四川省成都市嘉祥教育集团2022-2023学年高二数学（理）下学期期中监测试题（Word版附解析）

嘉祥教育集团2022－2023学年度高二下学期半期监测试题

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.

【详解】改量词：改为，

否结论：否定为，

所以，的否定形式为：，.

故选：A.

2. 已知复数，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求其共轭复数，即可求解.

【详解】，

故，故的虚部为，

故选：C

3. 函数的单调递增区间为（    ）

A. () B. (1，+) C. (1，1) D. (0，1)

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.

【详解】∵函数，，

∴，

由，，解得，

即函数的单调递增区间为.

故选：D.

4. 用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据数学归纳法的证明过程求解.

【详解】数学归纳法的证明过程如下：

当 时 ，左边 ，原不等式成立；

设当 时，原不等式成立，即  …①成立，

则当 时，左边 ，

即要证明左边 也成立，即证  ，

由①知即证 ；

故选：D.

5. 已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.

【详解】因为四个选项中，只有，，

所以平面，交线的方向向量可以是

故选：B

6. 设，“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；

当复数为纯虚数时，

，解得或，故不必要，

故选：A

7. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）

①（）是三角函数：②三角函数是周期函数；③（）是周期函数

A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②①

【答案】B

【解析】

【分析】按照三段论的形式：大前提，小前提，结论的形式排序即可.

【详解】解：三段论：大前提，小前提，结论，所以排序为：

②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数.

故选：B.

8. 函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（    ）

A. 是的零点

B. 是的极大值点

C. 在区间上单调递增

D. 在区间上不存在极小值

【答案】B

【解析】

【分析】由函数图像判断的符号，进而判断的单调性和极值情况，即可得答案.

【详解】当时，，而，故；

当时，，而，故；

当时，，而，故；

所以上递减；上递增，

则、分别是的极小值点、极大值点.

故A、C、D错误，B正确.

故选：B

9. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；

当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；

当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；

当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；

故选A．

考点：导数及其性质.

10. 设双曲线（）的半焦距为c，直线l过两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率（    ）

A. 2 B.  C. 2和 D. 2和

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用直角三角形面积公式列式，结合双曲线离心率定义求解作答.

【详解】令，依题意，在中，，且，如图，

显然，由，得，

整理得，而，解得，

所以双曲线的离心率.

故选：A

11. 作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（    ）

A. 曲线不经过第三象限 B. 曲线关于直线y = x对称

C. 曲线与直线x + y =－1有公共点 D. 曲线与直线x + y =－1没有公共点

【答案】C

【解析】

【分析】对于A：当时，判断是否可能成立即可；对于B：将点代入方程，判断与原方程是否相同即可；对于C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.

【详解】当，则方程为

对于A：若，则，

所以，即曲线不经过第三象限，故A正确；

对于B：将点代入方程得，

所以曲线关于直线y = x对称，故B正确；

对于C、D：联立方程，

由可得，

将代入方程可得，

所以方程组无解，即曲线与直线x + y =－1没有公共点，

故C错误，D正确；

故选：C.

12. 芯片制作的原料是晶圆， 晶圆是硅元素加以纯化， 晶圆越薄， 生产的成本越低， 但对工艺要求就越高． 某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中， 成立个科研小组， 用、、三种不同的工艺制作芯片原料， 其厚度分别为，，（单位：毫米）， 则三种芯片原料厚度的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数，利用函数在上的单调性可得出、的关系，利用余弦函数的单调性可得出与的大小关系，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出与的大小关系，综合可得出、、的大小关系.

【详解】令，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上为减函数，

则当时，，即，

所以，函数在上为减函数，

因为，则，所以，，即，即，

因为在上单调递减，且，所以，，

令，其中，则，

所以，函数在上为增函数，则，即，

所以，，则，

综上所述 ，

故选：A.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13. 若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线方程的特点求解.

【详解】由于 是双曲线方程， ；

故答案为：

14. 在平面上，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点到平面的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】通过类比推理可知,空间中点到平面的距离为,进而代入求解即可.

【详解】通过类比推理可知,空间中点到平面的距离为,

所以点到平面的距离为,

故答案为:

【点睛】本题考查类比推理,考查运算能力.

15. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.

①线段的最大值是

②

③与一定异面

④三棱锥的体积为定值

【答案】①④

【解析】

【分析】过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在线段上.

选项①中线段的最大值可直接得到为；选项②通过建系求向量数量积来说明与平面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.

【详解】

如图，延长至，使得，则有

取的中点，连接，则有，

连接并延长交于点，则点为的中点.

因为，平面，平面

所以平面.

同理可得平面.

又，在平面内，且相交于点，

所以平面平面.

故点在线段上.

由图知，，故选项①正确；

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.

则，，，，.

，，.

因为，所以与不垂直，

而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；

如图，连接，，，则有，且，

故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；

因为点，分别为，的中点，所以.

又平面，平面，所以平面.

故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，

所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.

故答案为：①④.

【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：

(1) 先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.

(2) 判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.

16. 已知，，若不等式对恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】易得，分和两种情况讨论，当时，由恒成立，得，利用导数求出函数的最小值，分析即可得出答案.

【详解】解：显然，若，当时，有，

而，矛盾，∴，

令，则恒成立，即，

，

因为与在都是增函数，

所以函数在是增函数，

又，当时，，

所以存在使得，

在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

且，

，

∴，，

∴，

当且仅当，即时取等号，

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立的问题，考查了利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论思想及隐零点问题，有一定的难度.

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）

17. 设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，.求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程.

【答案】

【解析】

【分析】根据抛物线的定义结合几何性质可得点D到抛物线C的准线的距离.解法一：根据抛物线的定义分析求解p = 1；解法二：利用弦长公式结合韦达定理分析运算.

【详解】由题意可得抛物线C的焦点，准线，

过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，

则根据抛物线的定义，有AF = AE，BF = BH，所以 AE + BH = AF + BF = AB = 3.

因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离.

解法一：设，根据抛物线的定义有

，，

∴ ，

而 x1 + x2 = 2，∴ p = 1，

故抛物线C方程y2 = 2x.

解法二：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为，，

联立方程，消去y整理得，

∴，，

于是

，

代入整理得，①

注意到，②

所以由①②解得，

因此抛物线C的方程为y2 = 2x.

18 已知函数.

（1）当，求证；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

【分析】（1）将代入函数解析式，之后对函数求导，得到其单调性，从而求得其最小值为，从而证得结果.

（2）通过时，时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解的取值范围，也可以构造新函数，结合函数图象的走向得到结果.

【详解】（1）证明：当时，，

得，

知在递减，在递增，

，

综上知，当时，.

（2）法1：，，即，

令，则，

知在递增，在递减，注意到，

当时，；当时，，

且，

由函数有个零点，

即直线与函数图像有两个交点，得

法2：由得，，

当时，，知在上递减，不满足题意；

当时，，知在递减，在递增.

，

的零点个数为，即，

综上，若函数有两个零点，则.

【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究函数的最值，以及研究其零点个数的问题，属于中档题目.

19. 已知函数 .

（1）当时，求在点 处的切线方程；

（2） 时，求证：.

【答案】（1）y = 2x－2 ln 2   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）将 代入 的解析式，求出 和 ，再运用点斜式直线方程求解；

（2）运用导数求出 的最小值，只要证明最小值 即可.

【小问1详解】

当a = 1时，，x＞0，

则 ， ，而 ，

所以在点 处的切线方程为 ，即 ；

【小问2详解】

对求导得 ，x＞0，

当a＞0 时，令得 ，当时， f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增，

所以 ，

只需证明 ≥  ，即 ≥0  恒成立；

设，，则 ，，

当时，， 单调递减；当时，，

单调递增；所以 是的最小值，故，

表明≥0（a＞0）恒成立，故 .

20. 已知四棱锥中，.

（1）求证：平面平面；

（2）若，线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；

（2）以A为坐标原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，设线段上存在一点，即满足条件，利用向量法对二面角的余弦值列式求解即可判断.

【小问1详解】

由已知可知，，所以

因为，所以，所以，

又因为平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

【小问2详解】

因为，所以，所以，故两两垂直，

所以以A为坐标原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，则：，

设线段上存在一点，即，使二面角的余弦值为，

因为，则，所以，所以，

因为平面，所以平面的法向量为方向的单位向量，

设平面的法向量，

则，令，得，

因为二面角的平面角为锐角，

所以，解得舍去

故线段上存在一点使二面角的余弦值为，此时.

21. 设函数，，其中、.

（1）求的单调区间；

（2）若存在极值点，且，其中，求的值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）由极值点的定义可得出，再由以及结合作差法可求得的值.

【小问1详解】

解：因为函数，，其中、，

则，则.

①当时，对任意的，且不恒为零，

此时，函数的递增区间为；

②当时，，由可得，

由可得或，

此时函数的增区间为、，减区间为.

综上所述，当时，函数的递增区间为；

当时，函数的增区间为、，减区间为.

小问2详解】

解：因为函数存在极值点，由（1）可知，且，

由题意可得，可得，

由且，

可得，

即，

即

，

所以，.

22. 如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.

（1）若，轴，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角 的正弦.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先得，将点代入椭圆方程，结合关系即可得到答案；

（2）设点P的坐标为，写出相关向量，利用其数量积为0得到，结合点在椭圆上以及椭圆第二定义即可求出直线倾斜角的正弦值.

【小问1详解】

由已知可得，所以.

又点在椭圆C：上，所以.

联立，解得，，

因此椭圆C的方程为.

【小问2详解】

解法一：由题意知，，，.

设点P的坐标为，，则，，

∵，∴，则△PAF是直角三角形，

于是，

∴.①

∵P是椭圆C上在第一象限内的点，

∵，即.②

将①代入②得，

即，

∴，

由于，∴只有，得.

∵，，∴.③

根据椭圆的定义，有，而，

∴中，有.④

将③代入④得.

解法二：由题意知，，，，

则直线PA的方程为，.（*）

将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得

.（**）

因为点和的坐标满足方程（*）和（**），

所以，有，即，

.

若，则，表明△PAF是直角三角形，

从而有，

∴，

∴.

将、代入上式，得

++.

去分母，整理，得

，

将代入，得   ，

于是 .

解法三：过P作轴于Q，设，则有.

∵ ，∴，

得，.

由，得，

∴ a + x0 =（a + c）cos2   x0 =（a + c）cos2 －a.

根据椭圆的定义有，，

而 ， ∴，

即，

∴

由 ，得代入上式，整理得，

显然，所以，得.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法或是设线法，方法一和方法三采用的设点法，均利用了椭圆的第二定义，而方法二采用的设线法，通过设直线的方程，将其与椭圆联立，解出坐标，再利用向量点乘为0，即垂直关系解出.