2022-2023学年广西钦州市第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广西钦州市第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西钦州市第一中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．数列满足，，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】运用代入法进行求解即可,【详解】因为，所以，故选：A2．在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：分析出第一次抽到数学题条件下，剩余试题的特征，从而求出概率；法二：设出事件，利用条件概率公式进行求解.【详解】法一：因为第一次抽到数学题条件下，还剩下4道试题，有2道数学题和2道物理题，因此第二次抽到数学题的概率是；法二：设第二次抽到数学题为事件，第一次抽到数学题为事件，则，，则.故选：B3．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.【详解】因为，所以．故选：B4．根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（    ）2456830405070 A．60 B．55 C．50 D．45【答案】A【分析】先求得样本点中心，再根据回归直线过样本点中心即可求解.【详解】由表中数据，计算，，因为回归直线方程过样本中心，，解得，故选：A5．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 023，则序号n等于（    ）A．674 B．675 C．676 D．677【答案】B【分析】先求出等差数列的通项公式，再把代入求解即可.【详解】因为数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以.当时，即，解得.故选：B6．已知数列对任意满足，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由数列递推公式依次计算，，，，即可得答案.【详解】由题意可得，，，，.故选：D7．等比数列的前n项和为，若，，则（    ）A．60 B．70 C．80 D．150【答案】D【分析】根据等比数列前项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可.【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，又因为，，，则，，所以，.故选：D.8．已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（    ）A．11 B．12 C．7 D．6【答案】A【分析】根据已知条件，判断出，的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得.【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得，因为，故可得，即，所以，可得，又因为，故可得，所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：A. 二、多选题9．下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（　　）A．  B． C．  D． 【答案】ACD【分析】根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项.【详解】对A：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对B：当为奇数时，或，当为偶数时，，不符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对C：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对D：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；故选：ACD10．下列命题中，正确的命题（    ）A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点B．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变C．用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好D．若随机变量，且，则【答案】BD【分析】利用回归直线的性质判断A；利用波动性判断B；利用相关系数的意义判断C；利用正态分布的对称性计算判断D作答.【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点，A错误；对于B，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，方差不变，B正确；对于C，用相关系数来刻画回归效果，越接近，说明模型的拟合效果越好，C错误；对于D，随机变量，则， D正确．故选：BD11．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（    ）A． B．与互斥C．与相互独立 D．【答案】ABC【分析】设事件“第一次为奇数”，则，“第二次为奇数”， 则，“两次点数之和为奇数”，则，根据概率的概念及互斥事件与相互独立事件概率的概念求解判断即可.【详解】随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，则，“第二次为奇数”， 则，“两次点数之和为奇数”，则，则，∴，A正确；为两次点数之和为偶数，与两次点数之和为奇数不可能同时发生，则与互斥，B正确；,故A与相互独立，C正确；事件A,B,C不可能同时发生，则，故D错误；故选：ABC.12．已知数列满足，前n项的和为，关于，叙述正确的是（    ）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】ABC【分析】利用函数性质研究数列的性质，结合，的单调性逐项分析判断.【详解】对于函数可知：在上单调递减，且当时，；当时，.故对于数列可知：当，则；当，则数列为递减数列，且；故数列有最大值，有最小值，A、C正确；又∵当，；当，；故当，则；当，则；故有最小值，B正确，D错误；故选：ABC. 三、填空题13．若随机变量，则_______.（附：若随机变量，则，）【答案】0.84135【分析】根据正态分布的对称性，结合原则求解即可【详解】因为，所以.故答案为：14．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则________．【答案】【分析】由题可得服从超几何分布，进而即得.【详解】由题意知服从超几何分布，则，所以．故答案为：.15．在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是______.【答案】【分析】分析出，利用韦达定理结合等比中项的性质可求得的值.【详解】对于方程，，设等比数列的公比为，则，即、同号，由韦达定理可得，则、均为负数，，，由等比中项的性质可得，.故答案为：.16．随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.X－101Pab 【答案】5【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．【详解】依题意可得，解得，所以，所以.故答案为：5. 四、解答题17．已知等差数列中，(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和，并求的最小值【答案】(1)(2)， 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解；（2）利用等差的求和公式得到，然后判断的正负，即可求得的最小值【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以；（2），数列首项为负的，公差大于零，是递增数列，令即，解得，因为，所以，令即，解得，令即，解得，所以第1项是负数，第2项是0，从第3项起变成正数，所以当或2时，取得最小值，18．某箱子中原来装有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个红球，2个白球.从箱子中每次随机取出1个球，如果取出的是红球，则不放回;如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球.(1)求取球两次后，箱子中小球的个数为5的概率;(2)记取球两次后，箱子中小球的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）记“取球两次后，箱子中小球的个数为5”为事件，然后列出事件包含的事件，根据概率公式进行求解即可；（2）依题意可得到的所有可能取值为4，求出对应的概率，列出分布列并求出期望即可【详解】（1）记“取球两次后，箱子中小球的个数为5”为事件，事件包含：“第一次取球为红色，第二次取球为白色”和“第一次取球为白色，第二次取球为红色”，则，取球两次后，箱子中小球的个数为5的概率为；（2）依题意得的所有可能取值为4，则，的分布列为456的数学期望19．赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：赤霉素含量1020304050后天生长的优质数量237810(1)求关于的线性回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1)(2)615 【分析】（1）求出、、、，代入公式计算可得答案；（2）将代入可得答案.【详解】（1），，，，则，，故关于的线性回归方程为；（2）将，代入，得到，则估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量为.20．某校用随机抽样的方法调查学生参加校外补习情况，得到的数据如下表：分数等级人数不及格及格良好优秀学生人数8522911参加校外补习人数51573(1)从中任取一名学生，记“该生参加了校外补习”，“该生成绩为优秀”．求及；(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关？附：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】(1)，；(2)不能在犯错误的概率不超过为0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关. 【分析】（1）根据给定的数表，利用古典概率及条件概率公式计算作答.（2）根据数表完善列联表，计算的观测值并比对作答.【详解】（1）由给定的数表得：，，，所以.（2）由已知得列联表： 参加校外不参加校外合计成绩优秀或良好103040成绩不为优秀且良好204060合计3070100的观测值为，所以不能在犯错误的概率不超过为0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关．21．已知正项数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由已知，结合的关系可得、，根据等差数列的定义即可写出通项公式.（2）由（1）得，应用裂项相消法求前项和.【详解】（1）当时，且，所以.当时，，所以，所以，又，所以，即是首项为1，公差为3的等差数列，故.（2）因为，所以.22．某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．(1)求和的值；(2)求证：数列为等比数列；(3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）【答案】(1)，(2)证明见解析(3)年 【分析】（1）根据题意直接计算可得；（2）依题意可得递推公式，然后构造可证；（3）根据（2）先求通项，然后根据题意列不等式求解可得.【详解】（1）由题意知，，（2）证明：由题意知．即，所以．由所以数列的首项为，所以是首项为，公比为的等比数列．（3）由（2）知数列的首项为，公比为．所以，所以．当，得．两边取常用对数得，所以，所以，因为，所以．即至少经过年，该项目的资金达到翻一番．