2009年广东省广州市中考数学试卷及答案

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2009年广州市初中毕业生学业考试数    学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：    1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上面用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．    2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分  选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（    ）      2．如图2，，直线分别与相交，若则（    ）A．40°   B．50°   C．130°   D．140°      3．实数在数轴上的位置如图3所示，则与的大小关系是（    ）A．   B．   C．   D．无法确定4．二次函数的最小值是（    ）A．2   B．1   C．   D．5．图4是广州市某一天内的气温变化图，根据图4下列说法中错误的是（    ）A．这一天中最高气温是24℃B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低6．下列运算正确的是（    ）A．  B．C．   D．7．下列函数中，自变量的取值范围是的是（    ）A．  B．  C．  D．8．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（    ）A．正十边形   B．正八边形   C．正六边形   D．正五边形9．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为cm2，设圆锥的母线与高的夹角为（如图5所示），则的值为（    ）A．   B．   C．   D．        10．如图6，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，若，则的周长为（    ）A．8   B．9.5   C．10   D．11.5 第二部分  非选择题（共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．已知函数，当时，的值是         ．12．在某校举行的“艺术节”的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是         ．13．绝对值是6的数是         ．14．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：         ．15．如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是         ，第个“广”字中的棋子个数是         ．      16．如图8是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由      块长方体的积木块搭成．         三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分9分）如图9，在中，分别为边的中点．证明：四边形是平行四边形．       18．（本小题满分9分）解方程：．        19．（本小题满分10分）先化简，再求值：，其中．     20．（本小题满分10分）如图10，在中，，．（1）求的度数；（2）求的周长．      21．（本小题满分12分）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球．（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．    22．（本小题满分12分）如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段的两个端点都在格点上，直线经过坐标原点，且点的坐标是（1，2）．（1）写出点的坐标；（2）求直线所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段关于直线的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）．         23．（本小题满分12分）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的I型冰箱和II型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱的销售量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．（1）在启动活动前一个月，销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为多少台？（2）若I型冰箱每台价格是2298元，II型冰箱每台价格是1999元．根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问启动活动后的第一个月销售给农户的1228台I型和II型冰箱，政府共补贴了多少元？（结果保留2个有效数字）   24．（本小题满分14分）如图12，边长为1的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，与交于点．（1）若，证明：；（2）若，证明：；（3）若的周长为1，求矩形的面积．       25．（本小题满分14分）如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．         2009年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 3 分，满分 30 分． 题号12345678910答案ACCADBDCBA二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 3 分，满分 18 分． 11．2           12．9.3            13．14．如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直 15．15；                  16．4三、解答题：本大题考查基础知识和基本运算，及数学能力，满分 102 分． 17．本小题主要考查平行四边形的判定、中位线等基础知识，考查几何推理能力和空间观念．满分9分． 证法 1：∵分别是边的中点，∴． 同理． ∴四边形是平行四边形． 证法 2： ∵分别是边的中点，∴．∵E为的中点，∴．∴．∴四边形是平行四边形．18．本小题主要考查分式方程等基本运算技能，考查基本的代数计算能力．满分 9 分． 解：由原方程得，即， 即， ∴． 检验：当时， ∴是原方程的根． 19．本小题主要考查整式的运算、平方差公式等基础知识，考查基本的代数计算能力．满分10分．解：．将代入，得　　　．20．本小题主要考查圆、等边三角形等基础知识，考查计算能力、推理能力和空间观念．满分 10 分． 解：（1）∵，∴．（2）∵， ∴． ∴是等边三角形．求的半径给出以下四种方法： 方法1：连结并延长交于点（如图1）．∵是等边三角形， ∴圆心既是的外心又是重心，还是垂心．  在中， ∴．                  ∴，即O的半径为2cm．    方法 2：连结，作交于点（如图 2）∵，， ∴．∴．∵，∴中，．在中，，∴即．∴，即的半径为2cm． 方法3：连结，作交于点（如图 2）．  ∵O是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点， ∴．在中，即．∴．∴，即O的半径为2cm．方法 4：连结，作交于点（如图2）．  ∵O是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点， ∴．在中，设，则，∵，∴．解得．∴，即O的半径为2cm．∴ O的周长为，即． 21．本小题主要考查概率等基本的概念，考查．满分12 分． （1）解法1：可画树状图如下：        共6种情况． 解法2：3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况为：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红共6 种． （2）解：从（1）可知，红球恰好放入 2 号盒子的可能结果有白红蓝、蓝红白共 2种，所以红球恰好放入2号盒子的概率．22．本小题主要考查图形的坐标、轴对称图形、尺规作图、一次函数等基础知识，考查用待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，满分12分．解：（1），；（2）解法1：∵直线经过坐标原点，∴设所求函数的关系式是， 又点的坐标为（1，2）， ∴． ∴直线所对应的函数关系式是．解法 2：设所求函数的关系式是 则由题意得： 解这个方程组，得∴直线所对应的函数关系式是．（3）利用直尺和圆规，作线段关于直线的对称图形，如图所示． 23．本小题主要考查建立二元一次方程组模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数计算推理能力．满分12分． 解：（1）设启动活动前的一个月销售给农户的 I型冰箱和 II型冰箱分别为台．  根据题意得解得∴启动活动前的一个月销售给农户的 I型冰箱和 II型冰箱分别为560台和400台．（2）I型冰箱政府补贴金额：元，   II  型冰箱政府补贴金额：元．     ∴启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共补贴金额： 元 ．答：启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共约补贴农户元．24．本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观念．满分14分． （1）证明1：在与中， ∵，∴． ∴． 证明2：在中，．在中，∵， ∴． （2）证明1：将绕点顺时针旋转到的位置．     在与中， ∵ ，∴． ∴．∵，∴．证明2：延长至点，使，连结． 在与中， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴．∴．∴．∴．∵， ∴．（3）设，则，．（）在中，．∵的周长为1，∴．即．即．整理得．    （*）求矩形的面积给出以下两种方法：方法1：由（*）得．    ①∴矩形的面积   ②将①代入②得                                       ．∴矩形的面积是．方法2：由（*）得，∴矩形的面积                                                                 ∴矩形的面积是．25. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．满分14分．解：（1）设点，，其中．∵抛物线过点，∴．∴．∴．∵抛物线与轴交于两点，∴是方程的两个实根．求的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：．∵的面积为，∴，即．∴．∴．∵，∴．∴．解得．∵，∴．∴所求二次函数的关系式为．方法2：由求根公式得，．．∵的面积为，∴，即．∴．∴．解得．∵，∴．∴所求二次函数的关系式为．（2）令，解得．∴，．在中，，在中，，∵，∴．∴．∴是直角三角形．∴的外接圆的圆心是斜边的中点．∴的外接圆的半径．∵垂线与的外接圆有公共点，∴．（3）假设在二次函数的图象上存在点，使得四边形是直角梯形．①若，设点的坐标为，，过作轴，垂足为，如图1所示．求点的坐标给出以下两种方法：方法1：在中，，在中，，∵，∴．∴．．解得或．∵，∴，此时点的坐标为．而，因此当时在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形．方法2：在与中，，∴．∴．∴．以下同方法1．②若，设点的坐标为，，过作轴，垂足为，如图2所示．在中，，在中，，∵，∴．∴．．解得或．∵，∴，此时点的坐标为．此时，因此当时，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形．综上所述，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形，并且点的坐标为或．