2023届高考数学二轮复习微专题38形如fxex＋gx型的函数问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题38形如fxex＋gx型的函数问题学案，共7页。

例题：已知ex≥1＋ax对任意x∈[0，＋∞)成立，求实数a的取值范围．
变式1已知eq \f(x＋ex,2x＋1)≥t对一切正实数x恒成立，求实数t的最大值．
变式2已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
串讲1设a＞1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a，
(1)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；
(2)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O为坐标原点)．证明：m≤eq \r(3,a－\f(2,e))－1.
串讲2若不等式ex(x－a)＋(x＋a)＞0对任意x∈(0，＋∞)成立，求正实数a的取值范围．
(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
已知a∈R，x轴与函数f(x)＝ex－1－ax的图象相切．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，f(x)>m(x－1)lnx，求实数m的取值范围．
答案：(1)f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；(2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
解析：(1)f′(x)＝ex－1－a，设切点为(x0，0)，依题意，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x0）＝0，,f′（x0）＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex0－1－ax0＝0，,ex0－1－a＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝1，,a＝1，))所以f′(x)＝ex－1－1，当x0，2分
故f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞).6分
(2)令g(x)＝f(x)－m(x－1)lnx，x>0，则g′(x)＝ex－1－m(lnx＋eq \f(x－1,x))－1，
令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex－1－m(eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2))，8分
①若m≤eq \f(1,2)，因为当x>1时，ex－1>1，m(eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2))0，所以
h(x)即g′(x)在(1，＋∞)上单调递增．又因为g′(1)＝0，所以当x>1时，g′(x)>0，从而
g(x)在[1，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以g(x)>0，即f(x)>m(x－1)lnx成立；10分
②若m>eq \f(1,2)，可得h′(x)＝ex－1－m(eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2))在(0，＋∞)上单调递增，又因为
h′(1)＝1－2m0，
所以存在x1∈(1，1＋ln(2m))，使得h′(x1)＝0，且当x∈(1，x1)时，h′(x)