2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）（解析版）

这是一份2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）（解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．已知i是虚数单位，复数的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（　　）
A．2 B． C． D．
4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
5．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．或
6．已知，则tan2α=（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（　　）

A．4 B．5 C．7 D．11
8．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）

A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．
9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（　　）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（　　）
A．（﹣0.4，﹣0.3） B．（﹣0.2，﹣0.1） C．（﹣0.3，﹣0.2） D．（0.4，0.5）
11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2]
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知，则的值是　 　．
14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有　 　种．

15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为　 　．
16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为　 　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．
（I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．

19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）
年龄
频数
频率
男
女
[0，10）
10
0.1
5
5
[10，20）
①
②
③
④
[20，30）
25
0.25
12
13
[30，40）
20
0.2
10
10
[40，50）
10
0.1
6
4
[50，60）
10
0.1
3
7
[60，70）
5
0.05
1
4
[70，80）
3
0.03
1
2
[80，90）
2
0.02
0
2
合计
100
1.00
45
55
（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．
（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？
（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列
（表二）

50岁以上
50岁以下
合计
男生
　 　
　 　
　 　
女生
　 　
　 　
　 　
合计
　 　
　 　
　 　

P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d）

20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．
（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．

21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．
（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R
（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．
　

2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】解出集合Q，再根据P⊆Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数；
【解答】解：集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，
∴Q={0，1，2}，共有三个元素，∵P⊆Q，
又Q的子集的个数为23=8，
∴P的个数为8，
故选D；
　
2．已知i是虚数单位，复数的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数==i﹣2的虚部为1．
故选：B．
　
3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【分析】根据平均数公式先求出a，再计算它们的方差．
【解答】解：设丢失的数据为a，则这组数据的平均数是
×（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，
根据方差计算公式得
s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．
故选：A．
　
4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．
【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，
则c=2a，b=，
∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，
∴d=，
即，
解得c=2，
则焦距为2c=4，
故选：C
　
5．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（　　）
A． B． C． D．或
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】依题意，三条直线围成一个直角三角形，可能会有两种情形，分别计算两种情形下三角形的顶点坐标，利用三角形面积公式计算面积即可．
【解答】解：有两种情形：
（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直，则k=﹣，
三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（，），
三角形的面积为s=×1×=；
（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直，则k=0，
三角形的三个顶点为（0.0），（0，1），（，1），
三角形的面积为s=×1×=．
∴该三角形的面积为或．
故选：D．


　
6．已知，则tan2α=（　　）
A． B． C． D．
【考点】GU：二倍角的正切．
【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．
【解答】解：∵，
∴，化简得4sin2α=3cos2α，
∴，
故选：C．
　
7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（　　）

A．4 B．5 C．7 D．11
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可．
【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1，
第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，
第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，
第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，
第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，
跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4，
故选：A
　
8．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）

A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．
【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，
从而得a=1，
∵BD∥FG，
∴=求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x．
故选C．

　
9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（　　）
A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A，C均正确，而根据AC可判断B正确，D错误．
【解答】解：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；
且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥
A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥
设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥
B与D中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，
根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥
故选D
　
10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（　　）
A．（﹣0.4，﹣0.3） B．（﹣0.2，﹣0.1） C．（﹣0.3，﹣0.2） D．（0.4，0.5）
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】由题意求得cosA=﹣，再由余弦定理，得出关于﹣的方程，
构造函数，利用函数零点的判断方法得出cosA的取值范围．
【解答】解：△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，
∴c=b=2，﹣acosA=1，
cosA=﹣＜0，且4＞a＞2；
由余弦定理得，cosA==，
∴﹣=，
化为：8•﹣8•+1=0，
令﹣=x∈（﹣，﹣），
则f（x）=8x3﹣8x2+1=0，
∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0，f（﹣0.3）=0.064＞0，
∴cosA∈（﹣0.4，﹣0.3）．
故选：A．
　
11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1，可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），利用排除法即可得到答案．
【解答】解：令f（x）=x3﹣3x2+x+1，
则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）
=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），
∴f（，1）=0，f（1﹣）=0，f（1+）=0，
∵sgn（x）=，
∴sgn（f（1））=0，可排除A，B；
又sgn（f（1﹣））=0，sgn（f（1﹣））=0，可排除C，
故选D．
　
12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2]
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，
则函数y=丨f（x）丨单调递增，
当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，
当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，
解得：x=ln，
由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞），
故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，
综上可知：a的取值范围为[﹣，]，
故选B．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知，则的值是　（）2018　．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理，对等式中的x赋值﹣2，可求得a0=0，再令x=，即可求出答案．
【解答】解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018，
∴令x=﹣2，得a0=0
再令x=﹣，得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018，
∴=，
故答案为：（）2018，
　
14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有　18　种．

【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，由排列数公式可得其排法数目，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，若A，E种的植物不同；由加法原理可得D、E区域的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、对于A、B、C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，
将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，有A33=6种情况，
②、对于D、E区域，分2种情况讨论：
若A，E种的植物相同，则D有2种种法，
若A，E种的植物不同，则E有1种情况，D也有1种种法，
则D、E区域共有2+1=3种不同情况，
则不同的种法共有6×3=18种；
故答案为：18．
　
15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为　8　．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，
要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，
按下图取值即可满足条件，

∴m的最小值为8．
故答案为：8．
　
16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为　　．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为，AD=1，可得四面体ABCD的外接球的半径==，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积．
【解答】解：由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为，
∵AD=1，∴四面体ABCD的外接球的半径==，
∴四面体ABCD的外接球的表面积为=，
故答案为：．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性；8H：数列递推式．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，
∴Sn==n2﹣n+na1，
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴，
∴，化为，解得a1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．
∴Tn=﹣++…+．
当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．
当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=．
∴Tn=．
　
18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．
（I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．
（II）以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BEF的一个法向量，平面BCF的一个法向量，设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．
【解答】解：（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．
因为F为DE的中点，所以OF∥BE．
因为BE⊄平面ACF，OF⊂平面AFC，
所以BE∥平面ACF．
（II）因为AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
所以AE⊥CD．
因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD．
因为AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，
所以CD⊥平面DAE．
因为DE⊂平面DAE，所以DE⊥CD．
所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）．
因为AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，
所以AE⊥CD．
因为AE=DE=2，所以．
因为四边形ABCD为正方形，
所以，
所以．
由四边形ABCD为正方形，
得==（2，2，2），
所以．
设平面BEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），又知=（0，﹣2，﹣2），=（1，0，0），
由，可得，
令y1=1，得，
所以．
设平面BCF的一个法向量为=（x2，y2，z2），又知=（﹣2，0，﹣2），=（1，﹣2，0），
由，即：．
令y2=1，得，
所以．
设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，
又cos===．
则．
所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为．
　
19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）
年龄
频数
频率
男
女
[0，10）
10
0.1
5
5
[10，20）
①
②
③
④
[20，30）
25
0.25
12
13
[30，40）
20
0.2
10
10
[40，50）
10
0.1
6
4
[50，60）
10
0.1
3
7
[60，70）
5
0.05
1
4
[70，80）
3
0.03
1
2
[80，90）
2
0.02
0
2
合计
100
1.00
45
55
（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．
（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？
（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列
（表二）

50岁以上
50岁以下
合计
男生
　5　
　40　
　45　
女生
　15　
　40　
　55　
合计
　20　
　80　
　100　

P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d）

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BL：独立性检验．
【分析】（1）由频率分布表的性质能完成表（一），从而能完成频率分布直方图，进而求出30岁以下频率，由此以频率作为概率，能估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．
（2）完成表格，求出K2=≈4.04＜5.024，从而得到没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关．
（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
【解答】解：（1）完成表（一），如下表：
年龄
频数
频率
男
女
[0，10）
10
0.1
5
5
[10，20）
15
0.15
7
8
[20，30）
25
0.25
12
13
[30，40）
20
0.2
10
10
[40，50）
10
0.1
6
4
[50，60）
10
0.1
3
7
[60，70）
5
0.05
1
4
[70，80）
3
0.03
1
2
[80，90）
2
0.02
0
2
合计
100
1.00
45
55
完成频率分布直方图如下：

30岁以下频率为：0.1+0.15+0.25=0.5，
以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为：12000×0.5=6000．
（2）完成表格，如下：

50岁以上
50岁以下
合计
男生
5
40
45
女生
15
40
55
合计
20
80
100
K2==≈4.04＜5.024，
所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关．
（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P



　
20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．
（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆的标准方程及其即可得出；
（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔△=0，即可解得k的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明；
（ii）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径．
【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．
∴，，
∴=1，
∴椭圆方程为，
∴准圆方程为x2+y2=4．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，
联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．
∵直线y=kx+2与椭圆相切，
∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，
∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．
∵，
∴l1⊥l2．
（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，
则l1：，
当l1：时，l1与准圆交于点，
此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；
同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．
设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，
∴由
得．
由△=0化简整理得，
∵，∴有．
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，
∵l1，l2与椭圆相切，
∴t1，t2满足上述方程，
∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．
综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．
∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，
∴线段MN的长为定值．
　
21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；54：根的存在性及根的个数判断；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出导函数，利用f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，列出方程组求解a，b．
（2）通过a=0，a＜0，判断方程的解．a＞0，求出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．
【解答】解：（1）因为：（x＞0），又f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b
所以 解得：a=2，b=﹣2ln2…
（2）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；…
当a＜0时，在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵，，所以方程有惟一解．…
当a＞0时，
因为当时，f'（x）＞0，f（x）在内为减函数；
当时，f（x）在内为增函数．
所以当时，有极小值即为最小值…
当a∈（0，e）时，，此方程无解；
当a=e时，．此方程有惟一解．
当a∈（e，+∞）时，，
因为且，所以方程f（x）=0在区间上有惟一解，
因为当x＞1时，（x﹣lnx）'＞0，所以x﹣lnx＞1，
所以，，
因为 ，所以，
所以 方程f（x）=0在区间上有惟一解．
所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有惟两解． …
综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解；
当a＜0或a=e时，方程有惟一解；
当a＞e时方程有两解． …
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．
（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；O7：伸缩变换．
【分析】（I）直线l的参数方程消去数t，能求出直线l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程，由圆心（2，3）到直线l的距离d=r，得到直线l和曲线C相切．
（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，从而点M的参数方程为（θ为参数），由此能求出的取值范围．
【解答】解：（I）∵直线l的参数方程为（t为参数）．
∴消去数t，得直线l的一般方程为，
∵曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，
得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．
∵圆心（2，3）到直线l的距离d==r，
∴直线l和曲线C相切．
（II）曲线D为x2+y2=1．
曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，
则点M的参数方程为（θ为参数），
∴，
∴的取值范围为[﹣2，2]．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R
（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．
【考点】R2：绝对值不等式．
【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式，然后解绝对值不等式，根据绝对值不等式的解法解之即可；
（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式的解法去绝对值，然后利用图象研究函数的最小值，使得1﹣2m大于等于不等式左侧的最小值即可．
【解答】解：（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3，2≤x≤8，
∴解集为{x|2≤x≤8}；
（II）当a=1时，f（x）=|x﹣1|，
令，
由图象知：当时，g（x）取得最小值，由题意知：，
∴实数m的取值范围为．

　

2017年7月23日