2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二上学期期中监测数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二上学期期中监测数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二上学期期中监测数学（理）试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．不存在【答案】A【分析】直线的斜率不存在，即得倾斜角【详解】∵直线的斜率不存在，直线与轴垂直,∴其倾斜角为，故选：A2．已知命题：，，则为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即得.【详解】∵命题：，，∴为：，.故选：B.3．某校高二年级甲、乙两位同学开展了核酸检测．设命题p为“甲同学核酸检测结果为阴性”，命题q为“乙同学核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位同学核酸检测结果不是阴性”可表示为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知命题写出命题的否定，结合复合命题的含义写出命题表达式.【详解】由题设，为甲同学核酸检测结果不是阴性，为乙同学核酸检测结果不是阴性，所以“至少有一位同学核酸检测结果不是阴性”可表示为.故选：D4．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（    ）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．【详解】解：双曲线的，，，所以，一个焦点设为，一条渐近线设为，所以，焦点到渐近线的距离为.所以，根据双曲线的对称性可知, 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是.故选：D.5．直线与圆的位置关系为（    ）A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定【答案】C【分析】由题知直线过定点，且在圆内，进而得直线与圆的位置关系.【详解】解：将直线变形为，所以直线过定点，圆化为标准方程得，因为所以，点在圆内，所以，直线与圆的位置关系为相交.故选：C6．“”是“直线与直线垂直”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若直线与直线垂直，则，即，解得或，因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.7．将椭圆向下平移个单位得图形，则把圆与图形的公共点，用线段连接起来的图形是（    ）A．线段 B．不等边三角形 C．等边三角形 D．四边形【答案】C【分析】求出图形的方程，与圆的方程联立，求出两个图形的三个交点坐标，再计算出三角形三边边长，即可得出结论.【详解】由题意可知，图形的方程为，联立，解得或或，记点、、，由平面两点间的距离公式可得，因此，为等边三角形.故选：C.8．直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，得，然后根据所给图形逐个分析即可【详解】解：由，得，对于A，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、三象限，所以A错误；对于B，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、三、四象限，所以B正确；对于C，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，且由图可知两图在轴上有公共点，则可得，从而有，直线方程为，由，可得或，则交点应在第一象限，所以C错误；对于D，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，所以D错误，故选：B9．设A（1，1），B（3，5），C（5，3），D（0，－7），E（2，－3）及F（8，－6）为坐标平面上的六个点．若直线l分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则l的斜率的最小值为（    ）A．－4 B．－3 C． D．－1【答案】B【分析】由题意可知，直线l只能过两三角形的顶点，由此可得答案.【详解】因直线l分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则直线只能过三角形的顶点，注意到，则D，C，E三点共线，又结合图形，可知直线只能是AD，AF，CF中的一条又，，.则斜率最小值为.故选：B10．设，，则的最大值与最小值之和等于（    ）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据等式得出代入原式，构造二次函数即可找到最大值，最小值.【详解】由得，且，代入得：，令，在单调递增，故，故选:B11．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的条件，结合直角三角形性质可得半焦距c与短半轴长b的关系，再求解作答.【详解】令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，则，而，即有，，，即，于是得，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：D12．已知直线l1：，l2：，动点P在椭圆（a＞b＞0）上，作PM //l1交l2于点M，作PN //l2交l1于点N．若 为定值，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，表示出点的坐标满足，根据点在椭圆上，得出关系，进一步可得出的值.【详解】设，由题意四边形为平行四边形 设，则由，则设，即所以由为椭圆上任意一点，即所以，即故选：C 二、填空题13．直线与圆相交所得的弦长为___________．【答案】【分析】由题意首先写出圆的标准方程，然后利用弦长公式确定直线截圆所得的弦长即可【详解】因为圆即：，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得弦长为：.故答案为：14．若直线与平行，则与之间的距离为____．【答案】##【分析】由直线平行求出，再用平行线距离公式求出答案.【详解】由直线平行的充要条件可得：，由解得：或，由可得：，所以，所以直线方程为：，则与之间的距离为 .故答案为：15．已知，，若是的充分不必要条件，则m的取值范围是__________．【答案】【分析】由题设是的充分不必要条件，根据已知条件列不等式求参数范围.【详解】由是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），可得.故答案为：16．如图，已知梯形中，，点在线段上且，双曲线过三点，且以为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是_________．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，根据点满足双曲线方程，建立双曲线离心率与参数之间的函数关系，进而求其值域即可.【详解】以所在直线为轴、线段的中点为原点建立平面直角坐标系，如下所示：设过点三点的双曲线方程为：，根据题意可得：，设两点坐标分别为，则，由可得：，解得，因为点的坐标都满足双曲线方程，故可得：，则，将其代入，整理化简可得：，即，整理得：，又因为，故可得，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解决问题的关键是根据题意，建立离心率与参数之间的关系，同时要注意计算的准确度，属中档题. 三、解答题17．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点Q．(1)求交点Q的坐标；(2)若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标；（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出方程，代入点Q坐标，求出直线方程.【详解】（1）联立直线与直线，得到，解得：，则；（2）①当截距为0时，直线l过原点，设，将代入，则，这时直线l为x－2y = 0； ②当直线l截距都不为0时，设，将代入，则m = 3，故直线为．综上，直线l的方程为：或.18．命题 “方程表示圆”，命题 “方程表示双曲线”．(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若为真命题，为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据圆的一般式方程的约束条件解不等式即可得答案；（2）根据为假命题，为真命题求解即可.【详解】（1）解：因为“方程表示圆”，所以，，即，解得．所以，实数的取值范围是.（2）解：若q为真命题，则，解得 或．因为为真命题，为真命题，所以，为假命题，为真命题，所以，或或或因此，实数m的取值范围是或19．已知圆的圆心在直线上，并且经过点和点．(1)求圆的方程；(2)若直线过点且与圆相切，求直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据题意设圆心，进而结合得，再求解方程即可；（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为圆的圆心在直线上，所以，设圆心，因为圆经过点和点，所以，，即，解得，所以，圆心为，半径为，所以，圆的方程为．（2）解：① 当直线的斜率不存在时，方程为，此时到的距离是，等于半径，故符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线为，即，所以，圆心到直线的距离为，解得，所以，所求直线为．   综上，直线的方程为或．20．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线l与双曲线相交于两点，若的中点为，求直线l的方程．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意可设双曲线方程为，将点代入即可求解；（2）利用点差法求出直线l的方程，再检验即可求解【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，即，所以设双曲线的方程为，将点代入，可得解得，因此双曲线的标准方程为；（2）设，则，，两式相减，得，则，因为的中点为，所以等式可得，得，则直线为即，联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，故直线l的方程为21．已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A（2，0），记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且满足kAM·kAN =－1．证明：直线l过定点．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先分别求出点P到点F的距离和到直线x =－4的距离,然后由根据条件得到方程，化简即可得到答案.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l为y = kx + m，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示出kAM·kAN =－1，将韦达定理代入，得出的关系，得到答案，再验证直线l的斜率不存在的情况.【详解】（1）因为点P（x，y）到点F（－1，0）的距离为，点P（x，y）到直线x=－4的距离，所以 4（x2+2x+1+y2）=x2+8x+163x2+4y2=12，因此，可得椭圆C的标准方程为．（2）① 当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立 消去y，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2－12=0，则 =48（4k2+3－m2）＞0，，，于是 ，              即（kx1+m）（kx2+m）+（x1－2）（x2－2）= 0，即（k2+1）x1x2+（km－2）（x1+x2）+（m2+4）=0，化简，得4k2+16km+7m2=（2k+m）（2k+7m）=0．            （i）当2k+m=0时，直线为y=kx－2k，过点（2，0），舍去；（ii）当2k+7m=0时，直线为，过点（，0）．② 当直线l的斜率不存在时，x =，经检验，符合题意．           综上，则直线l过定点R（，0）．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e =，经过点P（2，3）．(1)求椭圆C的方程；(2)若点Q与点P关于x轴对称，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足于∠APQ =∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，说明理由．【答案】(1)(2)① ；②斜率为定值；理由见解析 【分析】（1）设出椭圆方程，根据离心率可得出，将点P坐标代入椭圆方程，从而可得出答案.（2）①设，直线AB的方程为与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据四边形APBQ面积为整理化简，将韦达定理代入，可得答案.②由题意则PA，PB的斜率互为相反数，设PA的直线方程为y－3 = k（x－2）与椭圆方程联立得出，同理得出，代入AB的斜率公式中可得答案.【详解】（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），则，且，解得a2 = 16，b2 = 12，∴ 椭圆C的方程为．（2）① ∵ 点Q与点P（2，3）关于x轴对称，∴ Q（2，－3）．设，直线AB的方程为，代入中，消去y，整理，得 x2－tx + t2－12 = 0．由，解得 －4＜t＜4；由韦达定理，得 x1 + x2 = t，x1x2 = t2－12．注意到线段PQ⊥x轴，︱PQ︱= 6，∴ 四边形APBQ的面积=，∴ 当t = 0，Smax =．                                    ② 当∠APQ =∠BPQ，则PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k．由PA的直线方程为y－3 = k（x－2），与椭圆C的方程联立，组成方程组，消去y整理，得（3 + 4k2）x2 + 8k（3－2k）x + 4（3－2k）2－48 = 0，所以 ．同理，PB的直线方程为y－3 =－k（x－2），有（3 + 4k2）x2－8k（3 + 2k）x + 4（3 + 2k）2－48 = 0，所以 ．于是 ，，因此，将x1 + x2，x1－x2代入，可得kAB =．所以，AB的斜率为定值．【点睛】关键点睛：本题考查根据椭圆离心率和点在椭圆上求椭圆方程，求四边形面积的最值以及定点问题，解答本题的关键是将四边形的面积表示为=，从而得出面积的最值，利用直线PA的方程与椭圆方程联立得出点的坐标，同理得出的坐标,属于难题.