2023年浙江省温州市龙港区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省温州市龙港区中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省温州市龙港区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  计算的结果是(    )A.  B.  C.  D. 2.  原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是(    )A.  B.  C.  D. 3.  九年班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了张奖券，设一等奖个，二等奖个，三等奖个，已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为(    )A.  B.  C.  D. 4.  若分式的值为，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 5.  不等式组的解是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，与相切于点，若的半径为，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 7.  小聪上午：从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中小聪离家的路程和所经过的时间分之间的函数关系如图所示根据图中信息，下列说法正确的是(    )A. 小聪去超市途中的速度是分
B. 小聪回家途中的速度是分
C. 小聪在超市逗留了分钟
D. 小聪在来去途中，离家处的时间是：和：
 8.  如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，则扳手张开的开口至少为(    )A.
B.
C.
D. 9.  二次函数是常数，的图象过点，下列选项正确的是(    )A. 若对称轴为直线，则 B. 若对称轴为直线，则
C. 若对称轴为直线，则 D. 若对称轴为直线，则10.  在矩形内放置四个正方形如图所示，点，，，，，分别在矩形的边上若，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.  分解因式：______．12.  某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示若棋类小组有人，则球类小组有______ 人
 13.  计算： ______ ．14.  在半径为的圆中，圆心角为的扇形的面积是______．15.  如图，放置在平面直角坐标系中，，的坐标为将绕点顺时针旋转得到，使点落在边的中点若反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．
 16.  在一次数学折纸实践活动中，某兴趣小组对一张如图所示的三角形纸片进行折纸研究，中，，把对折使点落在的处，折痕为，点在上铺平后如图所示，在，上分别取，两点，先将沿着翻折得到，再将沿着翻折得到，然后把两次翻折后的纸片压平如图，恰有兴趣小组发现：把图所折的纸片全部铺平如图所示，可知 ______ ；若，，则两块阴影部分的面积和为______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：；
化简：．18.  本小题分
如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
求证：．
若，，求的度数．
19.  本小题分
八年级选派甲、乙两组各名同学参加数学知识抢答比赛共有道选择题，各组选手答对题数统计如下表： 答对题数 平均数中位数众数方差甲组 ______ 乙组 ______ ______ 请在表格内的横线上填写相应的数据．
根据你所学的统计学知识，从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩．20.  本小题分
在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形如图，已知整点若一元二次方程有实数根，整点的坐标为，请在所给网格区域含边界上按要求画整点三角形．
在图中画一个直角三角形．
在图中画一个等腰三角形．
注：图，图在答题纸上．
21.  本小题分
二次函数的图象经过点，．
求该二次函数的表达式和对称轴．
设，是该二次函数图象上的两点当时，函数的最大值与最小值的差为，求的值．22.  本小题分
在▱中，是对角线的中点，过作，分别交边，于点，，交延长线于点，连结，．
求证：四边形是菱形．
若是的中点，，求的长．
23.  本小题分
根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思．
素材：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于小时的满窗日照而保持的最小间隔距离即最小楼间距，最小楼间距表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为．
素材：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢最底层窗台到地面高度均为其中有南北两幢大厦，位于南侧的大厦共有层，每层高为，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为．
素材：小明住在一期某大厦，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她在自家离地面高的窗台处测得大厦顶部的仰角为和大厦底部的俯角为如图所示．
参考数据：，
【任务探究】
任务：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值．
任务：该小区二期新建的大厦高度约为多少？结果精确到
【成果与反思】二期新建的大厦共有层，每层高都相等按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计．
24.  本小题分
如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，以为直径构造交于点异于点在点，的运动过程中，始终满足．
求证：．
如图，连结，当时，求的直径．
设为的中点，连结，在，的运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故选：．
直接利用有理数的加法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的加法，正确掌握运算法则是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：．
从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
 3.【答案】 【解析】解：共有张奖券，一等奖个，
抽一张奖券中一等奖的概率．
故选：．
直接根据概率公式即可得出结论．
本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数商是解答此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：由题意得：且，
解得：，
故选：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
本题考查的是分式值为零的条件，熟记分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：连接，如图，
与相切于点，
．
的半径为，
，
，
故选：．
连接，利用圆的切线的性质定理和勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，连接经过切点的半径是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：由图可知前分钟是去超市途中，
速度为分，
故A不正确，不符合题意，
后分钟是回去途中，
速度为分，
故B不正确，不符合题意，
由图可知在超市逗留时间为分钟，
故C不正确，不符合题意，
去的途中走用的时间是分钟，
离家处的时间是：，
由图象可得，返回家中时离家处的时间是：，
离家处的时间是：和：，
故D正确，符合题意，
故选：．
由图象可得，去来的时间分别为分钟和分钟，路程为，分别求出速度即可判别答案A，，观察图象直接得到逗留时间，判别，用除以去的速度得出去的时间，由图象可直接得出返回时离家处的时间，从而去判别答案D．
本题考查了一次函数的应用，从图中提取相关信息回答问题是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：如图，正六边形的外接圆为，连，，，则点在上，
正六边形，
，，
，
，
在中，，，
，
即，
故选：．
根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 9.【答案】 【解析】解：二次函数是常数，的图象过点，则有，即．
A、若对称轴为直线，则，又，得；不符合题意．
B、若对称轴为直线，则，又，得；不符合题意．
C、若对称轴为直线，则，又，得；符合题意．
D、若对称轴为直线，则，又，得；不符合题意．
故选：．
应用二次函数的性质分别判断即可．
本题考查了二次函数的对称性，及图象上的点坐标与函数解析式的关系．
 10.【答案】 【解析】解：如图：连接，，，三点共线，

设正方形的边长为，正方形边长为，
，，
由图形的对称知，，
，
，
过作于，延长，作延长线于，作于，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
，
在中，，
在中，，
，
作于，同理可证≌，
，
，
，
作于，同理可证≌，
，，


，
，，
，


，
故选：．
连接，，，三点共线，设正方形的边长为，正方形边长为，根据正方形及勾股定理的性质，过作于，延长，作延长线于，作于，由矩形的性质得，由全等三角形的判定与性质及勾股定理可得，作于，同理可证≌，作于，同理可证≌，最后代入计算可得答案．
此题考查的是正方形的性质、矩形的性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，即可求得答案．
本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．
 12.【答案】 【解析】解：总人数有：人，
球类小组有：人．
故答案为：．
根据棋类人数和百分比，求出总人数即可解决问题．
本题考查扇形统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 13.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
利用分式的乘法法则计算即可．
本题考查了分式的运算，掌握分式的乘法法则是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由题意得，，，
故圆心角为的扇形的面积
故答案为．
将所给数据直接代入扇形面积公式进行计算即可得出答案．
此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．
 15.【答案】 【解析】解：连接，交轴于，
由题意可知，
，
，
，
是等边三角形，
，
平分，
垂直于轴，，
轴，
的坐标为，
，
，
等边的边长为，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
连接，交轴于，由题意可知，得出，证得是等边三角形，然后证得垂直于轴，，从而求得，，得到，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转，证得是等边三角形以及轴，从而求得点的坐标是解题的关键．
 16.【答案】  【解析】解：由折叠可知，，，
，
，
，
，
；
，
，
、、、四点共圆，
，
如图，在上截取点，使，过点作于点，

由折叠可知，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
在中，，
．
故答案为：，．
根据折叠可知，，由平角的定义可得，进而得出，则，以此得到，则、、、四点共圆，得到，在上截取点，使，过点作于点，由相等圆周角所对弦相等得，于是可通过证明≌，得到，，，进而得出，，在中，，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查折叠的性质、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，理解题意，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键．
 17.【答案】解：原式
；

原式

． 【解析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式运算法则分别化简，进而合并同类项得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及完全平方公式以及单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 18.【答案】证明：平分，
，，
．
，
，
；
解：，，
，
，
设，
，
，
，
，
． 【解析】根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
解根据等腰三角形的性质得到，设，根据三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 19.【答案】     【解析】解：由题意得，甲平均数为：；
乙中位数是：；
乙众数是；
故答案为：；；；
从平均数看，甲组平均得分比乙组高，所以甲组成绩略好些；
从中位数看，甲、乙两组成绩一样好；
从众数看，甲组众数比乙组大，所以甲组成绩比乙组好：
从方差看，乙组方差比甲组小，所以乙组比甲组稳定些；
综上所述，甲组同学成绩相对好些．
根据众数是一组数据中出现次数最多的数据；先把这组数据按大小顺序排列，中间一个数或两个数的平均数即为中位数；再代入平均数，方差的公式计算即可．
根据中的计算结果分析即可．
本题考查了统计的有关知识，要熟练掌握众数、方差、平均数和中位数的求法，以及根据这些统计量来判断选手的成绩情况．
 20.【答案】解：如图：即为所求；

如图：等腰三角形即为所求．
 【解析】根据网格线的特点及一元二次方程的根的判别式作图；
根据网线的特征及一元二次方程的判别式求解．
本题考查了复杂作图，掌握网格线的特点及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
 21.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，
解得，
二次函数的表达式为，对称轴是直线；
，对称轴为直线，
当时，随着的增大而增大，
，
当时，随着的增大而增大，
函数的最大值，函数最小值，
函数的最大值与最小值的差为，
，
． 【解析】利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，利用抛物线的对称性即可求得对称轴；
根据题意函数的最大值，函数最小值，由函数的最大值与最小值的差为，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
 22.【答案】证明：在▱中，，
，．
是▱对角线的中点，
，
在与，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
又是的中点，
，
，
∽，
，
，
，
．
． 【解析】根据平行线的性质得到，根据全等三角形的，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
 23.【答案】解：任务：由公式得：，
；
任务：由题意得，
在中，，
在中，，
大厦高，
即该小区二期新建的大厦高度约为米；
【成果与反思】
解：由最小楼间距，
二期房屋存在违规建设．
设应拆除个楼层，而每个楼层高为，
则，
化简得，
为正整数，
至少为，
至少要拆除一个楼层． 【解析】任务：把已知数据代入中计算即可；
任务：由题意得，在中，求出，在中，求出即可求出大厦的高度；
【成果与反思】首先计算最小楼间距，判断是否存在违规建设，然后根据公式计算需要拆除的楼层即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
 24.【答案】证明：连结，如图，
是的直径，

，
，，
，
．
；
解：与是所对的圆心角与圆周角，
．
，
，
．
，
，
，
即的直径为；
解：过点作于点，则有，
，
，即是的中点．
是的中点，
是的中位线，
，，
，即，，三点在一条直线上．
设，，则，
解得，
，，
Ⅰ如图，点在上，时，
，
，
解得，
Ⅱ如图，点在上，时，过点作于点，
，
，
，即，
Ⅲ如图，点在上，时，过点作于点，
，

，
，
解得，
解得，
Ⅳ如图，点在上，而，只能是，
，
，
解得
综上所述，为等腰三角形时，的值是或或或． 【解析】连结，由直角三角形的性质得出结论；
证出求出，则可得出答案；
过点作于点，则有，分四种情况：Ⅰ如图，点在上，时，Ⅱ如图，点在上，时，过点作于点，Ⅲ如图，点在上，时，过点作于点，Ⅳ如图，点在上，而，只能是，列出方程可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了直角三角形的性质，切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．