2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中监测数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中监测数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.

【详解】改量词：改为，

否结论：否定为，

所以，的否定形式为：，.

故选：A.

2．已知复数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求其共轭复数，即可求解.

【详解】，

故，故的虚部为，

故选：C

3．设，“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；

当复数为纯虚数时，

，解得或，故不必要，

故选：A

4．函数的单调递增区间为（    ）

A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)

【答案】D

【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.

【详解】∵函数，，

∴，

由，，解得，

即函数的单调递增区间为.

故选：D.

5．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）

①（）是三角函数：②三角函数是周期函数；③（）是周期函数

A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①

【答案】B

【分析】按照三段论的形式：大前提，小前提，结论的形式排序即可.

【详解】解：三段论为：大前提，小前提，结论，所以排序为：

②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数.

故选：B.

6．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；

当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；

当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；

当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；

故选A．

【解析】导数及其性质.

7．年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：

由上表可得关于的线性回归方程为，则此回归模型第周的残差（实际值减去预报值）为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，用减去所得结果即可得解.

【详解】由表格中的数据可得，，

由于回归直线过样本的中心点，则，解得，回归直线方程为，

将代入回归直线方程可得，

因此，第周的残差为.

故选：A.

8．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断.

【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；

当时，,函数单调递减；

当时，,函数单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选:C.

9．若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（    ）

A．（，+∞） B．（－∞，）

C．[，+∞） D．（－∞，]

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.

【详解】函数不存在极值点,s

由函数求导得：，

因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，

因此有，恒成立，于是得，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：C.

10．设某程序框图如图所示，则输出的s的值为

A．102 B．410

C．614 D．1638

【答案】B

【详解】解：因为s=2,i=3;s=6,i=5;s=32-6=26,i=7;s=128-26=102,i=9

s=512-102=410,i=11;此时输出．

11．设双曲线（）的半焦距为c，直线l过两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率（    ）

A．2 B． C．2和 D．2和

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用直角三角形面积公式列式，结合双曲线离心率定义求解作答.

【详解】令，依题意，在中，，且，如图，

显然，由，得，

整理得，而，解得，

所以双曲线的离心率.

故选：A

12．芯片制作的原料是晶圆， 晶圆是硅元素加以纯化， 晶圆越薄， 生产的成本越低， 但对工艺要求就越高． 某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中， 成立个科研小组， 用、、三种不同的工艺制作芯片原料， 其厚度分别为，，（单位：毫米）， 则三种芯片原料厚度的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用函数在上的单调性可得出、的关系，利用余弦函数的单调性可得出与的大小关系，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出与的大小关系，综合可得出、、的大小关系.

【详解】令，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上为减函数，

则当时，，即，

所以，函数在上为减函数，

因为，则，所以，，即，即，

因为在上单调递减，且，所以，，

令，其中，则，

所以，函数在上为增函数，则，即，

所以，，则，

综上所述 ，

故选：A.

二、填空题

13．若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据双曲线方程的特点求解.

【详解】由于 是双曲线方程， ；

故答案为：

14．能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

【答案】

【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.

【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．

15．甲､乙､丙､丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表：

则________同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性.

【答案】丁

【解析】根据数据直接判断即可.

【详解】解：越大，越小，线性相关性越强，易知丁同学的试验结果体现A，B两变量的线性相关性较强.

故答案为：丁.

16．已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为______.

【答案】

【分析】由已知条件得出，，进而可知与是关于的方程的两根，构造函数，分析该函数的单调性，可得出，化简整理可求得的值.

【详解】解：因为实数、满足，，

所以，，，即，

所以，与是关于的方程的两根，

构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数，

由于，所以，，

，即，即，解得.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数与对数的互化求代数式的值，解题的关键在于由已知等式化简得出与是关于的方程的两根，转化利用函数的单调性来得出，同时也要注意将根代入方程，得出关系式进而求解.

三、解答题

17．设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，.求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程.

【答案】

【分析】根据抛物线的定义结合几何性质可得点D到抛物线C的准线的距离.解法一：根据抛物线的定义分析求解p = 1；解法二：利用弦长公式结合韦达定理分析运算.

【详解】由题意可得抛物线C的焦点，准线，

过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，

则根据抛物线的定义，有AF = AE，BF = BH，所以 AE + BH = AF + BF = AB = 3.

因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离.

解法一：设，根据抛物线的定义有

，，

∴ ，

而 x1 + x2 = 2，∴ p = 1，

故抛物线C的方程y2 = 2x.

解法二：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为，，

联立方程，消去y整理得，

∴，，

于是

，

代入整理得，①

注意到，②

所以由①②解得，

因此抛物线C的方程为y2 = 2x.

18．某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据

（1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；

（2）根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y与x的回归方程；

（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．

参考公式:回归方程为其中，

【答案】（1）具有相关关系；（2）；（3）15

【详解】试题分析：（1）根据表格中所给的数据，写出对应的点的坐标，在直角坐标系中描出这几个点，得到散点图；（2）首先做出这组数据的横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程；（3）根据上一问做出的线性回归方程，当y的值是一个确定的值时，把值代入做出对应的x的值

试题解析：（1）散点图如图

由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．

（2） ，

==

==

==

==

∴线性回归方程为

（3）由题得：， ，得

19．如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到．

(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）；

(2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径．

【答案】(1)R内

(2)内切球的半径，外接球半径．

【分析】（1）类比等面积法，由等体积法可推出结果；

（2）根据（1）中的结果求出；将三棱锥补形成正方体，可求出.

【详解】（1）解题方法类比：三角形内切圆半径的求法是利用等面积法，那么三棱锥内切球半径的求法是等体积法.

设三棱锥的内切球的球心为，半径为，三棱锥的体积为，表面积为，

则，

，

所以.

所以三棱锥的内切球的半径公式R内．

（2）因为PA，PB，PC两两垂直，PA = PB = PC = 1，所以△PAB的面积为 ，

于是，三棱锥P－ABC的体积为，

三棱锥P－ABC的表面积为，

所以，由（1）中的公式可得三棱锥的内切球的半径，

将三棱锥补形成正方体，如图：

则三棱锥与正方体共外接球，

则球的直径是长方体的对角线，所以.

20．已知函数 .

(1)当时，求在点 处的切线方程；

(2) 时，求证：.

【答案】(1)y = 2x－2 ln 2

(2)证明见解析

【分析】（1）将 代入 的解析式，求出 和 ，再运用点斜式直线方程求解；

（2）运用导数求出 的最小值，只要证明最小值 即可.

【详解】（1）当a = 1时，，x＞0，

则 ， ，而 ，

所以在点 处的切线方程为 ，即 ；

（2）对求导得 ，x＞0，

当a＞0 时，令得 ，当时， f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增，

所以 ，

只需证明 ≥  ，即 ≥0  恒成立；

设，，则 ，，

当时，， 单调递减；当时，，

单调递增；所以 是的最小值，故，

表明≥0（a＞0）恒成立，故 .

21．设函数，．

(1)求的单调区间；

(2)若存在极值点，且，其中，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）分和讨论，其中时易知函数单调，当时，求出导函数的零点，根据导数和函数单调性的关系即可得到答案.

（2）根据题意得，从而得到，再对和化简即可证明.

【详解】（1）由求导，可得．

下面分两种情况讨论：

① 当时，有恒成立，所以的单调递增区间为；

② 当时，令，解得．

当x变化时，，的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，

单调递增区间为，．      

综上：当时，的单调递增区间为，

当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．

（2）因为存在极值点，所以由（1）知，且，

由题意，得，即，，

进而．

又

，且．

由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，

因此，所以．

22．如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.

(1)若，轴，求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角 的正弦.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先得，将点代入椭圆方程，结合关系即可得到答案；

（2）设点P的坐标为，写出相关向量，利用其数量积为0得到，结合点在椭圆上以及椭圆第二定义即可求出直线倾斜角的正弦值.

【详解】（1）由已知可得，所以.

又点在椭圆C：上，所以.

联立，解得，，

因此椭圆C的方程为.

（2）解法一：由题意知，，，.

设点P的坐标为，，则，，

∵，∴，则△PAF是直角三角形，

于是，

∴.①

∵P是椭圆C上在第一象限内的点，

∵，即.②

将①代入②得，

即，

∴，

由于，∴只有，得.

∵，，∴.③

根据椭圆的定义，有，而，

∴中，有.④

将③代入④得.

解法二：由题意知，，，，

则直线PA的方程为，.（*）

将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得

.（**）

因为点和的坐标满足方程（*）和（**），

所以，有，即，

.

若，则，表明△PAF是直角三角形，

从而有，

∴，

∴.

将、代入上式，得

++.

去分母，整理，得

，

将代入，得   ，

于是 .

解法三：过P作轴于Q，设，则有.

∵ ，∴，

得，.

由，得，

∴ a + x0 =（a + c）cos2   x0 =（a + c）cos2 －a.

根据椭圆的定义有，，

而 ， ∴，

即，

∴

由 ，得代入上式，整理得，

显然，所以，得.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法或是设线法，方法一和方法三采用的设点法，均利用了椭圆的第二定义，而方法二采用的设线法，通过设直线的方程，将其与椭圆联立，解出坐标，再利用向量点乘为0，即垂直关系解出.