2009年广东省中考数学试卷以及答案

2009年广东省初中毕业生学业考试

数     学

说明：全卷共4页，考试用时100分钟，满分120分.

一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1. 4的算术平方根是（   ）

A.±2        B.2       C.       D.

2. 计算结果是（   ）

A.        B.      C.          D.

3. 如图所示几何体的主（正）视图是（   ）

4. 《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿

元，用科学计数法表示正确的是（   ）

A.  B.元   C.元   D.元

5. 如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下

一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（   ）

二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填在答题卡相应的位置上.

6. 分解因式=_______________________.

7. 已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，

则BC=_________cm.

8. 一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则

现售价应为__________元.

9. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若

从中随机摸出一球，摸到黄球的概率是，则n=__________________.

10. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中

有黑色瓷砖________块，第n个图形中需要黑色瓷砖___________块（用含n的代数式表示）.

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）

11. 计算sin30°+.

12. 解方程

13. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1

的图像与反比例函数的图像在第一象限相交于点A，

过点A分别作x 轴、y轴的垂线，垂足为点B、C.如果四

边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式.

14. 如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，

延长BC到E，使CE=CD.

（1）       用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，

垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：BM=EM.

15. 如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：）

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）

16. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

17. 某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查地方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1、图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了多少位学生？

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？

（3）补全频数分布折线统计图.

18. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作DE∥AC交ＢＣ的延长线于点Ｅ.

（１）求△BDE的周长；

（２）点Ｐ为线段BC上的点，

连接PO并延长交AD于点Q.求证：BP=DQ.

19. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点；再以为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以为

邻边作第3个平行四边形……依此类推.

（1）求矩形ABCD的面积；

（2）求第1个平行四边形        、第2个

平行四边形         和第6个平行四边形的面积.

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

20.（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的.

（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的.

21. 小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.

22. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，

求此时x的值.

2009年广东省初中毕业生学业考试

数     学

参考答案

一、选择题

1.Ｂ２.Ａ３.Ｂ４.Ａ５.Ｃ

二、填空题

6.2x(x+2)(x-2)；7.4；8.96；9.8；10.10，3n+1.

三、解答题（一）

11. 解：

12．解：去分母得：2=-(x+1)    解得：x=-3

        检验：当x=-3时，分母

        所以原方程的解是：x=-3.

 13．解：，∴ＯＢ＝ＡＢ＝３，　∴点Ａ的坐标为（３，３）

∵点Ａ在一次函数ｙ＝ｋｘ＋１的图像上，     ∴３ｋ＋１＝３，解得：ｋ＝

∴一次函数的关系式是：

１４．（１）作图（略）

　　（２）证明：

　　　　∵△ABC是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ABC＝∠ＡＣＢ＝６0°

　　　　∵ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ＝３0°

　　　　∵CD=CE，∠ACB＝∠E+∠CDE=６0°，∴∠E＝３0°

        ∴∠E＝∠ＣＢＤ，∴ＢＤ＝ＤＥ

　　　　∵ＤＭ⊥ＢＥ，∴ＢＭ＝ＥＭ．

１５．解：过点P作PQ⊥AB于Q，则有∠APQ=３0°，∠BPQ=45°

　　　　　设PQ=x，则PQ=BQ=x，AP=2AQ=2(100-x).

          在Rt△APQ 中，

         ∵tan∠APQ=tan30º =,即.

∴

又∵>50，∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。

四、解答题（二）

16．解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得：

            解得：x=9或-9（负值不合题意，舍去）

       ∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.

17．解：（1）20÷20%=100(名)

      （2）∵喜欢排球的人数是：100-20-30-100×40%=10（人）

           ∴喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数为：360º×10%=36º

      （3）图略

18.（1）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝３

∴，ＢＤ＝２OB=8

∵ＡＤ∥ＣＥ，ＡＣ∥ＤＥ，∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形

∴ＣＥ＝ＡＤ＝ＢＣ＝５，ＤＥ＝ＡＣ＝６

∴△ＢＤＥ的周长是：ＢＤ+ＢＣ+ＣＥ+ＤＥ＝８+１０+６＝２４.

　　（２）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODQ，∠OPD=∠OQD

            ∵OB=OD，∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ。

 19.（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB＝12

　　　　　∴∠ABC＝９０º，

　　　　　∴。

　　（２）解：∵ＯＢ　∥，ＯＣ　∥，∴四边形ＯＢ是平行四边形。

　　　　　∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＢ＝ＯＣ，∴四边形ＯＢ是菱形。

　　　　　∴

　　　　　∴，∴

　　　　　同理：四边形是矩形，∴

　　　　　　　　　　　　　　　‥‥‥

　　　　　第ｎ个平行四边形的面积是：

　　　　  ∴

五，解答题（三）

20.（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H.

         ∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC

         ∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG

         ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ

　　　 　同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ

∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ

∴，

又∵

∴．

     （２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ.

            则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120°

             ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG

             ∴△MOF≌△NOG，∴

             ∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的.

21.

22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90°

∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN

∴Rt△ABM∽Rt△MCN

（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴即解得：

∵     ∴,

 即：

又∵

∴当x=2时，y有最大值10.

∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.

（3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即

化简得：，解得：x=2

∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时x的值为2.