中考训练考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合专项训练与解析

考点综合专题：锐角三角函数与其他知识的综合

——代几结合，掌握中考风向标

类型一　锐角三角函数与四边形的综合

1．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为(　　)

A．3       B.          C.          D.

第1题图          第2题图            第3题图

2．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC＝，则对角线AC的长为________．

3．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是________．

4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD＝________．

第4题图                 第5题图               第6题图

5．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝________．

6．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为________cm.

7．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E.

(1)求证：∠BAM＝∠AEF；

(2)若AB＝4，AD＝6，cos∠BAM＝，求DE的长．

8．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.

(1)求sin∠EAC的值；

(2)求线段AH的长．

类型二　锐角三角函数与其他函数的综合

9．如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是(　　)

A.          B.          C.          D.

第9题图                   第10题图

10．如图，P(12，a)在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________．

类型三　锐角三角函数与圆的综合

11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为(　　)

A.               B.           C.                D.

第11题图          第12题图             第13题图

12．如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，若BC＝10，cos∠BCD＝，∠BCE＝30°，则线段DE的长是(　　)

A.          B．7         C．4＋3            D．3＋4

13．如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA的值是________．

14．如图，圆O的直径AB＝8，AC＝3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连接MB，则∠MBA的余弦值为________．

第14题图              第15题图

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB＝，则线段AC的长为________．

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

(1)求证：∠1＝∠F；

(2)若sinB＝，EF＝2，求CD的长．

17．如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD＝FE.

(1)求证：FD是⊙O的切线；

(2)若AF＝8，tan∠BDF＝，求EF的长．

参考答案与解析

1．B　解析：由题意可得AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ACD＝α.在Rt△ADC中，cos∠ACD＝cosα＝＝，即＝，∴AC＝.根据勾股定理得AD＝＝.

2．16

3. 　解析：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝a，EB＝2a，∴∠AEB＝90°，∴tan∠ABC＝＝＝.

4.　解析：延长AD和BC交于点E.∵在Rt△ABE中，tanA＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE－BC＝4－2＝2.∵在△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴Rt△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x.在Rt△CDE中，EC2＝DE2＋DC2，∴4＝16x2＋9x2，解得x＝，则CD＝.

5.　解析：作EF⊥BC于F，设DE＝CE＝a.∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD＝CE＝a，∠DCE＝45°.∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF＝EF＝CE＝a.∴BF＝BC＋CF＝a.在Rt△BEF中，tan∠EBF＝＝，即tan∠EBC＝.

6．36　解析：∵tan∠EFC＝，∴设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝5k，∴DC＝AB＝8k.由题意可得∠B＝∠AFE＝90°，∴∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k.在Rt△AFE中，由勾股定理得AE2＝AF2＋EF2，即(5)2＝(10k)2＋(5k)2，解得k＝1，故矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2(8k＋10k)＝36k＝36×1＝36(cm)．

7．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAC＝90°.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠EAF＋∠BAM＝∠EAF＋∠AEF＝90°，∴∠BAM＝∠AEF；

(2)解：在Rt△ABM中，∵∠B＝90°，AB＝4，cos∠BAM＝，∴AM＝5.∵F为AM的中点，∴AF＝.∵∠BAM＝∠AEF，∴cos∠BAM＝cos∠AEF＝.∴sin∠AEF＝.在Rt△AEF中，∵∠AFE＝90°，AF＝，sin∠AEF＝，∴AE＝.∴DE＝AD－AE＝6－＝.

8．解：(1)作EM⊥AC于M.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°.在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，∴AE＝＝.在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，∴EM＝CM＝.∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝＝＝；

(2)在△GDC和△EDA中，∴△GDC≌△EDA，∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝.又∵∠AED＝∠CEH，∴∠EHC＝∠EDA＝90°，∴AH⊥GC.∵S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，∴×4×3＝××AH，∴AH＝.

9．A　10.　11.A

12．D　解析：过B作BF⊥DE于F.在Rt△CBD中，∵BC＝10，cos∠BCD＝，∴BD＝8.在Rt△BCE中，∵BC＝10，∠BCE＝30°，∴BE＝5.在Rt△BDF中，∵∠BDF＝∠BCE＝30°，BD＝8，∴DF＝BD·cos30°＝4.在Rt△BEF中，∵∠BEF＝∠BCD，即cos∠BEF＝cos∠BCD＝，BE＝5，∴EF＝BE·cos∠BEF＝3.∴DE＝EF＋DF＝3＋4.

13.

14.　解析：连接OM.∵AB＝8，AC＝3CB，∴OC＝AB＝2，∴在Rt△OCM中，OC＝OM，∴∠MOC＝60°，∴△MOB为等边三角形，∴∠MBA＝60°，∴cos∠MBA＝.

15．2　解析：连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠D＝∠B，∴sinD＝sinB＝.在Rt△ACD中，∵sinD＝＝，∴AC＝AD＝×8＝2.

16．(1)证明：连接DE.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.又∵E是AB的中点，∴DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；

(2)解：∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2，∴AB＝2AE＝4.在Rt△ABC中，∵AC＝AB·sinB＝4，∴BC＝＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD中，∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，∴x＝3，即CD＝3.

17．(1)证明：连接OD.∵CO⊥AB，∴∠E＋∠C＝90°.∵FE＝FD，OD＝OC，∴∠E＝∠FDE，∠C＝∠ODC，∴∠FDE＋∠ODC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∴FD是⊙O的切线；

(2)解：连接AD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°.∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDF.而∠DFB＝∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴＝.在Rt△ABD中，tanA＝tan∠BDF＝＝，∴＝，∴DF＝2，∴EF＝2.