高考数学一轮复习第6章第6节立体几何中的向量方法——证明平行与垂直学案

第六节　立体几何中的向量方法——证明平行与垂直

考试要求：1．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

2．能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理．

一、教材概念·结论·性质重现

1．直线的方向向量与平面的法向量

2．空间位置关系的向量表示

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)直线的方向向量是唯一确定的．  (　×　)

(2)平面的单位法向量是唯一确定的． (　×　)

(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行． (　√　)

(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． (　√　)

(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行． (　×　)

(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．

  (　×　)

2．若直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有(　　)

A．l∥α　　　　　　　　 B．l⊥α

C．l与α斜交   D．l⊂α或l∥α

B　解析：由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α．故选B．

3．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)

A．α∥β 

B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直 

D．以上均不对

C　解析：因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β既不平行，也不垂直．

4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．

垂直　解析：以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，·O＝·＝0，所以ON与AM垂直．

5．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是________．

平行　解析：由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，所以＝－3，所以与共线．又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD．

考点1　利用空间向量证明平行问题——基础性

如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG．

证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)，

则＝(0,1,0)，＝(1,2，－1)．

设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，则n＝(1,0,1)为平面EFG的一个法向量．

因为＝(2,0，－2)，所以·n＝0，所以n⊥．

因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG．

本例中条件不变，证明：平面EFG∥平面PBC．

证明：因为＝(0,1,0)，＝(0,2,0)，所以＝2，所以BC∥EF．

又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC．

又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC．

利用空间向量证明平行的方法

如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．求证：CM∥平面PAD．

证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．

因为PC⊥平面ABCD，

所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

所以∠PBC＝30°．

因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4，

所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，

所以＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝．

设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，

由得

取y＝2，得x＝－，z＝1，所以n＝(－，2,1)是平面PAD的一个法向量．

因为n·＝－×＋2×0＋1×＝0，

所以n⊥．又CM⊄平面PAD，

所以CM∥平面PAD．

考点2　 利用空间向量证明垂直问题——应用性

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB．求证：平面BCE⊥平面CDE．

证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)，

所以＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)．设平面BCE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

由n1·＝0，n1·＝0可得

即

令z1＝2，可得n1＝(1，－，2)．

设平面CDE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

由n2·＝0，n2·＝0可得

即

令y2＝1，可得n2＝(，1,0)．

因为n1·n2＝1×＋1×(－)＝0，所以n1⊥n2，

所以平面BCE⊥平面CDE．

若本例中条件不变，点F是CE的中点，证明：DF⊥平面BCE．

证明：由例2知C(2a,0,0)，E(a，a,2a)，平面BCE的法向量n1＝(1，－，2)．

因为点F是CE的中点，所以f ，所以＝，所以＝n1，所以∥n1，

故DF⊥平面BCE．

1．利用空间向量证明垂直的方法

2．向量法证明空间垂直、平行关系时，是以计算为手段，寻求直线上的线段对应的向量和平面的基向量、法向量的关系，关键是建立空间直角坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量．

如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：(1)AE⊥CD；

(2)PD⊥平面ABE．

证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．

设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．

(1)因为∠ABC＝60°，

所以△ABC为正三角形，

所以C，E．

设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，

即y＝，则D，

所以＝．

又＝，

所以·＝－×＋×＝0，

所以⊥，即AE⊥CD．

(2)(方法一)由(1)知，D，P(0，0,1)，

所以＝．

又·＝×＋×(－1)＝0，

所以⊥，即PD⊥AE．

因为＝(1,0,0)，所以·＝0，

所以PD⊥AB．

又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面AEB，

所以PD⊥平面AEB．

(方法二)由(1)知，＝(1,0,0)，＝．

设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，

则

令y＝2，则z＝－，所以n＝(0,2，－)为平面ABE的一个法向量．

因为＝，显然＝n．

因为∥n，所以⊥平面ABE，

即PD⊥平面ABE．

考点3　利用空间向量解决探索性问题——应用性

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

解：在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE．证明如下：

依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，

则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，所以1＝(－1,0,1)，＝．

设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，

则由得

所以x＝z，y＝z．取z＝2，得n＝(2,1,2)．

设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．即说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE．

在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．

(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图所示，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，

所以＝，＝(0，a,0)．

因为·＝0，所以⊥，从而得EF⊥CD．

(2)解：假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则＝．

若使GF⊥平面PCB，

则由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝．

由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0，

所以点G坐标为，故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．