2023年安徽省安庆市七校联盟中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省安庆市七校联盟中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  同学们，你们知道吗？年卡塔尔世界杯主场馆卢塞尔体育场，是中国铁建国际集团承建的，这是中国以设计施工总承包身份建设的首个世界杯体育场项目，广受好评，总耗资约美元，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一个矩形的周长为，若矩形的一边长用字母表示，则此矩形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  从边长为的立方体中挖去边长为的立方体，得到的几何体如图所示，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一对某单位名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了如下统计图根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，内接于，是的直径，，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面五条信息：；；；你认为其中错误的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，的角平分线，交于点，，的面积为，四边形的面积为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.         ．

12.  因式分解 ______ ．

13.  如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则 ______ ．

14.  如图，正方形的边长是，是边上一点且，为边上的一个动点，连接，以为边向右作等边三角形，连接，则长的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共87.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解不等式．

16.  本小题分
在直角坐标系内的位置如图．
分别写出、、的坐标；
请在这个坐标系内画出，使与关于轴对称，并写出的坐标；
依次连接点、、、、得到四边形，则四边形的面积为______．

17.  本小题分
列方程解应用题：
我国元代数学家朱世杰所撰写的算学启蒙中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑里，驽马平均每天能跑里．现驽马出发天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？

18.  本小题分
数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，求该建筑物的高度参考数据：，，
 

19.  本小题分
如图，小明设计如图的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务．
图案中，空心圆有______ 个；图案中实心圆有______ 个时，空心圆有______ 个；
此类图案中是否存在实心圆比空心圆多个，请你作出判断并说明理由．

20.  本小题分
如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点．
求证：是半圆的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整．
如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人．
此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．

22.  本小题分
某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费万元与原料的质量之间的关系为，销售价万元与原料的质量之间的关系如图所示．
求与之间的函数关系式；
设销售收入为万元，求与之间的函数关系式；
原料的质量为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？销售利润销售收入总支出．

23.  本小题分
已知正方形的边长为，为等边三角形，点在边上，点在边的左侧．
如图，若，，在同一直线上，求的长；
如图，连接，，，并延长交于点，若，求证：；
如图，将沿翻折得到，点为的中点，连接，若点在射线上运动时，请直接写出线段的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方进行计算即可．
本题考查了有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方等知识点，能熟练掌握有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方是解此题的关键，，当时，．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
故选：．
根据科学记数法的定义写成是整数，即可得到答案．
本题考查科学记数法：将一个数写成是整数的方法叫科学记数法，等于小数点移动的位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：一个矩形的周长为，矩形的一边长为，
矩形另一边长为：，
故此矩形的面积为：．
故选：．
根据已知表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案．
此题主要考查了列代数式，根据题意表示出矩形的另一边长是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意，得，左视图为：

故选：．
根据左视图是从左边看得到的图形，进行判断即可．
本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意，存在看不见的用虚线表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：红包金额为元的人数最多，有人，
众数是，
个数据从小到大排列，第、位置的数都为，
中位数为．
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，
，，
，，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
作于点，

则，，
，
在中，，
，
解得，
．
故选：．
设，则，，，可得，作于点，根据勾股定理得，即，解得，即可得出答案．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形并熟记熟记含度直角三角形的性质是解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
首先连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据图示知，该函数图象与轴有两个交点，
；故本选项正确；
由图象知，该函数图象与轴的交点在点上，
；故本选项错误；
由图示，知
对称轴；
又函数图象的开口方向向下，
，
，即，
故本选项正确；
根据图示可知，当，即，
；故本选项正确；
函数图象的开口方向向下，
，
由图象知，该函数图象与轴的交点在点上，
，
对称轴，

故本选项正确；
综上所述，其中错误的是，共有个；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
的角平分线，交于点，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
≌，
，，
≌，≌，
的面积为，四边形的面积为，
的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，
，
，
，
，
的面积，
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，利用角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，从而利用角平分线的定义可得，进而利用三角形的外角性质可得，然后三角形的外角性质可得，从而利用可证≌，再利用证明≌，≌，最后利用图形的面积和差关系可得的面积的面积，从而可得，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，则，，
点、在反比例函数的图象上，
，
，
又，
，即，
解得，，
故答案为：．
设出的长，表示出其横坐标，再根据、在反比例函数的图象上，表示出其纵坐标，进而表示，利用三角形的面积列方程求解即可．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段的长和三角形的面积是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，

将绕点旋转，使与重合，得到≌，
，，，
为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，

，
，
则，
长的最小值为．
故答案为：．
由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
 

15.【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得． 

【解析】按照解不等式的步骤，依次进行，即可解出此题．
本题考查一元一次不等式的求解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，．

如图，即为所求，．
四边形的面积，
故答案为：．
根据，，的位置写出坐标即可．
利用轴对称变换分别作出，，的对应点，，即可．
根据梯形的面积公式求解即可．
本题考查作图轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：设良马天能够追上驽马．
根据题意得：，
解得：．
答：良马天能够追上驽马． 

【解析】设良马天能够追上驽马，根据路程速度时间结合二者总路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，根据路程速度时间结合二者总路程相等，列出关于的一元一次方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得，，，，
设，
在中，，
，
，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
该建筑物的高度约为． 

【解析】设，在中，，可得，则，在中，，求出的值，即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：图案空心圆有个，实心圆有个，
图案空心圆有个，实心圆有个，
图案空心圆有个，实心圆有个，
图案中实心圆有个，空心圆有个，
图案中，空心圆有个，
故答案为：；，；
存在，理由如下：
根据题意，得，
整理，得，
解得舍去或，
故第个图案中实心圆比空心圆多个．
分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个，再求图案中空心圆的个数即可；
根据题意列方程解答．
此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，
于，，
，
，
，
又为的中点，
，
，
是直径，
，
，
又，
，
，
，
又是直径，
是半圆的切线；
解：，，
由知，，
，
在中，于，平分，
，
，
，为公共角，
∽，得，
，在中，，
即，
解得． 

【解析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的运用．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解．
连接，为的角平分线，得，又，可证，由对顶角相等得，即，由为的中点，得，由为直径得，即，由可证，从而有，证明结论；
在中，由勾股定理可求，由得，则，由可证∽，利用相似比可得，在中，根据，得，可求．
 

21.【答案】   

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：，
“良好”等级的人数为人，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如下：

人，
参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人；
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，
选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，然后利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入，
可得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
设销售收入为万元，
，
与之间的函数关系式为；
设销售总利润为，
，
整理，可得：，
，
，
当时，有最大值为，
原料的质量为吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 

【解析】利用待定系数法求函数关系式；
根据销售收入销售价销售量列出函数关系式；
设销售总利润为，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中销售量，销售价，销售利润之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
 

23.【答案】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
；
证明：如图，延长，交于点，

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：当点在线段上时，如图，取的中点，连接，

将沿翻折得到，
，
点为的中点，点是的中点，
，
，
点在过的中点，且与成的直线上移动，
当时，有最小值，
如图，延长，交于点，连接，

点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
此时点不在线段上，
点在线段上时，，
当点在线段的延长线上时，

将沿翻折得到，
，
点为的中点，点是的中点，
，
，
点在过的中点，且与成的直线上移动，
当时，有最小值，
同理可求，
综上所述：的最小值为． 

【解析】由等边三角形的性质和锐角三角函数可求的长，即可求解；
由“”可证≌，可得，，可证，由等腰三角形的性质和平角的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，可得结论；
分两种情况讨论，先求出点的轨迹，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．