ii）若设被抽到的4人“持赞同态度”的人数为ξ．每次抽取结果相互独立，求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．

【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）数列{an}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{an}为等差数列，即可求出答案；
（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民“全面二胎”的赞同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民“持赞同态度”的居民有12人，即可求出答案，
（ii）由题意知ξ～B（4，），故ξ的分步列如下表，根据数学期望和方差的计算公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）记数列{an}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{an}为等差数列，公差d=10，
且a3=28，得到为100分的居民编号分别对应为a6，a9，
则a6=a3+3d=58，a9=a3+6d=88，
所以得分为100分的居民编号分别为58，88，
（Ⅱ）通过茎叶图可以看出，该地区农村居民问卷得分的平均值明显高于城市居民问卷得分的平均值，
农村居民问卷得分的中位数为（94+96）=95，城市居民问卷得分的中位数为（72+73）=72.5，
农村居民问卷得分的中位数明显高于城市居民问卷得分的中位数，
所以农村居民“全面二胎”的赞同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民“持赞同态度”的居民有12人，
每次抽到“持赞同态度”居民的概率为=，
（ii）由题意知ξ～B（4，），故ξ的分步列如下表，
ξ
0
1
2
3
4
P





E（ξ）=4×=
所以D（ξ）=np（1﹣p）=4××=
　
20．已知点M是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点P是抛物线C1上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C2，（x一1）2+y2=1，且|MC2|=3|OM|为坐标原点．
（I）求抛物线C1的标准方程；
（Ⅱ）求△APB面积的最小值．
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．
【分析】（I）求出M（﹣，0），可得=，即可求抛物线C1的标准方程；
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（0，b），B（0，c），求得直线PA的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PAB的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．
【解答】解：（I）由题意，C2（1，0），
∵|MC2|=3|OM|，
∴M（﹣，0），
∴=，
∴p=1，
∴抛物线C1的标准方程是y2=2x；
（Ⅱ）设P（x0，y0），A（0，b），B（0，c），
直线PA的方程为：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，
又圆心（1，0）到PA的距离为1，
即=1，整理得：（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，
同理可得：（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，
所以，可知b，c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根，
所以b+c=，bc=，
依题意bc＜0，即x0＞2，
则（c﹣b）2=，
因为y02=2x0，所以：|b﹣c|=||
所以S=|b﹣c|•|x0|=（x0﹣2）++4≥8
当x0=4时上式取得等号，
所以△PAB面积最小值为8．
　
21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2，g（x）=lnx﹣bx，且曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若m、n是函数g（x）的两个不同零点，求证：f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数的底数）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式可得a=3：
（Ⅱ）求出f（x）的导数，可得f（x）在R上递增，要证f（mn）＞f（e2），只需证mn＞e2，m、n是函数g（x）的两个不同零点，可得lnm=bm，lnn=bn，相加减，可得ln（mn）=ln•=ln•，设m＞n＞0，令t=＞1，则h（t）=lnt•，只需证得当t＞1时，h（t）＞2．设φ（t）=lnt+﹣2，求得导数，判断单调性，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣x2+ax+2的导数为f′（x）=x2﹣2x+a，
可得曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线斜率为k=a，
由两点的斜率可得=a，解得a=3；
（Ⅱ）证明：f（x）=x3﹣x2+x+2的导数为
f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，
即有f（x）在R上递增，
要证f（mn）＞f（e2），只需证mn＞e2，
m、n是函数g（x）的两个不同零点，
可得lnm=bm，lnn=bn，
相减可得lnm﹣lnn=b（m﹣n），
相加可得lnm+lnn=b（m+n），
可得b==，
即有ln（mn）=ln•=ln•，
设m＞n＞0，令t=＞1，则h（t）=lnt•，
下证当t＞1时，h（t）＞2．
即当t＞1时，lnt•＞2，即lnt＞=2（1﹣），
只需证t＞1时，lnt+﹣2＞0，设φ（t）=lnt+﹣2，
则φ′（t）=﹣=＞0，即φ（t）在（1，+∞）递增，
可得φ（t）＞φ（1）=0，即ln（mn）＞2，
故f（mn）＞f（e2）．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC和AD相交于点F．
（I）求证：AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．

【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（I）连接CD，证明：△CFD∽△ACD，得到，即可证明AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB，即可求∠BAC．
【解答】（I）证明：连接CD，
∵直线ED与圆相切于点D，
∴∠EDC=∠EAD，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB，
∴∠CAD=∠DCF，
∵∠CDF=∠ADC，
∴△CFD∽△ACD，
∴，
∴AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）解：∵D、E、C、F四点共圆，
∴∠CFA=∠CED，
∵ED∥BC，
∴∠ACF=∠CED，
∴∠ACF=∠CFA．
由（I）可知∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DAB，
∴∠EAD=∠DAB，
设∠EAD=∠DAB=x，则∠ABC=∠CAB=2x，
∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，
在等腰△ACF中，∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x，
∴x=
∴∠BAC=2x=．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈[0，]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长|MN|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆的标准方程为： =4，展开 利用互化公式即可化为极坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，利用根与系数的关系可得：|MN|=|t1﹣t2|=，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．
【解答】解：（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆的标准方程为： =4，
展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0，
∴t1+t2=﹣2cosφ，t1t2=﹣3．
∴|MN|=|t1﹣t2|==2，
∵φ∈[0，]，∴cosφ∈，cos2φ∈．
∴|MN|∈．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．
（I）当a=1时，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）当a=3时，若f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）a=1时，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）a=3时，通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=，
x≤1时，4﹣3x≤2，解得：≤x≤1，
1＜x＜2时，x≤2，∴1＜x＜2，
x≥2时，3x﹣4≤2，∴x=2，
综上，不等式的解集是{x|≤x≤2}；
（Ⅱ）a=3时，f（x）=，
x≤1时，6﹣3x≥3，∴f（x）≥3，
1＜x≤2时，2≤4﹣x＜3，∴2≤f（x）＜3，
2＜x≤3时，2＜f（x）≤3，
x＞3时，3x﹣6＞3，∴f（x）＞3，
综上，x=2时，f（x）的最小值是2，
若f（x）≥m恒成立，则m≤2，
故实数m的范围是（﹣∞，2]．
　

2016年9月8日