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2022-2023学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1．当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．若一粒米的质量约是0.000029kg，我国有14亿人，如果每人每天浪费10粒米，那么全国人民一年会浪费掉1.4819×108kg大米．节约粮食，人人有责；光盘行动，意义重大！将数据0.000029用科学记数法表示为（ ）
A．29×10﹣4 B．2.9×10﹣6 C．2.9×10﹣5 D．2.9×10﹣4
4．化简﹣的结果是（ ）
A． B．a﹣3 C．a+3 D．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第四象限
B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3）
C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3）
D．点A关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2）
6．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A．5m B．7m C．10m D．13m
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
10．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动，到点C停止运动，点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．48 C．80 D．96
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则m的值不等于 ．
12．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可以是 （只需写出一个符合条件的实数）
13．分式方程的解是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，若将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，已知点B（4，0），连接AB、A′B，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．如图所示反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x（min）表示时间，y（km）表示小明离家的距离．已知小明家、菜地、玉米地在同一直线上．
根据图象回答下列问题：
（1）小明到达菜地用了 分钟；
（2）菜地离玉米地的距离是 千米；
（3）小明给玉米地锄草用了 分钟；
（4）求小明从玉米地到家的平均速度是每小时多少千米？
18．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
19．已知y是x的函数，且y＝（m+1）x+2m﹣1．
（1）若该函数为正比例函数，则m＝ ，此时函数图象经过 象限．
（2）若将该函数图象向上平移2个单位后经过点（1，8），求出此时m的值．
（3）当m＝1时，求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
20．反比例函数的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
21．我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元．
（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
22．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
x
…
1
1.5
2
3
4.5
6
9
…
y
…
10
7.5
6.5
6
6.5
7.5
10
…
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象．
（2）已知点（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题（填“＞”“＝”或“＜”）：
①若0＜x1＜x2＜3，则y1 y2；
②若3＜x1＜x2，则y1 y2；
③若x1•x2＝9，则y1 y2．
（3）某农户要用一些围栏建造一个9m2的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为xm，所需围栏长度为ym．
①请直接写出y与x之间的函数关系式；
②若围栏的单价为50元/m，且该农户买围栏的预算不超过750元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长x应控制在什么范围内？
23．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝ ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝15，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1．当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义分母不为零分别进行分析即可．
解：A、当a＝0时，分式无意义，故此选项错误；
B、当a＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误；
C、当a＝1时，分式无意义，故此选项错误；
D、当a为任意实数时，分式都有意义，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．
2．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．
解：分式可变形为：﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键．
3．若一粒米的质量约是0.000029kg，我国有14亿人，如果每人每天浪费10粒米，那么全国人民一年会浪费掉1.4819×108kg大米．节约粮食，人人有责；光盘行动，意义重大！将数据0.000029用科学记数法表示为（ ）
A．29×10﹣4 B．2.9×10﹣6 C．2.9×10﹣5 D．2.9×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000029＝2.9×10﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．化简﹣的结果是（ ）
A． B．a﹣3 C．a+3 D．
【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
解：﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第四象限
B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3）
C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3）
D．点A关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2）
【分析】先确定平面直角坐标系中A点的位置，再确定其对称点的位置即可．
解：A．点A在第四象限，选项正确，不符合题意；
B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3），选项正确，不符合题意；
C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），选项正确，不符合题意；
D．点A关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3），选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的位置和对称点的坐标，解题的关键是熟练掌握对称点坐标变化规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数；关于y轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标均变为原数的相反数．
6．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A．5m B．7m C．10m D．13m
【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．
解：观察图象，当t＝3时，h＝13，
∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限．
解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
8．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键．
9．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】根据“顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等”列分式方程即可．
解：根据题意，可得，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
10．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动，到点C停止运动，点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．48 C．80 D．96
【分析】根据图象可知点P在AB上运动时，此时AP不断增大，而从B向C运动时，AP先变小后变大，从而可求出BC与BC上的高．
解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为10，即AB＝10，
点P从B向C运动时，AP的最小值为8，
即BC边上的高为8，
∴当AP⊥BC，AP＝8，
此时，由勾股定理可知：BP＝6，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴此时PC＝6，
∴BC＝12，
∴△ABC的面积为：，
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，注意结合图象求出BC与AB的长度是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则m的值不等于 2 ．
【分析】由分式 有意义，可得m﹣2≠0，从而可得答案．
解：∵分式 有意义，
∴m﹣2≠0，
解得：m≠2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解本题的关键．
12．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可以是 ﹣1（答案不唯一） （只需写出一个符合条件的实数）
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，不妨令k＝﹣1即可．
解：∵一次函数y随x的增大而减小，
∴k＜0，
不妨设k＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＜0．
13．分式方程的解是 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：方程两边同时乘以（x﹣1）（x﹣2），得：
x（x﹣2）＝3（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2），
去括号得x2﹣2x＝3x﹣3+x2﹣3x+2，
整理得﹣2x＝﹣1，
解得：，
检验：当时（x﹣1）（x﹣2）≠0，
所以是分式方程的解，
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键．解分式方程注意要检验．
14．如图，在平面直角坐标系中，若将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，已知点B（4，0），连接AB、A′B，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】如图，过A′作A′H⊥OB于H，由将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，可得AA′∥OB，A′（3，2），从而可得答案．
解：如图，过A′作A′H⊥OB于H，
∵将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，
∴，AA′∥OB，
∴A′（3，2），
∴，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质，理解题意确定A′（3，2）是解本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是 （﹣2，3）或（2，﹣3） ．
【分析】根据旋转可得：BM＝B1M1＝B2M2＝3，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，可得B1和B2 的坐标，即是B'的坐标．
解：∵A（﹣1，2），OC＝4，
∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，
将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM＝OM1＝OM2＝2，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，BM＝B1M1＝B2M2＝3，
A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴B1和B2 的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），
∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）实数的计算，根据实数的运算法则求解即可；
（2）分式的化简，根据分式的运算法则计算求解．
解：（1）原式＝＝1；
（2）原式＝
＝
＝•
＝．
【点评】本题考查了实数的混合运算，负指数幂的计算，二次根式的化简，零次幂的计算，分式的化简等知识，牢记公式与定义，熟练分解因式是解题的关键．
17．如图所示反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x（min）表示时间，y（km）表示小明离家的距离．已知小明家、菜地、玉米地在同一直线上．
根据图象回答下列问题：
（1）小明到达菜地用了 15 分钟；
（2）菜地离玉米地的距离是 0.9 千米；
（3）小明给玉米地锄草用了 18 分钟；
（4）求小明从玉米地到家的平均速度是每小时多少千米？
【分析】观察函数图象得到小明用15分钟从家去菜地，浇水用了10分钟，又去离家2千米的玉米地，锄草用了18分钟，然后用了25分钟回家，由此可得出结果．
解：（1）由图可知，小明到达菜地用了15分钟；
故答案为：15；
（2）菜地离玉米地的距离是2﹣1.1＝0.9（千米）；
故答案为：0.9；
（3）小明给玉米地锄草用了55﹣37＝18（分钟）；
故答案为：18；
（4）2÷（80﹣55）×60＝4.8（千米），
小明从玉米地到家的平均速度是每小时（或4.8）千米．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
【分析】（1）利用分式约分化简解题；
（2）先求出倒数的值，然后代入求值即可．
解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2）＝＝＝25，
∴．
【点评】本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19．已知y是x的函数，且y＝（m+1）x+2m﹣1．
（1）若该函数为正比例函数，则m＝ ，此时函数图象经过 一，三 象限．
（2）若将该函数图象向上平移2个单位后经过点（1，8），求出此时m的值．
（3）当m＝1时，求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
【分析】（1）由y＝（m+1）x+2m﹣1为正比例函数，可得2m﹣1＝0且m+1≠0，解得：，从而可得答案；
（2）y＝（m+1）x+2m﹣1向上平移2个单位长度；可得y＝（m+1）x+2m﹣1+2，把点（1，8）代入可得8＝（m+1）+2m﹣1+2，再解方程即可；
（3）当m＝1时，则y＝2x+1，再求解函数与坐标轴的交点即可．
解：（1）∵y＝（m+1）x+2m﹣1为正比例函数，
∴2m﹣1＝0且m+1≠0，
解得：，
此时函数式为：，
∴函数图象经过一、三象限．
故答案为：，一，三；
（2）∵y＝（m+1）x+2m﹣1向上平移2个单位长度；
∴平移后的解析式为：y＝（m+1）x+2m﹣1+2，
∵平移后图象经过点（1，8）
∴8＝（m+1）+2m﹣1+2
解得m＝2；
（3）当m＝1时，y＝2x+1，
令y＝0，即2x+1＝0
解得：，
令x＝0，即y＝1．
∴该函数图象x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为（0，1）．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数图象的平移，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，理解一次函数的性质是解本题的关键．
20．反比例函数的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
【分析】（1）将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．
（2）根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．
【解答】（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数的图象上，
∴4m＝﹣2n＝4，
解得m＝1，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
画出函数y＝2x+2图象如图；
（2）由图象可得当x＜﹣2或0＜x＜1时，直线y＝2x+2在反比例函数图象下方，
∴的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
21．我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元．
（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【分析】（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为（1+20%）x元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
（2）根据题意建立关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围，根据单价乘以数量即可求的w与a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
解：（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为（1+20%）x元，
根据题意，得：，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解且符合题意，（1+20%）x＝1.2×2000＝2400（元），
答：A型设备的单价为2400元，B型设备的单价为2000元．
（2）根据题意，得，
解得a≥15，
由题意得：w＝2400a+2000（60﹣a）＝400a+120000∵400＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝15时，w最小，w最小＝400×15+120000＝126000（元）．
答：w与a的函数关系式为w＝400a+120000，最少购买费用为126000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键，难点是根据一次函数增减性判断最小值．
22．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
x
…
1
1.5
2
3
4.5
6
9
…
y
…
10
7.5
6.5
6
6.5
7.5
10
…
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象．
（2）已知点（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题（填“＞”“＝”或“＜”）：
①若0＜x1＜x2＜3，则y1 ＞ y2；
②若3＜x1＜x2，则y1 ＜ y2；
③若x1•x2＝9，则y1 ＝ y2．
（3）某农户要用一些围栏建造一个9m2的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为xm，所需围栏长度为ym．
①请直接写出y与x之间的函数关系式；
②若围栏的单价为50元/m，且该农户买围栏的预算不超过750元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长x应控制在什么范围内？
【分析】（1）用光滑的曲线将点顺次连接起来即可；
（2）根据函数图象的增减性即可求解；
（3）①设鸡圈的一边长为xm，则另一边长为 m，再根据长方形周长公式即可求解；②根据“预算不超过750元”列不等式即可求解．
解：（1）函数图象如下所示：
（2）由函数图象可知，当0＜x＜3时，y值随x的增大而减小，当x＞3时，y值随x的增大而增大，
因此若0＜x1＜x2＜3，则y1＜y2；若3＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1⋅x2＝9，则 y1＝y2，
故答案为：①＞；②＜；③＝；
（3）①设鸡圈的一边长为xm，则另一边长为 m，
因此y与x之间的函数关系式为：；
②由题意知：，
整理得：x2﹣7.5x+9≤0，即（x﹣1.5）（x﹣6）≤0，
解得1.5≤x≤6．
【点评】本题主要考查反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息、一元二次方程的应用等，能够从函数图象获取相关信息是解题的关键．
23．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝ 3 ，面积为 6 ．
（2）类比探究：
如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝15，则此完美长方形的周长为 42 ，面积为 108 ．
【分析】（1）由折叠可知点H是AC中点，DF+DG＝BF+CG＝3，过点A作AM⊥BC于M，根据三角形ABC面积求AM的长，由AM∥GH，点H是AC中点可知GH是△ACM中位线，得到 进而求完美长方形面积；
（2）根据折叠可知，EH＝BE，CF＝FH，从而可得 ，根据平行四边形ABCD面积可求得AE的长为4进而可求周长；
（3）由折叠可证点E，G分别是AB，CD中点，进一步可证四边形ADGE是平行四边形，所以EG＝AD＝15，即长方形EFGH对角线长为15，设EF＝3x，EH＝4x，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
解：（1）由折叠可知，BF＝DF，CG＝DG，AH＝DH＝CH，
∴DF+DG＝BF+CG，点H是AC中点，
∵2DF+2DG＝BC＝6，
∴DF+DG＝3，
即FG＝3，
过点A作AM⊥BC于M，
∵四边形EHGF是矩形，
∴HG⊥BC，
∴HG∥AM，
∴H是CM中点，
∴，
∵，
∴AM＝4，
∴，
∴完美长方形的面积为3×2＝6，
故答案为：3，6；
（2）由折叠可知BE＝HE，CF＝HF，
∴，
同理可知SABE＝SAHE，S四边形AHFG＝S四边形DCFG，
∴长方形AEFG的面积为20÷2＝10，
∴，
∴长方形AEFG的周长为；
（3）由折叠可证点E，G分别是AB，CD的中点，
∴，
由题意知AB＝CD，AB∥CD，
∴AE＝DG，AE∥DG，
∴AEGD为平行四边形，
∴AD＝EG＝HF，
在Rt△HEF中，设EF＝3x，则EH＝4x，
由勾股定理得：HF＝5x，
又∵5x＝15，
∴x＝3，
∴EF＝9，EH＝12，
∴周长为：2（9+12）＝42，
面积为：9×12＝108，
故答案为：42，108．
【点评】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
2022-2023学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1．当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．若一粒米的质量约是0.000029kg，我国有14亿人，如果每人每天浪费10粒米，那么全国人民一年会浪费掉1.4819×108kg大米．节约粮食，人人有责；光盘行动，意义重大！将数据0.000029用科学记数法表示为（ ）
A．29×10﹣4 B．2.9×10﹣6 C．2.9×10﹣5 D．2.9×10﹣4
4．化简﹣的结果是（ ）
A． B．a﹣3 C．a+3 D．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第四象限
B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3）
C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3）
D．点A关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2）
6．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A．5m B．7m C．10m D．13m
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
10．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动，到点C停止运动，点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．48 C．80 D．96
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则m的值不等于 ．
12．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可以是 （只需写出一个符合条件的实数）
13．分式方程的解是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，若将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，已知点B（4，0），连接AB、A′B，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．如图所示反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x（min）表示时间，y（km）表示小明离家的距离．已知小明家、菜地、玉米地在同一直线上．
根据图象回答下列问题：
（1）小明到达菜地用了 分钟；
（2）菜地离玉米地的距离是 千米；
（3）小明给玉米地锄草用了 分钟；
（4）求小明从玉米地到家的平均速度是每小时多少千米？
18．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
19．已知y是x的函数，且y＝（m+1）x+2m﹣1．
（1）若该函数为正比例函数，则m＝ ，此时函数图象经过 象限．
（2）若将该函数图象向上平移2个单位后经过点（1，8），求出此时m的值．
（3）当m＝1时，求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
20．反比例函数的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
21．我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元．
（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
22．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
x
…
1
1.5
2
3
4.5
6
9
…
y
…
10
7.5
6.5
6
6.5
7.5
10
…
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象．
（2）已知点（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题（填“＞”“＝”或“＜”）：
①若0＜x1＜x2＜3，则y1 y2；
②若3＜x1＜x2，则y1 y2；
③若x1•x2＝9，则y1 y2．
（3）某农户要用一些围栏建造一个9m2的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为xm，所需围栏长度为ym．
①请直接写出y与x之间的函数关系式；
②若围栏的单价为50元/m，且该农户买围栏的预算不超过750元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长x应控制在什么范围内？
23．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝ ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝15，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．
1．当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义分母不为零分别进行分析即可．
解：A、当a＝0时，分式无意义，故此选项错误；
B、当a＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误；
C、当a＝1时，分式无意义，故此选项错误；
D、当a为任意实数时，分式都有意义，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．
2．分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．
解：分式可变形为：﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键．
3．若一粒米的质量约是0.000029kg，我国有14亿人，如果每人每天浪费10粒米，那么全国人民一年会浪费掉1.4819×108kg大米．节约粮食，人人有责；光盘行动，意义重大！将数据0.000029用科学记数法表示为（ ）
A．29×10﹣4 B．2.9×10﹣6 C．2.9×10﹣5 D．2.9×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000029＝2.9×10﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．化简﹣的结果是（ ）
A． B．a﹣3 C．a+3 D．
【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
解：﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第四象限
B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3）
C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3）
D．点A关于原点的对称点的坐标为（3，﹣2）
【分析】先确定平面直角坐标系中A点的位置，再确定其对称点的位置即可．
解：A．点A在第四象限，选项正确，不符合题意；
B．点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3），选项正确，不符合题意；
C．点A关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），选项正确，不符合题意；
D．点A关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3），选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的位置和对称点的坐标，解题的关键是熟练掌握对称点坐标变化规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数；关于y轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标均变为原数的相反数．
6．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A．5m B．7m C．10m D．13m
【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．
解：观察图象，当t＝3时，h＝13，
∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限．
解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
8．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键．
9．一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】根据“顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等”列分式方程即可．
解：根据题意，可得，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
10．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动，到点C停止运动，点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．48 C．80 D．96
【分析】根据图象可知点P在AB上运动时，此时AP不断增大，而从B向C运动时，AP先变小后变大，从而可求出BC与BC上的高．
解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为10，即AB＝10，
点P从B向C运动时，AP的最小值为8，
即BC边上的高为8，
∴当AP⊥BC，AP＝8，
此时，由勾股定理可知：BP＝6，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴此时PC＝6，
∴BC＝12，
∴△ABC的面积为：，
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，注意结合图象求出BC与AB的长度是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则m的值不等于 2 ．
【分析】由分式 有意义，可得m﹣2≠0，从而可得答案．
解：∵分式 有意义，
∴m﹣2≠0，
解得：m≠2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解本题的关键．
12．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则实数k的值可以是 ﹣1（答案不唯一） （只需写出一个符合条件的实数）
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，不妨令k＝﹣1即可．
解：∵一次函数y随x的增大而减小，
∴k＜0，
不妨设k＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＜0．
13．分式方程的解是 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：方程两边同时乘以（x﹣1）（x﹣2），得：
x（x﹣2）＝3（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2），
去括号得x2﹣2x＝3x﹣3+x2﹣3x+2，
整理得﹣2x＝﹣1，
解得：，
检验：当时（x﹣1）（x﹣2）≠0，
所以是分式方程的解，
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键．解分式方程注意要检验．
14．如图，在平面直角坐标系中，若将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，已知点B（4，0），连接AB、A′B，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】如图，过A′作A′H⊥OB于H，由将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，可得AA′∥OB，A′（3，2），从而可得答案．
解：如图，过A′作A′H⊥OB于H，
∵将点A（0，2）向右平移后，其对应点A′恰好落在反比例函数的图象上，
∴，AA′∥OB，
∴A′（3，2），
∴，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质，理解题意确定A′（3，2）是解本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是 （﹣2，3）或（2，﹣3） ．
【分析】根据旋转可得：BM＝B1M1＝B2M2＝3，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，可得B1和B2 的坐标，即是B'的坐标．
解：∵A（﹣1，2），OC＝4，
∴C（4，0），B（3，2），M（0，2），BM＝3，AB∥x轴，
将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM＝OM1＝OM2＝2，∠AOA1＝∠AOA2＝90°，BM＝B1M1＝B2M2＝3，
A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴B1和B2 的坐标分别为：（﹣2，3）、（2，﹣3），
∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是（﹣2，3）或（2，﹣3），
故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）实数的计算，根据实数的运算法则求解即可；
（2）分式的化简，根据分式的运算法则计算求解．
解：（1）原式＝＝1；
（2）原式＝
＝
＝•
＝．
【点评】本题考查了实数的混合运算，负指数幂的计算，二次根式的化简，零次幂的计算，分式的化简等知识，牢记公式与定义，熟练分解因式是解题的关键．
17．如图所示反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x（min）表示时间，y（km）表示小明离家的距离．已知小明家、菜地、玉米地在同一直线上．
根据图象回答下列问题：
（1）小明到达菜地用了 15 分钟；
（2）菜地离玉米地的距离是 0.9 千米；
（3）小明给玉米地锄草用了 18 分钟；
（4）求小明从玉米地到家的平均速度是每小时多少千米？
【分析】观察函数图象得到小明用15分钟从家去菜地，浇水用了10分钟，又去离家2千米的玉米地，锄草用了18分钟，然后用了25分钟回家，由此可得出结果．
解：（1）由图可知，小明到达菜地用了15分钟；
故答案为：15；
（2）菜地离玉米地的距离是2﹣1.1＝0.9（千米）；
故答案为：0.9；
（3）小明给玉米地锄草用了55﹣37＝18（分钟）；
故答案为：18；
（4）2÷（80﹣55）×60＝4.8（千米），
小明从玉米地到家的平均速度是每小时（或4.8）千米．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
【分析】（1）利用分式约分化简解题；
（2）先求出倒数的值，然后代入求值即可．
解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2）＝＝＝25，
∴．
【点评】本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19．已知y是x的函数，且y＝（m+1）x+2m﹣1．
（1）若该函数为正比例函数，则m＝ ，此时函数图象经过 一，三 象限．
（2）若将该函数图象向上平移2个单位后经过点（1，8），求出此时m的值．
（3）当m＝1时，求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
【分析】（1）由y＝（m+1）x+2m﹣1为正比例函数，可得2m﹣1＝0且m+1≠0，解得：，从而可得答案；
（2）y＝（m+1）x+2m﹣1向上平移2个单位长度；可得y＝（m+1）x+2m﹣1+2，把点（1，8）代入可得8＝（m+1）+2m﹣1+2，再解方程即可；
（3）当m＝1时，则y＝2x+1，再求解函数与坐标轴的交点即可．
解：（1）∵y＝（m+1）x+2m﹣1为正比例函数，
∴2m﹣1＝0且m+1≠0，
解得：，
此时函数式为：，
∴函数图象经过一、三象限．
故答案为：，一，三；
（2）∵y＝（m+1）x+2m﹣1向上平移2个单位长度；
∴平移后的解析式为：y＝（m+1）x+2m﹣1+2，
∵平移后图象经过点（1，8）
∴8＝（m+1）+2m﹣1+2
解得m＝2；
（3）当m＝1时，y＝2x+1，
令y＝0，即2x+1＝0
解得：，
令x＝0，即y＝1．
∴该函数图象x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为（0，1）．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数图象的平移，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，理解一次函数的性质是解本题的关键．
20．反比例函数的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
【分析】（1）将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．
（2）根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．
【解答】（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数的图象上，
∴4m＝﹣2n＝4，
解得m＝1，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
画出函数y＝2x+2图象如图；
（2）由图象可得当x＜﹣2或0＜x＜1时，直线y＝2x+2在反比例函数图象下方，
∴的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
21．我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元．
（2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
【分析】（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为（1+20%）x元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
（2）根据题意建立关于a的一元一次不等式，求得a的取值范围，根据单价乘以数量即可求的w与a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
解：（1）设B型设备的单价为x元，则A型设备的单价为（1+20%）x元，
根据题意，得：，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解且符合题意，（1+20%）x＝1.2×2000＝2400（元），
答：A型设备的单价为2400元，B型设备的单价为2000元．
（2）根据题意，得，
解得a≥15，
由题意得：w＝2400a+2000（60﹣a）＝400a+120000∵400＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝15时，w最小，w最小＝400×15+120000＝126000（元）．
答：w与a的函数关系式为w＝400a+120000，最少购买费用为126000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键，难点是根据一次函数增减性判断最小值．
22．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
x
…
1
1.5
2
3
4.5
6
9
…
y
…
10
7.5
6.5
6
6.5
7.5
10
…
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象．
（2）已知点（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题（填“＞”“＝”或“＜”）：
①若0＜x1＜x2＜3，则y1 ＞ y2；
②若3＜x1＜x2，则y1 ＜ y2；
③若x1•x2＝9，则y1 ＝ y2．
（3）某农户要用一些围栏建造一个9m2的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为xm，所需围栏长度为ym．
①请直接写出y与x之间的函数关系式；
②若围栏的单价为50元/m，且该农户买围栏的预算不超过750元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长x应控制在什么范围内？
【分析】（1）用光滑的曲线将点顺次连接起来即可；
（2）根据函数图象的增减性即可求解；
（3）①设鸡圈的一边长为xm，则另一边长为 m，再根据长方形周长公式即可求解；②根据“预算不超过750元”列不等式即可求解．
解：（1）函数图象如下所示：
（2）由函数图象可知，当0＜x＜3时，y值随x的增大而减小，当x＞3时，y值随x的增大而增大，
因此若0＜x1＜x2＜3，则y1＜y2；若3＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1⋅x2＝9，则 y1＝y2，
故答案为：①＞；②＜；③＝；
（3）①设鸡圈的一边长为xm，则另一边长为 m，
因此y与x之间的函数关系式为：；
②由题意知：，
整理得：x2﹣7.5x+9≤0，即（x﹣1.5）（x﹣6）≤0，
解得1.5≤x≤6．
【点评】本题主要考查反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息、一元二次方程的应用等，能够从函数图象获取相关信息是解题的关键．
23．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为12，BC＝6，则此完美长方形的边长FG＝ 3 ，面积为 6 ．
（2）类比探究：
如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为20，BC＝5，求完美长方形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF：EH＝3：4，AD＝15，则此完美长方形的周长为 42 ，面积为 108 ．
【分析】（1）由折叠可知点H是AC中点，DF+DG＝BF+CG＝3，过点A作AM⊥BC于M，根据三角形ABC面积求AM的长，由AM∥GH，点H是AC中点可知GH是△ACM中位线，得到 进而求完美长方形面积；
（2）根据折叠可知，EH＝BE，CF＝FH，从而可得 ，根据平行四边形ABCD面积可求得AE的长为4进而可求周长；
（3）由折叠可证点E，G分别是AB，CD中点，进一步可证四边形ADGE是平行四边形，所以EG＝AD＝15，即长方形EFGH对角线长为15，设EF＝3x，EH＝4x，根据勾股定理得到方程，解出x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
解：（1）由折叠可知，BF＝DF，CG＝DG，AH＝DH＝CH，
∴DF+DG＝BF+CG，点H是AC中点，
∵2DF+2DG＝BC＝6，
∴DF+DG＝3，
即FG＝3，
过点A作AM⊥BC于M，
∵四边形EHGF是矩形，
∴HG⊥BC，
∴HG∥AM，
∴H是CM中点，
∴，
∵，
∴AM＝4，
∴，
∴完美长方形的面积为3×2＝6，
故答案为：3，6；
（2）由折叠可知BE＝HE，CF＝HF，
∴，
同理可知SABE＝SAHE，S四边形AHFG＝S四边形DCFG，
∴长方形AEFG的面积为20÷2＝10，
∴，
∴长方形AEFG的周长为；
（3）由折叠可证点E，G分别是AB，CD的中点，
∴，
由题意知AB＝CD，AB∥CD，
∴AE＝DG，AE∥DG，
∴AEGD为平行四边形，
∴AD＝EG＝HF，
在Rt△HEF中，设EF＝3x，则EH＝4x，
由勾股定理得：HF＝5x，
又∵5x＝15，
∴x＝3，
∴EF＝9，EH＝12，
∴周长为：2（9+12）＝42，
面积为：9×12＝108，
故答案为：42，108．
【点评】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
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