2023年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷02

2023年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试-答案卷

数学仿真模拟试卷02

（考试时间：80分钟；满分：100分）

【答案】

1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.  
8.   9.   10.   11.   12.   

13.   14.  
15.   16.   

17.

18.  

19.  

20.  

21. 因为，且，
所以，，

故，，
又，所以．

由得，                                 

所以    ，                         

因为，所以，

当，即时，取得最小值          

22. 解：取中点，连接，，则，
故异面直线与所成角为或其补角，

在中，，，在等边中，，
，
异面直线与所成角的余弦值为
连接，取中点，连接，则底面，

，，
故，
由题知
，
．

23. 解：由概率统计相关知识，各组频率之和的值为，

频率频率组距组距，

，解得：，

的值为；

由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数为吨，

估计该市居民月均用水量的平均数为：

吨．

由频率分布直方图得前组的频率之和为：

，

前组的频率之和为：

，

吨．

【解析】

1. 【分析】

本题考查集合的运算，真子集个数的求解，属于基础题．
先求出，再计算真子集个数即可．

【解答】

解：已知全集，集合，集合，
则，则，
则的真子集的个数为．

故选B．

2. 【分析】

本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．

【解答】

解：对应的点为，所以对应的点位于第二象限．

3. 【分析】

本题考查了指数与指数幂的运算，属于基础题．
利用指数幂的运算逐项计算得结论 

【解答】

解：对于，因为，所以不成立；
对于，因为，所以不成立；
对于，因为，所以不成立；
对于，因为 ，所以一定成立．
故选D 

4. 【分析】

本题考查函数的定义域，考查二次根式的性质，是基础题．
根据二次根式的性质以及分母不为，求出函数的定义域即可．

【解答】

解：由题意得：
，解得：且，
故函数的定义域是，
故选B．

5. 【分析】

本题考查向量平行共线关系的坐标表示，属于较易题．
由题意可得，，，利用向量共线关系的坐标表示即可求得实数的值．

【解答】

解：、、三点共线，
则，且，，
则，
解得．
故选：．

6. 【分析】

本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中判断“”“”与“”“”的真假，是解答本题的关键，属于基础题．
先后分析“”“”与“”“”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．

【解答】

解：当，成立，
故“”“”为真命题
故“”是“”的充分条件；
当时，或，即不成立，
故“”“”为假命题
故“”是“”的不必要条件；
综上“”是“”的充分不必要条件．
故答案选：．

7. 【分析】

本题主要考查的是二倍角正弦公式、逆用两角和与差的正弦公式，属于中档题题．

【解答】

解：，，两边平方，得，．

8. 【分析】

本题主要考查了独立事件，属于中档题．
利用独立事件的概率之间的关系，逐项进行验证得出正确的选项．

【解答】

解：样本空间正，正，正，正，正，反，正，反，正，反，正，正，反，反，正，反，正，反，正，反，反，反，反，反，共个样本点，
正，正，正，正，正，反，正，反，正，反，正，正，
设有正面朝上的，也有反面朝上的，
则正，正，反，正，反，正，反，正，正，反，反，正，反，正，反，正，反，反，
所以，，所以，则事件与相互独立，故B正确；
设枚硬币都正面朝上 ，则正，正，正，
所以，，
所以，则事件与不相互独立，故A错误；
设恰好有枚反面朝上  ，
则正，正，反，正，反，正，反，正，正，
所以，，，
所以，则事件与不相互独立，故 C错误；
设至多有枚正面朝上  ，
则正，正，反，正，反，正，反，正，正，反，反，正，反，正，反，正，反，反，反，反，反，
所以，，
所以，则事件与不相互独立，故D错误；
故选B．

9. 【分析】

本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于中档题．
由条件可得，运用基本不等式即可得到所求最小值．

【解答】

因为正数，满足，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．

10. 【分析】

本题考查了圆锥和圆柱的结构特征和体积，属于简单题．

作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积．

【解答】

解：作出该几何体的轴截面如图示：为圆锥的高，

设内接圆柱的高为，而 ，

因为内接圆柱的体积为，即，

则，

由于，故，则，

即 ，故，

所以圆锥体积为 ．
故选B．

11. 【分析】

本题考查了零点的存在性定理，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．
由函数的零点即为函数和的交点的横坐标，画图可得有两个交点，利用零点存在性定理来确定零点所在的区间即可．

【解答】

解：因为函数的零点即为方程的根，
也即为函数和的交点的横坐标，如图：

函数和有个交点，因为函数在定义域内连续，
且，，
所以，则含零点的区间是；
又，，
所以，则含零点的区间是，
由选项可得，只有成立．
故选A．

12. 【分析】

本题考查了线面垂直的判定与性质、异面直线所成角、直线与平面所成角以及等体积法，属于较难题．
使用补形法得到棱锥，设到面的距离为，由求出即得．

【解答】

解：将棱台补全为棱锥，
由侧面与都是直角梯形得平面，
由，，，，，
，
异面直线与所成角为，
，
由平面，平面，得，
又，即，
又，、平面，
平面，又平面，
，
则，
设点到面的距离为，
又，则，
可得，
设与平面所成角为，
则，，，
故选D．

13. 【分析】

本题考查命题真假的判断，是基础题．
对各个选项逐一判断即可．

【解答】

解：，命题“，使”的否定形式
是“，使”  ，故A错误；
，当时，成立；
当时，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，B正确；
，若是的充分条件，是的充要条件，
则有，所以是的必要条件，C正确；
，若命题“”是假命题，
则是真命题，
故或，解得：，
所以的取值范围是，D错误．
故选BC．

14. 【分析】

本题考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
由题意利用幂函数的定义和性质，求得的值，再研究函数的单调性即可．

【解答】

解：为幂函数，
，
或，
当时，，图象不过点，故，选项A错误
当时，，图象过点，故，选项B正确
函数在上为减函数，在上也是减函数，选项C正确，选项D错误．
故选BC．

15. 【分析】

本题考查频率分布直方图中数字特征的估计，属于基础题．
利用直方图中小矩形的面积和为，计算的频率，进而估计众数、中位数、平均数．

【解答】

解：分数在内的频率为，所以第三组的频数为人，故A正确；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数在区间上，估计值为分，故B正确；
因为，，所以中位数位于
设为，则，解得，估计值为，故C正确；
样本平均数的估计值为分，故D错误．
故选：．

16. 【分析】

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查三角形面积的求解，考查向量数量积的应用，属于中档题．
设，，，，求得，，，从而可逐项判断正误．

【解答】

解：在中，由于：：：：，
可设，，，，求得，，，
根据正弦定理，的三边之比：：：：，故A正确；
根据余弦定理，，
故，故B错误；
在中，由可得．
由得，
所以的面积是，故C错误；
若，则，，．
所以的外接圆半径是：，故D正确．
故选：．

17. 【分析】

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式、函数值的计算，属于基础题．
根据题意，当时，，求出的表达式，结合函数的奇偶性可得在时的解析式，进而计算的值即可得答案．

【解答】

解：根据题意，当时，，则，
又由为奇函数，则，
则，
故答案为：；．

18. 【分析】

本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，属于基础题．
由表格信息可知，销售单价为元时，销售量为盒，当销售单价每增加元，销售量则减少盒，设销售单价为元，则销售量为，再根据利润总收入总成本，即可求出利润关于销售单价的函数，由二次函数的性质即可求出的最大值．

【解答】

解：由表格信息可知，销售单价为元时，销售量为盒，当销售单价每增加元，销售量则减少盒，
设销售单价为元，则销售量为，
所以日销售利润，
由二次函数性质得当时，取得最大值，最大值为，
即每盒盒饭定价为元时，利润最大，最大利润为元．
故答案为．

19. 【分析】

本题考查解三角形的应用，属于基础题．
由已知可先求得和，再在三角形中由余弦定理即可求解．

【解答】

解：由题意，，，，，
由余弦定理可得．
故答案为：．

20. 【分析】

本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，是中档题．
解题的关键是灵活利用三角函数的诱导公式、二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解．
利用诱导公式及二倍角、辅助角公式对函数化简可得，再利用已知的范围结合正弦函数的性质，即可得到的范围，进而得出结论．

【解答】

解：

，
，
，
，
所以，
在区间上恒成立，
，
故答案为：

21. 本题重点考查图象变换和的性质，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
利用得到，，再结合即可求解的值；
先求出，再利用的性质即可求解．

22. 本题考查了异面直线成角以及棱锥体积的求解，属于中档题．
取中点，连接，，则，故异面直线与所成角为或其补角，在中，利用余弦定理求解即可求解；
连接，取中点，连接，则底面，即可求解，根据即可求解．

23. 本题考查频率分布直方图，众数和平均数，百分位数，属于中档题．
利用频率分布直方图能求出；

由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数和平均数即可；

求出月均用水量小于吨和小于吨的百分比，计算出有的居民每月用水量不超过标准的值．