2022-2023学年广西柳州地区民族高级中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年广西柳州地区民族高级中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（    ）

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(0，1)(2，3)

【答案】B

【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．

【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．

故选：B．

2．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接求导，令，解出即可.

【详解】由已知，

定义域为，由得．

∴的增区间为．

故选：D．

3．甲、乙、丙、丁四名志愿者去，，三个社区参与服务工作，要求每个社区至少安排一人，则不同的安排方式共有（    ）

A．18种 B．36种 C．72种 D．81种

【答案】B

【解析】利用捆绑法将四人分为三组有种，再全排列种，计算得到答案.

【详解】利用捆绑法将四人分为三组：种，再全排列种，故有种不同的安排方式.

故选：.

【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，意在考查学生的应用能力.

4．已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据第项与第项的二项式系数相等列出等式，解出，再用赋值法即可得出结果.

【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等，

所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：.

故选：C

5．若离散型随机变量的分布列如下图所示．

则实数的值为（    ）

A．或 B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式计算作答.

【详解】依题意，，解得，

所以实数的值为.

故选：C

6．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】按照取出3号球的个数可分成两类：第一类，1个3号球；第二类，2个3号球.

【详解】按球编号将球分三组，8球中有4球编号小于3，2球编号等于3，2球编号大于3.

现从袋中任取3球共有种方法，

X＝3表示： 3球中最大编号为3，分两类情况：

第一类1个3号球，另两球编号小于3，由古典概型概率公式得；

第二类2个3号球，另一球编号小于3，由古典概型概率公式得，

由互斥事件和事件概率加法公式得.

故选：D.

【点睛】随机变量分布列的求解首先要明确随机变量每一个取值表示的意义，即确定所求事件；其次是分析转化所求事件为简单事件表示，如互斥事件的和事件、相互独立事件的积事件、“正难则反”对立事件等等；最后根据事件性质正确应用公式求出对应的概率.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数法判断其单调性即可.

【详解】当时，，排除C选项；

求导，

令，得或，

当或时，，

当时，，

所以在和上递增，

在上递减，

故选：B

8．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（    ）

A．，5 B．，10 C．，5 D．，10

【答案】B

【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式计算值即可.

【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,

门大炮总得分的期望值为，

，

故选：B.

二、多选题

9．下列函数求导正确的是（    ）

A．已知，则

B．已知，则

C．已知，则

D．已知，则

【答案】AD

【分析】根据初等函数和复合函数的求导方法计算即可.

【详解】对于A，已知，则，故正确；

对于B，已知，则，故错误；

对于C，已知，则，故错误；

对于D，已知，则，故正确.

故选：AD.

10．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则（       ）

（附：，，，．）

A．该校学生每周平均阅读时间为9小时；

B．该校学生每周阅读时间的标准差为4；

C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.15%；

D．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210．

【答案】ACD

【分析】根据正态分布的意义、对称性与特定区间的概率逐个判断即可

【详解】对A，因为，所以平均数是9，故A正确；

对B，因为，所以标准差为2，故B不正确

对C，因为，，．

结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占，C正确；

对D，每周阅读时间在3-5小时的人数占，

，所以D正确；

故选：ACD．

11．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据等差数列前项和公式和通项的性质，推出，结合选项可得答案.

【详解】因为是等差数列，所以.

根据题意，又，所以，

从而，，故选项A，B正确；

又，即，故选项C正确；

对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.

故选：ABC

12．已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（    ）

A．最小值为2 B．若，则

C．若，则 D．若点P不在x轴上，则

【答案】ABC

【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.

【详解】点，抛物线的准线方程为，

设，，

所以点P在横轴上时有最小值2，所以选项A正确；

若，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，

把代入中，得，，此时，

于是有，所以选项B正确；

因为，显然点P不在横轴上，

则有，

所以直线的方程为代入抛物线方程中，得

，设，

，

，所以选项C正确，

点P不在x轴上，由上可知：，，

，

而，显然，所以选项D不正确，

故选：ABC

三、填空题

13．的展开式中的常数项为____.（用数字作答）

【答案】/

【分析】利用二项展开式的通项即可求得的展开式中的常数项.

【详解】展开式的通项为.

令，得，所以，

故答案为：.

14．曲线在点处的切线方程为____________.

【答案】

【分析】再结合导数的几何意义 切线斜率，代入切线方程公式即可．

【详解】因为，

所以，

所以．

故切线方程为．

故答案为：．

15．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则__________.

【答案】

【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出.

【详解】由题意知，，，

所以.

故答案为：.

16．若函数（为自然对数的底数）在的区间内有两个极值点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】由已知可得在的区间内有两个解，分离参数后转化为求解函数的交点问题，构造函数结合导数可求．

【详解】在的区间内有两个极值点，

则在的区间内有两个解，即在的区间内有两个解，

令，则，

易得，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，

又时，，且，

故，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，解题中体现了转化思想的应用．

四、解答题

17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．

(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列详见解析，数学期望为

【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.

（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.

【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.

（2）的可能取值为，

则，

，

，

所以的分布列如下：

所以.

18．等比数列的公比为2，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；

(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.

【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，

， ， 解得，

；

（2），

.

；

综上，

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．

(1)求证：平面MBD；

(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.

【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，

由四边形ABCD为矩形，

可知O为AC中点，M为PC中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面MBD.

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则 ，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．已知圆：，直线：.

(1)设直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；

(2)设直线与圆相交于两点，求弦中点的轨迹方程.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出m的值，得直线方程；

（2）设动点，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程.

【详解】（1）圆的圆心为,半径为,

设圆心到直线的距离为d，因为，则，解得，

所以，，

故直线方程为或.

（2）直线l：，过定点，

设弦AB的中点，则，

所以，即，

所以弦AB的中点的轨迹方程为.

21．已知椭圆：，过点和点.

(1)求的方程；

(2)若圆的切线与交于点，，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将点代入椭圆方程得到答案.

（2）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，根据相切得到，联立方程得到根与系数的关系，计算得到证明.

【详解】（1）椭圆：，过点和点，

则且，解得，椭圆方程为，

（2）当切线的斜率不存在时，得，

当 时, 可得，

，故；

当时，同理可证；

当切线的斜率存在时，设，

因为与圆相切，所以圆心到的距离为，

即，联立，，

设，

，

，

故

，

由，得，

综上所述：，故.

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，证明垂直关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为计算可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握.

22．已知函数（，为自然对数的底数）.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，，求实数的取值范围.

【答案】(1)在单调递增

(2)

【分析】（1）求导得到，设，求导得到单调区间，计算最值确定，得到答案.

（2）变换得到，令，求导得到函数的单调区间，考虑和两种情况，得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】（1）的定义域为，，

设，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

故时，取得最小值，最小值为.

故，，故在恒成立，故函数在单调递增.

（2）不等式等价于，即，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

①当时，由在单调递增可知对任意恒成立，

等价于对任意恒成立

②当时, ，又时，，

对任意恒成立，

综上所述：即对任意恒成立.

令，则，

故在上单调递增，，即，

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调性，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用同构的思想变换得到，再将题目转化为是解题的关键.