重庆市七校2021-2022学年高一下学期期末数学试题
展开2021—2022学年度第二学期期末七校联考
高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．考试结束后，将答题卷交回．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 设复数，则在复平面中对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A. B. C. D.
3. 现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这组数的方差是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C 若，，则
D. 若，异面直线，，，且，则
5. 已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 某指挥中心接到在其北偏东相距海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里/小时，则乙船需要航行（ ）小时
A. B. C. D.
7. 如图所示，在平行四边形中，记，，若，于点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A.
B.
C.
D
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（ ）
A. 2个小球恰有1个红球 B. 2个小球不全为黑球
C. 2个小球至少有1个黑球 D. 2个小球都为黑球
10. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量 D. 在上的投影向量为
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
12. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，直线平面
B. 当为中点时，直线与所成的角为
C. 若是棱上的动点，且，则平面平面
D. 当在上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分．）
13. 设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
14. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______
16. 一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如图①所示，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②所示，球心到托盘底面的距离为，则球的体积为__________．
四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
18. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）在中，若，，，求的面积．
19. 正三棱柱中，，，点分别为的中点．
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
20. 某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．
（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；
（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；
（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．
21. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．
22. 为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
（1）当，求四边形的面积；
（2）当何值时，线段最长并求最长值
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